Realschule. 1. Schulaufgabe aus der Mathematik. Klasse 8 / I ; B 1, 1,5(

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1 1. Schulaufgabe aus der Mathematik 1. Gegeben sind die Punkte A,, ( ; B, 0,5( und C 0,5 ( 1.1 Konstruiere den Umkreis k des Dreiecks mit Mittelpunkt M. 1. Kennzeichne die Lösungsmenge mit grüner Farbe: ζ P P k MP PB PB,5,.. Gegeben sind die Punkte A, 41( ; B 1, 1,5( und C ( 5. Konstruiere die Menge aller Punkte, die von AB und AC gleichen Abstand haben und von denen aus die Strecke [BC] oder die Strecke [AC] unter einem rechten Winkel erscheinen.. Gib in Mengenschreibweise an:.1 Zur Menge M 1 gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, und die von einem Punkt B mehr als cm entfernt sind.. Die schraffiert gekennzeichnete Menge M einschließlich der Randlinien (siehe Skizze). 4. Untersuche mit Hilfe von Wertetabellen, ob folgende Terme über der Grundmenge Φ äquivalent sind: 4.1 T x ( x 6 ( 1 (x) <, T x 4x 1 (x) 4. T (x) < x 1 T 4 (x) x 1 <, Φ < ζ,; 1,5; 0,5; 9 < Φ< ζ ; ;, ;, 5. Welche Terme sind über der Grundmenge äquivalent? T1 < 6xy T4 < y 9x T T5 < 18xy ( < < 18xxy T 6xy y RM_A0108 **** Lösungen Seiten (RM_L0108)

2 1.1 Gib die Eigenschaft der Punkte P im schraffierten Bereich in Symbolschreibweise an. Der Rand gehört dazu. 1. Zeichne farbig alle Punkte P im schraffierten Bereich ein, für die d(p; AB) = 1,0 cm gilt..1 Kennzeichne mit Farbstift die Punktmenge ζ P PA cm d P; g( 1cm.. Kennzeiche in einer neuen Zeichnung farbig ζ Q QA cm d Q; g 1cm die Punktmenge (.. 1 Gegeben sind die Punkte Q x x mit x 0. τττθ 1 Gesucht ist der Punkt P, für den QP < gilt, B 8 0 gleichweit entfernt ist. und der von O 0 0( und (.1 Zeichne die Punkte Q n und P n für x {1; ; 4; 5}.. Ermittle die Punkte P und Q zeichnerisch. τττθ. Gib für den Pfeil OP eine Pfeilkette an, und berechne die Koordinaten des Punktes P. 4. Gib die Maße der folgenden Winkel an, und begründe deine Antwort. Ρ ACB = Ρ BAC = Ρ BDA = RM_A0109 **** Lösungen Seiten (RM_L0109) 1()

3 5. Im Inneren des Dreiecks ABC gibt es einen Punkt K, für den Ρ AKB = 90 und Ρ CKA = 10 gilt. Ermittle K durch Konstruktion. 6. Zeige, das die Terme T 1 (x) = (x - 1) und T (x) = 6(x + ) 15 äquivalent sind. 6.1 Weise die Äquivalenz bezüglich Φ = Ζ, ; ϒ mit Hilfe einer Wertetabelle nach. (x - 1) 6(x + ) - 15 x Weise die Äquivalenz bezüglich Φ = Π mit Hilfe von Termumformungen nach. (x - 1) = 6(x + ) - 15 = RM_A0109 **** Lösungen Seiten (RM_L0109) ()

4 1. Vereinfache die folgenden Terme. a 8b 5ab a, 6b a, b a < x y x 5 x, x 1 x 6 yx < Multipliziere aus und fasse soweit wie möglich zusammen: 4 4s( 5s t 5t( 5(,, < x x y( x xy x (,,, < x. Sind die Terme T1x ( < x und Tx ( äquivalent? Berechne dazu die Termwerte und vergleiche. < über der Grundmenge G< ζ 0;;4 4. Wende die binomischen Formeln an. 4x y(, < 4a b (. 4a b(, < 5. Berechne den Extremwert des folgenden Terms. T(x) <, 0,75x, 9x Ein Rechteck ABCD hat die Seitenlängen AB < 8 cm und AD < 4 cm. Verkürzt man [AB] von B her um x cm und verlängert gleichzeitig [AD] über D hinaus um x cm, so entstehen neue Rechtecke. 6.1 Zeichne das Rechteck ABCD und in diese Zeichnung hinein das Schar-Rechteck ABCD für x = Gib das zulässige Intervall für x an. 6. Berechne den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von x. A <, x 4x FE ] [Ergebnis: x( ( 6.4 Eines der Schar-Rechtecke hat einen extremen Flächeninhalt. Berechne diesen Extremwert und das dazu gehörige x. RM_A0 **** Lösungen Seiten (RM_L0)

