Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U V einen Untervektorraum von V? b) Man nennt eine Teilmenge A V einen (nichtleeren) affinen Unterraum von V, falls ein Untervektorraum U von V und ein p V existiert mit A = p + U := {p + u u U}. Zeigen Sie, dass in dieser Situation auch A = x + U für jeden Punkt x A gilt. c) Seien A und B affine Unterräume von V, so dass A B gilt. Zeigen Sie, dass dann auch A B wieder ein affiner Unterraum von V ist. 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Im R seien die beiden Ebenen E : 6 x + 4 y z = und E : + s + t 4 gegeben. a) Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Schnittgerade der beiden Ebenen an. b) Zeigen Sie, dass der Punkt P = in der Ebene E liegt. Geben Sie eine Parameterdarstellung für die Gerade g an, welche im Punkt P senkrecht auf der Ebene E steht. c) In welchem Punkt durchstößt die Gerade g die Ebene E?

2 7. (Herbst, Thema, Aufgabe ) Im euklidischen Raum R sei E die Ebene, auf der die drei Punkte P = (,, ), Q = (,, ), R = (,, ) liegen. Sei g die Gerade, die den Ursprung enthält und die auf E orthogonal ist. Man bestimme g, sowie den Schnittpunkt von g mit E und den Spiegelpunkt des Ursprungs in Bezug auf E. 7.4 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Für α R \ {} seien durch α α E α = + R + R α und F α = α + R α α + R Ebenen in R 4 definiert. Bestimmen Sie alle α R, für die sich E α und F α schneiden. 7.5 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Betrachten Sie die Ebene E := { (x, y, z) R x + y = } R und zu gegebenem λ R die Teilmenge G λ := { (x, y, z) R x + y λz = und x y + λz = + λ } R im euklidischen Vektorraum R. a) Zeigen Sie, dass G λ für jede Wahl von λ R eine Gerade ist und geben Sie eine Gleichung dieser Geraden in Parameterform an. b) Bestimmen Sie alle λ R, so dass E und G λ einen nicht-leeren Schnitt haben und berechnen Sie diesen jeweils. 7.6 (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe 5) Gegeben seien die Punkte A :=, B :=, C :=, D := 4 R. 5 a) Bestimmen Sie die Hessesche Normalform für die Gleichung der durch A, B, C verlaufenden Ebene. Welchen Abstand hat D von dieser Ebene? b) Geben Sie eine Parameterdarstellung für jede Gerade durch D an, welche auf der Ebene aus a) senkrecht steht. Bestimmen Sie den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene.

3 7.7 (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe ) Gegeben seien die folgenden drei Geraden L, L, L R : x x L : y R x + y z = y R x y z = z z L : t R t R t L : Verbindungsgerade durch und. a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden paarweise schneiden und bestimmen Sie die Schnittpunkte p, p, p. b) Sei R das Dreieck mit den Ecken p, p, p. Bestimmen Sie alle drei Innenwinkel sowie den Flächeninhalt von. 7.8 (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen Raum (R, ), versehen mit dem Standardskalarprodukt, seien die Punkte 5 A =, B = und C = 5 5 gegeben. a) Man zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist, und bestimme den Punkt D, so dass ABCD ein Quadrat ist. b) Man bestimme eine Gleichung für die Ebene E, in der das Quadrat ABCD liegt, sowie eine Parameterdarstellung für die Lotgerade l zu E durch den Mittelpunkt von ABCD. c) Man bestimme alle Punkte S auf der Geraden l, für welche die Pyramide mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S das Volumen 6 besitzt. 7.9 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Sei A = M(, R) und v = R. 4 a) Sei U das Bild von A. Bestimmen Sie eine Basis von U. b) Bestimmen Sie den Punkt u U, der v am nächsten liegt. Legen Sie dabei die euklidische Norm des R zugrunde. c) Bestimmen Sie den Abstand zwischen v und U bezüglich der euklidischen Norm des R.

