a) Berechnen Sie einen Punkt D so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist. (5 P) b) Kreuzen Sie an, welche Aussagen auf eine Raute zutreffen.

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1 und Klausuren: P.. 0 Raute und Pyramide Gegeben sind die Punkte A( 8 4 ), B(7 8 7) und C(7 6 5). a) Berechnen Sie einen Punkt D so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist. (5 P) b) Kreuzen Sie an, welche Aussagen auf eine Raute zutreffen. Aussage wahr falsch In einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Jede Raute hat genau zwei gleich lange Seiten. Jede Raute hat vier gleich große Innenwinkel. Jede Raute ist ein Parallelogramm. Aus jeder Raute lässt sich ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt erzeugen. (5 P) c) Berechnen Sie den Abstand h der parallelen Rautenseiten. (4 P) d) Zeigen Sie, dass der Punkt S( 0,5 8,4 4,2) genau senkrecht (bezogen auf die Ebene, in der die Raute liegt) über dem Mittelpunkt M der Strecke [AB] liegt. (4 P) e) Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide ABCDS. (4 P) f) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ASC. (4 P) g) Bestimmen Sie den Winkel α : SMSC auf 2 Dezimalen genau. (4 P) Arbeitszeit: 40 Minuten Notenschlüssel Notenpunkte Punkte Notenpunkte Punkte Unterrichts-Materialien Analytische Geometrie Stark Verlag

2 P.. 0 und Klausuren: Kompetenzprofil Niveau: weiterführend Fachlicher Bezug: Kommunikation: begründen; argumentieren Problemlösen: Probleme erkunden und zerlegen; Lösungen berechnen Modellierung: Medien: Methode: Einzelarbeit Inhalt in Stichworten: Länge von Vektoren; Raute; Pyramide; Flächeninhalt einer Raute; Volumen einer Pyramide; Winkel zwischen zwei Vektoren Autor: Carlo Vöst Lösung a) Zuerst muss untersucht werden, welche Strecken, die von den Punkten A, B und C begrenzt werden, gleich lang sind, denn nur solche Strecken können die Seiten der Raute sein. Es ergibt sich: AB AC ( ) ( ) 5 6 BC ( ) ( ) Also sind [AB] und [AC] die Seiten der Raute und an den Punkt D kommt man über eine Vektorkette, z. B.: d b + (c a) D(22 4 ) Unterrichts-Materialien Analytische Geometrie Stark Verlag

3 und Klausuren: P.. 0 b) Aussage wahr falsch In einer Raute halbieren sich die Diagonalen. Jede Raute hat genau zwei gleich lange Seiten. Jede Raute hat vier gleich große Innenwinkel. Jede Raute ist ein Parallelogramm. Aus jeder Raute lässt sich ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt erzeugen. c) Der gesuchte Abstand h ist z. B. das Lot vom Punkt A auf die Seite [CD]. Anmerkung: Man kann auch von jedem anderen Eckpunkt der Raute ein Lot auf die gegenüberliegende Seite fällen. Der Abstand h ist immer derselbe. Da der Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Breite AB und der Länge h genauso groß ist wie der Flächeninhalt der Raute ABCD, erhält man den Abstand h über die Flächenformel: AB h h AB Der Flächeninhalt der Raute lässt sich ebenfalls als Vektorprodukt der Vektoren AB und AC berechnen. Somit folgt: h ( 6) 6 ( 2) ( 6) AB AC ( 2) AB AB ( 360) Unterrichts-Materialien Analytische Geometrie Stark Verlag 3

4 P.. 0 und Klausuren: d) Berechnung des Mittelpunkts der Strecke [AB]: m (a b) M( 0,5 2 9) 8 7 0, Der Punkt S liegt genau dann senkrecht (bezogen auf die Ebene ABCD) über dem Mittelpunkt M der Strecke [AB], wenn [MS] senkrecht auf zwei verschiedenen Richtungsvektoren der Ebene ABCD steht. Als Richtungsvektoren der Ebene ABCD können die Vektoren AB und AC gewählt werden. 0,5 0,5 MS 8,4 2 6,4 4,2 9 4,8 MS AB , ( 4,8) ,4 2 4,8 6 MS AC , 4 ( 2) + ( 4,8) ( 6) 0 5 6,4 2 4,8 6 Da die beiden Skalarprodukte 0 sind, liegt S senkrecht über M. e) Elementargeometrisch: Da der Flächeninhalt der Grundfläche ABCD aus Teilaufgabe c bereits bekannt ist, bietet es sich an, das Volumen elementargeometrisch zu berechnen. Die Höhe der Pyramide ist die Länge MS. MS 6, 42+ ( 4,8) 2 8 V Pyramide Grundfläche Höhe Vektoriell: Der Flächeninhalt lässt sich auch vektoriell über das Spatprodukt berechnen, wobei das Vektorprodukt der Vektoren AB und AC ebenfalls aus Teilaufgabe c bekannt ist. Beachten Sie hierbei, dass eine Pyramide mit einem Viereck als Grundfläche vorliegt und somit der Vorfaktor nicht 6, sondern 3 ist. 0,5 ( 8) V Pyramide (AB AC) AS 480 8,4 ( 4) ,2 7, , ,4 + ( 360) 3, , Unterrichts-Materialien Analytische Geometrie Stark Verlag

5 und Klausuren: P.. 0 f) Der Flächeninhalt des Dreiecks ASC wird über das Vektorprodukt der Vektoren AS und CS berechnet. 7,5 7,5 ADreieck ASC AS CS 2,4 24, ,2 9,2 2,4 9,2 3,2 24,4 60 3,2 ( 7,5) 7,5 9, ,5 24,4 2,4 ( 7,5) ( 68) g) Der Winkel α wird von den Vektoren SM und SC eingeschlossen. 0 SM MS 6,4 (siehe Teilaufgabe d) 4,8 SC CS 7,5 24,4 (siehe Teilaufgabe f ) 9,2 7,5 6,4 24,4 4,8 9, SM SC cos α SM SC ( 6,4) + 4,8 7,5 + ( 24,4) + ( 9,2) 0 7,5 + ( 6,4) ( 24,4) + 4,8 ( 9,2) , , ,25 α cos 8 75, , Unterrichts-Materialien Analytische Geometrie Stark Verlag 5

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