Teilaufgabe 1 (2 BE) Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte A und C sowie die Spitze S an. C c T C ( )
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- Georg Koch
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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 1 Mathematik 1 Technik - B I - Lösung Vor dem Louvre, dem berühmten Pariser Kunstmuseum, wurde im Jahre 1989 eine Glaspyramide erbaut, welche den unterirdisch liegenden Haupteingang beherbergt. Diese Pyramide wurde der Cheops-Pyramide nachempfunden. Die Seitenlängen der quadratischen, nach unten offenen Grundfläche beträgt m und die Spitze liegt lotrecht über deren Mittelpunkt in einer Höhe von m. In einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem (1 LE = 1 m) sind der Ursprung O und der Punkt B(//) zwei Eckpunkte der in der x 1 -x -Ebene liegenden horizontalen Grundfläche. Die Skizze zeigt die prinzipielle Lage der Pyramide. Teilaufgabe 1 ( BE) Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte A und C sowie die Spitze S an. Ortsvektor zum Punkt A: Ortsvektor zum Punkt C: a A a T A ( ) c C c T C ( ) Ortsvektor zum Punkt S: s S s T S Teilaufgabe (4 BE) Bestimmen Sie eine Parameter- und eine Normalengleichung der Ebene E, in der die Punkte A, B und S liegen. Koordinaten vom Punkt B: B ( ) Ortsvektor zum Punkt B: b B T b AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite 1 von 8
2 Ebene E in Parameterdarstellung: x E ( λμ) a λ( b a) μ( s a) x E ( λμ) μ μ μ λ Normalenvektor: vereinfacht: 77 1 n E ( b a) ( s a) n E n E neu: n E 1.5 Ebene E in Normalenform: x 1 x = x Umwandlung in Koordinatenform: Ex 1 x x Ex 1 x x x 1 x x x 1 x 154 = = x 1 x 154 = Teilaufgabe (4 BE) Berechnen Sie den Neigungswinkel einer Seitenfläche gegenüber der Grundfläche. Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren. Normalenvektor der Grundfläche: n 1 n 1 1 n E 5 n 1 n E Ansatz für den Winkel: φ acos φ 51.5 n 1 n E 1 AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
3 Teilaufgabe 4 ( BE) Berechnen Sie den Flächeninhalt einer der vier gläsernen Seitenflächen. Verbindungsvektoren: b a s a Vektorprodukt: ( b a) ( s a) Fläche: 1 A ( b a) ( s a) A 49 Teilaufgabe 5. An einem im Punkt S befestigten Seil wurde eine nach allen Seiten gleichmäßig Licht abstrahlende Lampe so aufgehängt, dass die Lichtstrahlen im Schwerpunkt jeder Seitenfläche senkrecht auftreffen. Teilaufgabe 5.1 (7 BE) Zeigen Sie, dass der Punkt M der Schwerpunkt des Dreiecks ABS ist, und zeigen Sie, dass der Aufhängepunkt P der als punktförmig angenommenen Lampe unterhalb der offenen Grundfläche OABC liegt. Schwerpunkt M des Dreiecks aus FS: m 1 ( a b s) m m Koordinaten Punkt M: M m T M Lösungsstrategie zur Bestimmung des Punktes P: Der Punkt P liegt auf der Hilfsgeraden h durch M, die senkrecht auf der Ebene E durch A, B und S (Seitenfläche) steht. Der Punkt P liegt senkrecht unter S, also in einer Hilfsebenebene H senkrecht zur x 1 -Achse durch S. P ist also der Schnittpunkt h H. AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
4 Normalenvektor der Ebene E: n E Schwerpunkt des Dreiecks ABS: m Hilfsgerade h durch M senkrecht zu E: h( τ) m τ n E h( τ) τ τ Hilfsebene H senkrecht zur x 1 -Achse durch S: 1 n H Normalenform für H: s x 1 x x 1 s = x 1 = h H: τ 1 τ = auflösen τ 1 Einsetzen in Geradengleichung: Koordinaten von P: p h τ p P p T P 57 1 Die x -Koordinate des Punktes P ist negativ, P liegt also unterhalb der x 1 -x -Ebene. AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite 4 von 8
5 Graphische Darstellung (in der Prüfung nicht verlangt) Darstellung der Pyramide Koordinatenursprung: rot Grundfläche OABC: grau Dreieck ABC: blau Ebene E: blau Seitenflächen: türkis Schwerpunkt M: schwarz Punkt P: gelb Hilfsgerade h: orange zusätzlich in der. Darstellung: Hilfsebene H: grau AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite 5 von 8
6 Teilaufgabe 5. (5 BE) Die Position der Lampe kann für spezielle Lichteffekte durch Veränderung der Seillänge verändert werden. Berechnen Sie den Abstand der Lampe von der Seitenkante OS, wenn die Lampe auf der Höhe der x 1 -x -Ebene angebracht wird. Neue Position von P: P neu p 1 p P neu Ortsvektor: p neu P neu T Gerade durch O und S: g OS ( σ) σ s p neu g OS ( σ) p neu σ σ σ Der Abstand des Punktes P von OS wird über den Lotfußpunkt L g OS ausgerechnet: l( σ) g OS ( σ) Ansatz g OS g PL : p neu l( σ) s = σ 1 σ σ σ Lotfußpunkt:; l l σ 1 15 = l σ = auflösen σ L l T L Abstand: d l p neu d d AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite von 8
7 Teilaufgabe (5 BE) Vor der Pyramide steht ein senkrechter Fahnenmast, dessen Spitze F die Koordinaten F4 ( 8) besitzt. Paralleles Sonnenlicht mit dem Richtungsvektor l der Pyramide den Schattenpunkt F S der Spitze F. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punktes F S..5 = erzeugt auf der Seitenfläche ABS Definitionen: f 4 8 l 5 Sonnenstrahl: s( τ) f τ l s( τ) 4 5τ τ 8 τ Die Seitenfläche ABS liegt in der Ebene Ex 1 x x x 154 = x τ s E: τ s Esτ ( ) 1 s( τ) s( τ) Schattenpunkt F S : = auflösen τ 5 9 f S sτ s f S T 595 F S f S F S AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite 7 von 8
8 Darstellung der Pyramide Koordinatenursprung: rot Grundfläche OABC: grau Dreieck ABC: blau Ebene E: blau Seitenflächen: türkis Fahnenmast: schwarz Sonnenstrahl s: gelb Schattenpunkt F S : schwarz AP 1, Mathematik Technik 1. Klasse, B I - Lösung Seite 8 von 8
2010 B I Angabe. sind der. 2 1 Geben Sie die Koordinaten der beiden Eckpunkte A und C sowie der Spitze S an.
B I Angabe Vor dem Louvre, dem berühmten Pariser Kunstmuseum, wurde im Jahr 989 eine Glaspyramide erbaut, welche den unterirdisch liegenden Haupteingang beherbergt. Diese Pyramide wurde der Cheops-Pyramide
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