Raumgeometrie - schiefe Pyramide

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1 Bei allen Aufgaben: Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden! 1.0 Berechne das Volumen der beiden dargestellten Pyramiden 1 und Die Spitze S einer dreiseitigen Pyramide ABCS liegt senkrecht über dem Eckpunkt C der Grundfläche ABC. Die Seitenkante [CS] ist 12 cm lang und schließt mit der Seitenkante [AS] einen Winkel von 40 und mit [BS] einen Winkel von 30 ein. Der Winkel zwischen den Seitenkanten [AS] und [BS] misst 50. Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide. 2.2 M ist der Mittelpunkt der Seitenkante [CS]. Wie lang ist der kürzeste Weg von A nach M, der über die Seitenflächen ABS und BCS führt? 3.0 Es wird jeweils ein sich bewegender Punkt (z.b. P) betrachtet. Die verschiedenen Lagen werden mit P 1, P 2... (allgemein P n ) bezeichnet. Bei einer quadratischen Pyramide ABCDS mit der Grundkantenlänge a = 6 cm liegt die Spitze S über A. Die Pyramidenhöhe ist h= 6 2 cm. Ein Punkt P bewege sich auf der Seitenkante [CS]. Das Maß des Winkels CMPn sei ε n. Dabei ist M der Mittelpunkt der Grundfläche. 3.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ( q= 0,5; ω = 45 ). 3.2 Wähle einen beliebigen Punkt P 1 [CS] und zeige, dass BPD 1 gleichschenklig ist. 3.3 Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BDP 2 für ε 2 = Für welches Winkelmaß ε 3 ist der Flächeninhalt von BDP minimal? RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 1 (6)

2 4.1 Eine schiefe Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und AB= 6cm ist gegeben. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über A, dabei gilt AS = 6 2 cm. Zeichne mit q = 1:2 und ω = 45 ein Schrägbild der Pyramide. 4.2 Ein Punkt P bewegt sich auf der Seitenkante [CS] von C nach S. Die Dreiecke DBP schließen mit der Grundfläche die Winkel CMP mit dem Maß ϕ ein, wobei M der Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD] ist. Zeichne ein Dreieck DBP in das Schrägbild ein, und berechne den Flächeninhalt A(ϕ) der Dreiecke DBP in Abhängigkeit von ϕ. 4.3 Ermittle das Winkelmaß ϕ 0 für das flächenkleinste Dreieck DBP. 4.4 Die Winkel MBP haben das Maß α. Stelle α in Abhängigkeit von ϕ dar, und zeichne den zugehörigen Graphen. Für welchen Wert von ϕ nimmt α einen Extremwert an? 5.0 Eine Pyramide PQRS hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck PQR mit der Seitenlänge s = 8 cm. Der Mittelpunkt M der Grundkante [QR] ist der Fußpunkt der Pyramidenhöhe (Spitze: S). MS = h = 12 cm. Ein Punkt T bewegt sich auf [PS]. Durch [QR] und T n [PS] sind Ebenen festgelegt. Es sei TMP=ε n. 5.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 1 2 und ω = 60. Trage ein Dreieck T 1 QP in das Schrägbild ein. 5.2 Berechne das Maß α des Neigungswinkels der Seitenkante [PS] gegen die Grundfläche. 5.3 Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche QRT 2 für ε 2 = Berechne das Winkelmaß ε 3, für welches die Schnittfläche den kleinsten Flächeninhalt hat. 6.0 Die Diagonalen [AC] mit AC = 12 cm und [BD] mit BD = 10 cm einer Raute ABCD schneiden sich im Punkt M. Die Raute ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Eckpunkt C der Grundfläche mit CS = 12 cm. 6.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Die Diagonale [AC] soll auf der Schrägbildachse liegen. 6.2 Die Punkte F auf der Seitenkante [AS] der Pyramide ABCDS mit FA = x cm sowie die Punkte B und D der Pyramidengrundfläche sind jeweils die Eckpunkte von Dreiecken BDF. Zeichne für x = 6 das zugehörige Dreieck BDF 1 in das Schrägbild ein. 6.3 Berechne das Maß ϕ des Winkels DBF Berechne die Länge MF (x) der Strecken [MF] in Abhängigkeit von x. Gib die Definitionsmenge ld(x) für die Maßzahl x der Seitenlänge FA an. 6.5 Berechne x, so dass der Winkel DBF das Maß 65 hat. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 2 (6)