4 7. (Herbst 4, Thema, Aufgabe ) Sei f die lineare Abbildung f : R R, x Ax, mit A := und sei G die durch die Gleichungen x + y z = x z = bestimmte Gerade. Berechnen Sie den Abstand des Punktes p = (5,, ) zu G und zu Bild(f). 7. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) a) Die Ebenen E und E sind im R gegeben als die Menge aller Vektoren (x, y, z) t, die E : x + y + z = und E : x y + z = genügen. Berechnen Sie eine Parameterform von E E. b) Es sei P die Menge aller Punkte p R, die von E und E denselben Abstand haben. Zeigen Sie, dass P die Vereinigung zweier Ebenen ist und bestimmen Sie eine Parameterform dieser beiden Ebenen. 7. (Herbst 7, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R seien die Ebene E und die Gerade G gegeben durch x E := y x + y + z =, G := + r : r R. z a) Zeigen Sie, dass E und G parallel sind. b) Bestimmen Sie den euklidischen Abstand der Gerade G von der Ebene E. 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 5) Gegeben seien im euklidischen R die Gerade g durch ihre Punkte A = (,, ) t und B = (,, ) t, sowie die Gerade g durch ihren Punkt C = (,, 7) t und ihren Richtungsvektor v = (,, 4) t. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E, welche die Gerade g enthält und zur Geraden g parallel ist. b) Welchen Abstand hat die Gerade g von der Ebene E? Liegt g auf der gleichen Seite von E wie der Ursprung?

5 7.4 (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe 4) a) Zeigen Sie, dass es genau eine Ebene F R gibt, welche die drei Punkte, 4, enthält und bestimmen Sie eine Gleichung von F in Normalenform. b) Gegeben sei die Ebene E : x + y + z = in R. Bestimmen Sie E F in Parameterform und den kürzesten Abstand von E F von der y Achse. 7.5 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Im R seien die Geraden g := + R und h := R 5 gegeben. Finden Sie zwei verschiedene Punkte p g und q h so, dass die Gerade durch p und q auf beiden Geraden g und h senkrecht steht. 7.6 (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe ) Im R seien die beiden Geraden 5 g = + R, g = + R gegeben. Bestimmen Sie die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes und den Abstand beider Geraden. 7.7 (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R seien die Vektoren t = 4, u =, t = 4, u = 6 6 und damit die Geraden g = t + R u sowie g = t + R u gegeben. a) Zeigen Sie, dass g und g windschief sind. b) Bestimmen Sie die gemeinsame Lotgerade l von g und g. c) Berechnen Sie den Abstand zwischen g und g.

6 7.8 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Im euklidischen R mit den Koordinaten x, y, z seien zwei Geraden gegeben, und zwar die Gerade L, welche die beiden Punkte P = und P = enthält, sowie der Durchschnitt M der Ebenen E : x z =, E : x + y =. Bestimmen Sie den Abstand zwischen L und M. 7.9 (Herbst 7, Thema, Aufgabe ) Im R seien die beiden folgenden Geraden gegeben: g := + R, g = + R. a) Geben Sie ein lineares Gleichungssystem an, dessen Lösungsmenge die Gerade g ist. b) Bestimmen Sie für das gemeinsame Lot der beiden Geraden die Fußpunkte auf g und g. 7. (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe ) a) Geben Sie im R zwei nicht parallele Geraden g durch (,, ) und h durch (,, ) an, welche sich nicht schneiden. b) Bestimmen Sie den Abstand zwischen g und h. 7. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Gegeben seien in R die Geraden g = + λ λ R g = + λ λ R g = 7 + λ λ R a) Zeigen Sie, dass g und g ein eindeutiges gemeinsames Lot l haben. Zeigen Sie, dass l auch das eindeutige gemeinsame Lot von g und g sind. b) Folgern Sie, dass l ein gemeinsames Lot von g und g ist. Ist l das einzige gemeinsame Lot von g und g?

7 7. (Herbst 9, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R seien die windschiefen Geraden g : R und g : + R gegeben. a) Finden Sie Punkte A g und B g so, dass die Strecke AB parallel zur x, y Ebene ist und die Länge hat. b) Wie groß ist die minimale Länge l einer Strecke, die einen Punkt auf g mit einem Punkt auf g verbindet und zur x, y Ebene parallel ist? 7. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen R seien die beiden folgenden Geraden gegeben: 7 g = + R und h = + R. 7 a) Zeigen Sie, dass l = + R die gemeinsame Lotgerade von g und h ist. Bestimmen Sie die beiden Lotfußpunkte und damit den Abstand von g und h. b) Berechnen Sie den Mittelpunkt einer Kugel mit kleinstem Radius, welche g und h berührt, und begründen Sie diese Rechnung. 7.4 (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe 4) Der euklidische R sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zeigen Sie, dass der Punkt P := R Mittelpunkt einer Kugel K R ist, die sowohl die Gerade 5 g := 7 + R 8 als auch die Ebene x E := y R x + y 6 z = 8 z berührt. Geben Sie den Radius r dieser Kugel K sowie ihre Berührpunkte mit der Geraden g und der Ebene E an.