5 1.0 Vereinfache folgende Terme möglichst weit x z yz 19 xz 49yz(,,,, < 1 1,, < x x x 8x (. Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus , 56a b 8a b 1a b c <.0 Vereinfache soweit wie möglich unter Anwendung von binomischen Formeln.,, <.1 7a b( a 4b( 5 5. x( 7x x y ( x y 7x(,,, < 4.0 Ergänze die Lücken mithilfe der binomischen Formeln. 4.1 ( b 16a, <, 1 x 7y 7y , < (, ( RM_A07 **** Lösungen Seiten (RM_L07) 1 ()

6 5.0 Gib jeweils einen quadratischen Term an, der die folgenden Eigenschaften hat. 5.1 Tmin <, 6 für x <, 1 5. Tmax < 0 für x < 6.0 Bestimme den Extremwert und gib die zugehörige Belegung für x an. 6.1 T(x) <,,5, 7,5 x 5( 6. T(x) < x 6. T(x) <, x, Ermittle den Extremwert folgender Terme durch quadratisches ergänzen und gib die zugehörige Belegung für x an. 7.1 T(x) < 1,x, 6x 10,8 7. T( <, 0,5a 4a RM_A07 **** Lösungen Seiten (RM_L07) ()

7 1.0 Fasse zusammen.,,, < x x 4 x( 7x 5x 4( a, < ,4a 1 a (.0 Vereinfache die folgenden Terme ab ( 4,5m 0 4a ( <. ( x y, x 4xy, x 4y x <. 1 m, n <.4 4x y:5xy <.0 Verwandle folgende Terme in eine Summe und vereinfache dann die Terme so weit wie möglich..1 x 6 4x(,, < 15, < 4. x x x( 1 x y 0,5x 6y x,, <. ( RM_A0407 **** Lösungen Seiten (RM_L0407) 1 ()

8 4.0 Ergänze die Lücken so, dass äquivalente Terme entstehen. 4.1 x x, ( < x, xy 4., 1( a, 17( < a 4., 15( 7 ( < 14x, 105, 10y 5.0 Wandle in Summen um. Wende dabei die binomischen Formeln an. a, 5b < 5.1 ( 5. 0,4x y(,, < 5., 5x 7y( 7y 5x( < 6.0 Forme in ein Produkt um. Klammere aus und wende die binom. Formeln an ,04x 1,x y 9y <, 5x 10x y, y < 0,81a, 0,04b < 7. Forme die Summe in ein Produkt aus zwei Binomen um. 4ax, 6ay 4bx, by < 8. Klammere alle gemeinsamen Faktoren aus. 7xy z, 48x yz 66xyz< 9. Klammere die angegebenen Faktoren aus x 9x 0,5 <, 0,5 9. 6x 4, 4x 15x 1 < x 4 RM_A0407 **** Lösungen Seiten (RM_L0407) ()

9 1. Vereinfache und fasse soweit wie möglich zusammen. 4, 4,x x 6,8x, 1,x x < 5xy x, 4y 5x y 8x, y 6x <. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen. 1,5y,,5x, 8(,, 4,6x 7,5y,,5( < ( ( 1a 4a 16a 11a 8 1,5a 17,,,,, <. Löse die Klammern durch Ausmultiplizieren auf. 4x x 0,5x 6x (, < 4 x 9 9a 7b c d(,,, < Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus. 15x y, 10x y < 4 4, 4abc 16bc, 8bc < 5. Klammere den größten gemeinsamen Term aus. 5x, y( 4a b 5x, y(, 5x, y( 8c < RM_A0410 **** Lösungen Seiten (RM_L0410) 1 ()