3 7.0 Das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit AC = 8 cm und BC = 6 cm ist Grundfläche von Pyramiden ABCS n. Die Seitenflächen ACS n stehen senkrecht auf der Grundfläche ABC, wobei die Seitenkanten [S n A] mit [AC] einen Winkel mit dem Maß α = 60 einschließen. Die Punkte F n [AC] sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen. 7.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS 1 für CF 1 = 3 cm. [AC] liegt auf der Schrägbildachse. 7.2 Berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ACS Die Pyramide ABCS 2 besitzt das Volumen V 2 = 48 cm 3. Berechne CF 2 für diese Pyramide. 7.4 In der Pyramide ABCS 3 besitzt der Winkel S 3 CA das Maß α 3 = 38. Berechne das Volumen V 3 der Pyramide ABCS Die Seitenflächen BCS n besitzen bei C einen rechten Winkel. Berechne für CF 4 = 2 cm die Länge der Seitenkante [BS 4 ]. Ermittle das Maß ϕ des Winkels BAS 4 durch Rechnung. 8.0 Im Drachenviereck ABCD hat die Diagonale [AC] die Länge 12 cm und die Diagonale [BD] die Länge 10 cm. AC ist Symmetrieachse des Drachenvierecks. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M mit AM = 8 cm. Das Drachenviereck ABCD ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M mit MS = 10 cm. 8.1 Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] soll auf der Schrägbildachse liegen. 8.2 Berechne das Maß γ des Winkels SCA und die Länge der Strecke [CS]. [Ergebnis: γ = 68,2 ; [CS] = 10,77 cm] 8.3 Die Punkte P n auf der Seitenkante [CS] sind jeweils zusammen mit den Punkten B und D die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken BDP n. Es gilt: SP n = x cm. Zeichne das Dreieck BDP 1 mit CMP 1 = 75 in das Schrägbild ein und berechne den zugehörigen Wert für x. [Teilergebnis: x = 4,32] 8.4 Berechne das Volumen der Pyramide BCDP 1. [Ergebnis: V 1 = 39,93 cm 3 ] 8.5 Der Flächeninhalt des Dreieck BDP 2 beträgt 35 cm 2. Berechne den zugehörigen Wert für x. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 3 (6)

4 9.0 Das gleichschenklige ABC mit der Basis AB = 10 cm und AC = BC = 8 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt C mit CS = 9 cm. M ist Mittelpunkt von [AB]. 9.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS. CM soll auf der Schrägbildachse liegen (links C, rechts M). Hinweis: Berechne vorher [CM]. 9.2 Berechne die Länge von [MS] und das Maß ε des Winkels SMC. [Ergebnis: MS = 12,04 cm; ε = 48,37 ] 9.3 Ein Punkt P auf CS mit [CP] = 2 cm bildet zusammen mit Q auf AS und R auf BS das Dreieck PQR. Die Mitte von [QR] = T liegt auf MS mit [MT] ist 4 cm. Die Seite QR ist parallel zu AB. Zeichne das PQR, sowie T in das Schrägbild ein. 9.4 Berechne den Winkel TPS = ϕ. [Ergebnis: ϕ = 79,62 mit gerundeten Zwischenwerten] 9.5 Berechne den Winkel QPR = δ. [Ergebnis: δ = 72,75 mit gerundeten Zwischenwerten] 9.6 Berechne die Streckenlänge [CT]. [Ergebnis: CT = 6,12 cm] 9.7 Berechne den Flächeninhalt des Deiecks CMT. [Ergebnis: A = 11,96 cm 2 ] 10.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 7 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Ihre Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt F der Seite [BC]. Der Punkt F ist Mittelpunkt der Seite [BC]. Der Winkel FES hat das Maß 48. Auf der Strecke [ES] liegt ein Punkt P, wobei EP = 4,5 cm gilt Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AB] liegt auf der Schrägbildachse Berechne die Höhe FS der Pyramide Zeichne den Punkt P in das Schrägbild ein. Berechne das Maß ε des Winkels CPB und das Maß ϕ des Winkels FPS Das Dreieck BCS ist Grundfläche der Pyramide BCSP mit der Spitze P. Berechne das Volumen V dieser Pyramide Berechne das Maß δ des Winkels SBP. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 4 (6)