8 7.5 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 5) Sei e, e, e, e 4 die Standardbasis in R 4. Bestimmen Sie mit Hilfe des Standardskalarproduktes den Abstand des Punktes e von der Ebene U R 4, welche von den Vektoren e + e und e + e 4 aufgespannt wird. 7.6 (Herbst, Thema, Aufgabe ) In R 4 betrachten wir die Geraden g = {(4,,, 5) + λ(,,, ) λ R} und h = {(,,, ) + λ(,,, ) λ R}. Bestimmen Sie einen Punkt P g auf g und einen Punkt P h auf h, deren Verbindungsvektor P g P h sowohl auf g als auch auf h senkrecht steht. Berechnen Sie den Abstand zwischen g und h. 7.7 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Im euklidischen R 4 mit Standardskalarprodukt und Standardnorm seien u =, u =, u = 4, v =, v = u R 4 6 U = u + R u + R u, V = v + R v, a) Berechnen Sie eine Basis von W. W = R u + R u + R v R 4. b) Berechnen Sie den Abstand von U und V. 7.8 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Es sei a R ein Parameter. ( ) x a) Geben Sie eine Gleichung an für die Menge M a aller Punkte P = R y, ( ) ( ) a welche vom Punkt Q = und von der Geraden G = R den a gleichen Abstand haben. b) Bestimmen Sie v a, w a R so, dass c) Zeigen Sie: Nur für a = ist M a eine Gerade. 7.9 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Gegeben sei das Dreieck im R mit den Ecken ( ) ( ) va M a und M w a. a A = (, ), B = (4, ), C = (, ). a) Bestimmen Sie für dieses Dreieck den Schwerpunkt S, den Umkreismittelpunkt U und den Höhenschnittpunkt H. b) Zeigen Sie, dass S, U und H zusammen auf einer Geraden liegen.

9 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 5) In der euklidischen Ebene R werde das Dreieck mit den Ecken betrachtet. A = (, ), B = (, ), C = (, ) a) Bestimmen Sie für dieses Dreieck den Mittelpunkt und den Radius des Umkreises. b) Bestimmen Sie Gleichungen für die Tangenten T A, T B und T C an den Umkreis in den Punkten A, B und C. c) Berechnen Sie die Schnittpunkte A von T A und BC, B von T B und CA, C von T C und AB dieser Tangenten mit den Verlängerungen der ihnen gegenüberliegenden Dreiecksseiten. 7. (Herbst 8, Thema, Aufgabe 5) In der euklidischen Ebene R werde das Dreieck mit den Ecken betrachtet. A = (, ), B = (4, ), C = (, ) a) Es sei t R und P = (t, t) R. Bestimmen Sie die Hessesche Normalform der Geradengleichung für die Gerade BC und damit den Abstand d des Punktes P von der Geraden BC als Funktion von t. b) Berechnen Sie den Inkreismittelpunkt I des Dreiecks ABC. c) Berechnen Sie die Berührpunkte A BC, B CA und C AB des Inkreises mit den Dreiecksseiten. d) Zeigen Sie: Die drei Geraden AA, BB und CC treffen sich in einem Punkt. 7. (Herbst 5, Thema, Aufgabe 4) In der euklidischen Ebene R mit den Koordinaten x, y sei ein Dreieck P QR gegeben durch seine Ecken P = (, ), Q = (, ), R = (, ). a) Zeigen Sie: Der Kreis K mit Mittelpunkt (, ) und Radius geht durch P und berührt die durch die Dreieckseite QR definierte Gerade in R. b) Finden Sie eine Gleichung für den Kreis K, der durch Q geht und die durch die Seite RP definierte Gerade in P berührt, sowie eine Gleichung für den Kreis K, der durch R geht und die durch die Seite P Q definierte Gerade in Q berührt. c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kreise K und K. Zeigen Sie: Es gibt einen Punkt B R, in dem sich alle drei Kreise K, K, K schneiden.