5 11.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 12 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über dem Mittelpunkt E der Seite [BC] liegt. Es gilt: ES = 6 cm. Der Punkt F ist Mittelpunkt der Seite [AD] Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [FE] liegt auf der Schrägbildachse. Berechne δ = EDS. [Teilergebnis: DE = 10,82 cm] 11.2 Berechne ϕ = BFS. [Teilergebnis: ϕ = 46,19 ] 11.3 Die Punkte P n auf der Strecke [ES] mit EP n = x cm sowie die Punkte A und B sind jeweils die Eckpunkte von Dreiecken ABP n. Zeichne das Dreieck ABP 1 für x = 2 in das Schrägbild ein Berechne das Maß α 1 des Winkels BAP Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABP Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 12 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Der Mittelpunkt F der Seite [AD] ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe [FS] mit FS = 8 cm. Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Seite [BC] Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [EF] soll auf der Schrägbildachse liegen Berechne das Maß ε des Winkels SEF und die Länge der Strecke [SE]. [Teilergebnis: γ = 41,63 ] 12.3 Auf [SE] liegen Punkte P n mit SP n = x cm. Sie sind die Spitzen neuer Pyramiden ABCDP n. Zeichne die Pyramide ABCDP 1 für x = 7 in das Schrägbild ein und berechne das Volumen der Pyramide ABCDP Für den Punkt P 2 hat der Winkel EFP 2 das Maß 80. Berechne den zugehörigen Wert für x und den Flächeninhalt des Dreiecks DAP 2. [Teilergebnis: x = 1,63] 12.5 Gib jeweils die Streckenlängen CP n (x), AP n (x) und EP n (x) in Abhängigkeit von x an. Die Pyramide ABCDP 3 hat ein Längenverhältnis von 3:1 für die Seitenkanten AP n : BP n. Welchen zugehörigen Wert hat x? RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 5 (6)

6 13.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 12 cm ist Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt E der Strecke [AD] und es gilt ES = 10 cm. Der Punkt F ist Mittelpunkt der Strecke [BC] Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [DC] soll auf der Schrägbildachse liegen Berechne das Maß ϕ des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS]. [Ergebnis: ϕ = 48,01 ; FS = 13,45 cm] 13.3 Der Punkt P liegt auf [EF] mit EP = 1,5 cm. Für die Punkte M n auf [FS] gilt SM n = x cm. Die Punkte M n sind die Mittelpunkte von Strecken [Q n R n ] mit Q n auf [BS], R n auf [CS] und [Q n R n ] ll [BC]. Die Punkte P, Q n und R n sind die Eckpunkte von Dreiecken PQ n R n. Zeichne das Dreieck PQ 1 R 1 für x = 10 in das Schrägbild ein Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PQ 1 R Für das Dreieck PQ 2 R 2 gilt FPM 2 = 38. Berechne den zugehörigen Wert für x Im Dreieck PQ 3 R 3 hat die Höhe PM 3 den kleinstmöglichen Wert. Berechne PM 3. Gib an, in welchen Grenzen sich die Höhen PM n der Dreiecke PQ n R n bewegen (Intervall) Das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge a = 14 cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCS mit der Höhe h = MS = 10 cm. M ist Mittelpunkt der Strecke [BC] Berechne AM und zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AM] soll auf der Schrägbildachse liegen. [Teilergebnis: AM = 12,12 cm] 14.2 Zur Grundfläche ABC der Pyramide ABCS parallele Ebenen schneiden die Pyramide ABCS in gleichseitigen Dreiecken P n Q n R n mit P n [AS], Q n [BS] und R n [CS]. Der Punkt D auf [AM] mit DM = 3 cm ist die gemeinsame Spitze von Pyramiden P n Q n R n D. Die Punkte E n sind die Mittelpunkte der Strecken [Q n R n ]. Zeichne die Pyramide P 1 Q 1 R 1 D für ME 1 = 6 cm in das Schrägbild ein Bestimme rechnerisch das Maß ϕ des Winkels MDE 1 und die Länge der Strecke [DE 1 ]. [Ergebnis: ϕ = 63,43 ; DE 1 = 6,71 cm] 14.4 Berechne das Volumen der Pyramide P 1 Q 1 R 1 D. [Teilergebnis: QR 1 1 = 5,6 cm] 14.5 Ermittle die Länge der Seitenkante [P 1 D] der Pyramide P 1 Q 1 R 1 D durch Rechnung. [Ergebnis: PD 1 = 6,28 cm] 14.6 Berechne die Streckenlänge DQ 1 und das Maß ε des Winkels P 1 Q 1 D. RM_AU010 **** keine Lösungen vorhanden 6 (6)

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