10 7. (Herbst 9, Thema, Aufgabe ) Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt,. Weiter seien a b V Punkte in V. Es bezeichne E V die Menge aller Punkte x V, welche von a und b den gleichen Abstand haben. a) Rechnen Sie nach, dass (a + b) E. b) Zeigen Sie, dass E die affine Hyperebene mit der Gleichung ist. a b, x = a, a b, b c) Bestimmen Sie im Fall, dass V der euklidische R ist, sowie 5 a = 6 und b = für E eine Parameterdarstellung 7.4 (Herbst 4, Thema, Aufgabe 4) E = p + Rv + Rv := {p + λ v + λ v λ, λ R}. Im euklidischen Raum R, versehen mit dem Standardskalarprodukt, seien die vier Punkte A =, 5 B =, 4 C = 5 und D = gegeben. a) Man zeige, dass die Menge g aller Punkte X von R, die von A, B und C denselben Abstand besitzen, eine Gerade ist, und gebe eine Parameterdarstellung von g an. b) Man bestimme den Mittelpunkt M und den Radius r der Umkugel des Tetraeders mit den Ecken A, B, C, D. Man entscheide mit Begründung, ob M im Inneren des Tetraeders liegt. 7.5 (Herbst 8, Thema, Aufgabe 4) In der Ebene R sei die Gerade g mit der Gleichung x + y = gegeben. Die Spiegelung an dieser Geraden sei S : R R. ( ) x a) Berechnen Sie für einen Punkt P = die Koordinaten des gespiegelten y Punktes S(P ). b) Berechnen Sie für die Gerade g mit der Gleichung x y = die Gleichung der gespiegelten Geraden g = S(g ).

11 7.6 (Herbst 6, Thema, Aufgabe 4) Im euklidischen Raum R sei die Ebene E gegeben durch die Gleichung x + x + x = 5. Weiter sei f : R R die Orthogonalprojektion auf die Ebene E. Bestimmen Sie die Matrix A und den Vektor t R so, dass für alle x R gilt: 7.7 (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe 5) Im R seien die Ebenen f(x) = A x + t. H : x + y + z = und E : z = gegeben. Weiter sei π : E H die Orthogonalprojektion von E auf H, d.h. die Parallelprojektion längs der Normalenrichtung von H. Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor v R so, dass x π y = A 7.8 (Herbst 4, Thema, Aufgabe 4) ( ) x + v für alle y Betrachten Sie die inhomogene lineare Gleichung x y + z =. a) Geben Sie die Lösungsmenge U in Parameterform an. x y E. b) Sei U der zu U parallele Untervektorraum. Bestimmen Sie die Matrix M der Spiegelung an U. c) Bestimmen Sie die Spiegelung S an der affinen Ebene U als eine affine Abbildung S : R R, x Ax + t mit A R und t R. 7.9 (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe 5) Sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A = (, ), B = (, ) und C = (4, ). Sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten Ã = (, 9), B = (, ) und C = (, 7). a) Skizzieren Sie die beiden Dreiecke und in einem rechtwinkligen Koordinatensystem b) Geben Sie explizit die affine Abbildung f : R R mit f(a) = Ã, f(b) = B und f(c) = C an, welche auf abbildet.

12 7.4 (Herbst 7, Thema, Aufgabe ) a) Zeigen Sie, dass die Punkte P := (,, ) t, P := (,, ) t, P := (,, ) t und P := (,, ) t R nicht in einer Ebene liegen. b) Es sei ψ : R R die bijektive affine Abbildung mit ψ(p ) = (,, ) t, ψ(p ) = (,, ) t, ψ(p ) = (,, ) t, ψ(p ) = (,, ) t. Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor b R so, dass für alle x R gilt ψ(x) = A x + b. 7.4 (Herbst, Thema, Aufgabe ) a) Zeien Sie, dass es genau eine bijektive affine Abbildung f : R R mit (( )) ( ) (( )) ( ) (( )) ( ) f =, f = und f = gibt. b) Zeigen Sie, dass f sogar eine Bewegung (d.h. abstandserhaltend) ist und bestimmen Sie den Typ dieser Bewegung. 7.4 (Herbst, Thema, Aufgabe 4) a) Bestimmen Sie alle affinen Abbildungen f : R R mit f((, )) = (, ) und f((, )) = (, ). Gibt es unter all diesen affinen Abbildungen eine Bewegung (d.h. eine Isometrie)? ( ) ( ) x y + 5 b) Zeigen Sie, dass g : eine Bewegung (d.h. eine Isometrie) y x + des R ist. Zeigen Sie, dass g eine Gleitspiegelung ist und berechnen Sie die zugehörige Spiegelungsgerade und den zugehörigen Translationsvektor. 7.4 (Herbst 5, Thema, Aufgabe 5) Es seien A R und t R. Die affine Abbildung f : R R mit f(x) = A x + t sei eine Drehung der euklidischen Ebene R mit Drehzentrum z. a) Begründen Sie, dass für alle p R gilt: p z = f(p) z. b) In R seien die folgenden vier Punkte gegeben: ( ) ( ) ( 7 5,5 p =, q =, p = ), q = ( ),5. Zeigen Sie, dass es genau eine Drehung f um ein Drehzentrum z R gibt mit f(p) = p und f(q) = q. Berechnen Sie z, sowie die Matrix A und den Vektor t von f.

13 7.44 (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Es seien A = ( ) 4, B = ( ) 4, C = ( ), A = ( ), B = ( ), C = ( ) Ortsvektoren von Punkten in R. Gegeben seien die Dreiecke mit den Ecken A, B und C sowie mit den Ecken A, B und C. a) Bestimmen Sie die Seitenlängen der beiden Dreiecke. b) Zeigen Sie, dass eine Bewegung f des R, die das Dreieck auf das Dreieck abbildet, notwendig f(a) = A, f(b) = C und f(c) = B erfüllt. c) Zeigen Sie, dass es genau eine Bewegung f des R gibt, die das Dreieck auf das Dreieck überführt, indem Sie f konkret angeben (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) In der euklidischen Ebene R seien das Dreieck mit den Ecken ( ) ( ) ( ) 7 a =, b = und c =, 5 5 sowie das Dreieck mit den Ecken ( ) ( ) 8 a =, b = gegeben. und c = ( ) 5 a) Skizzieren Sie die beiden Dreiecke und im kartesischen Koordinatensystem der Ebene und berechnen Sie ihre Seitenlängen. b) Zeigen Sie, dass es genau eine Drehung d : R R, d(x) = D x + t, mit einer Drehmatrix D und einem Vektor t R gibt, welche das Dreieck auf das Dreieck abbildet. Geben Sie D und t explizit an (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) a) Zeigen Sie, dass es genau eine Bewegung (= abstandserhaltende affine Transformation) g im R gibt, welche die Menge {( ) ( ) ( )} 8 4,, auf die Menge {( ), abbildet. ( ), b) Berechnen Sie das Bild des Dreiecks {( ) ( ), unter g., ( )} 8 ( )}

14 7.47 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Sei ϕ s : R R definiert durch ( ) ( ) s 4 ϕ s (x) := A s x + b := x +, s = s 4 a) Bestimmen Sie alle Vektoren s R, so dass A s das Vielfache einer orthogonalen Matrix ist. ( ) b) Betrachten Sie nun ϕ s mit s =. Bestimmen Sie den Fixpunkt von ϕ s. ( ) c) Es sei weiterhin ϕ s mit s =. Weiter sei m der Fixpunkt von ϕ s. Bestimmen Sie ein α >, so dass ϕ s den Kreis K := { x R : x m = } auf den Kreis K := { x R : x m = α } abbildet. (Es bezeichne die euklidische Norm.) 7.48 (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Es sei A die Menge der affinen Abbildungen f : R R. Beweisen oder widerlegen Sie: a) Ist b, b eine Basis von R und sind f, g A mit f(b ) = g(b ) und f(b ) = g(b ), dann folgt f = g. b) Ist f A und gilt f(λ x) = λ f(x) für jedes x R und jedes λ R, so ist f eine lineare Abbildung (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe 5) ( s s ). a) Im reellen Vektorraum R seien ( ) ( ) p =, p =, p = ( ) 4 und p 4 = ( ) gegeben. Man zeige, dass es genau eine bijektive affine Abbildung f : R R, f(x) = M x + t, mit f(p ) = p, f(p ) = p, f(p ) = p 4 und f(p 4 ) = p gibt, und bestimme ihre Matrix M R sowie ihren Vektor t R. b) Die Affinität f : R R von Teilaufgabe a) bildet den Einheitskreis {( ) } x K = R x + x = x auf eine Ellipse E R ab. Man bestimme eine Gleichung für E.