10 6. Gegeben sind die beiden Terme T(x) 1 < x 1 und T x x (x) <, G < x Berechne jeweils die Termwerte für x ζ, ;, 1; 0; 1; und trage sie in die Wertetabelle unten ein. x T 1(x) T (x) Sind beide Terme äquivalent? 7. Jeder Quader ABCDEFGH hat insgesamt 1 Kanten. Davon sind jeweils vier Kanten gleich lang. Die Länge s ist die Summe aller 1 Kantenlängen. Es gilt: Länge [AB] < ( x )cm Breite [BC] < 0,5 (10, x)cm Höhe [AE] < (4 x, )cm Welche Werte für x sind sinnvoll? (keine negativen Maßzahlen) Stelle einen Term s(x) zur Berechnung der Gesamtlänge auf und vereinfache den Term soweit wie möglich. RM_A0410 **** Lösungen Seiten (RM_L0410) ()

11 c) Berechne für x <,5 die Gesamtlänge s aller 1 Kanten. d) Stelle einen Term zur Berechnung der Quaderoberfläche auf und vereinfache diesen so weit wie möglich. RM_A0410 **** Lösungen Seiten (RM_L0410) ()

12 1. Löse die Klammern auf und fasse soweit wie möglich zusammen. 1ab 17a b ( 8ab 5ba (,,,,, < ( ( 4,, x 4x,, 8x x < Forme durch Ausklammern in ein Produkt um. 1,5xz, 5yz, 7,5x z,5xy z < abc, 4abc 54ac <. Verwandle die Summe schrittweise in ein Produkt ( ( x 6x xy 6y x x 6 y x 6,, <,, < 4. Multipliziere aus. 5 6,5x a a x (,, < y y 5 y (,5y, < Löse die Klammern mithilfe der Binomischen Formeln auf. 1 4a ( 5 < 9x 7(, < RM_A0411 **** Lösungen Seiten (RM_L0411) 1 ()

13 6. Berechne mithilfe der Binomischen Formeln. 10 < 79 < c) < 7. Liegt eine Binomische Formel vor? Wenn ja, dann forme den Term in die Grundform um. 16x, 56x 49 ν keine Binomische Formel ν Binomische Formel, Grundform: 9x 15xy 5y ν keine Binomische Formel ν Binomische Formel, Grundform: c) 6 64x 96x ν keine Binomische Formel ν Binomische Formel, Grundform: 8. Das Dreieck ABC ist gleichschenklig rechtwinklig mit der Basis AB < 18 cm. Es werden Rechtecke PQRS einbeschrieben mit PQ AB (siehe Abb.) Die Strecke AP ist x cm lang. Gib einen Term an, der die Fläche der Rechtecke in Abhängigkeit von x beschreibt. Ermittle für das größte Rechteck den Wert für x. RM_A0411 **** Lösungen Seiten (RM_L0411) ()

14 9. Gegeben ist die nebenstehend abgebildete Fläche. Alle Werte in cm; x. Welche Werte für x sind sinnvoll; gib den Definitionsbereich für x an. Stelle den Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von x dar. c) Berechne den Umfang der Fläche in Abhängigkeit von x. RM_A0411 **** Lösungen Seiten (RM_L0411) ()

15 1. Vereinfache folgende Terme und fasse soweit wie möglich zusammen. x x 6x ( x 4x 1 (,,,,, < ( 7bx, x 6a, 17b 1a : 5 <. Fasse soweit wie möglich zusammen: (x 5y) x x (6x, 5y) < (x 4) (x, 4), x, <. Klammere den größten gemeinsamen Faktor aus. 4 1a b, 9a b 6ab c < 5 4 6, 51a x z 17ax z, 4a x z < 4. Forme um in ein Produkt durch Ausklammern und anwenden einer Binomischen Formel a, < 1 x x 4 4, < 5. Multipliziere aus: 4 x( 8 5x a (,,, < RM_A041 **** Lösungen Seiten (RM_L041) 1 ()

16 6. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( /0), B( 4 /5) und C(0/). Zeichne das Dreieck ABC in das gegebene Koordinatensystem ein. θ, 4,5 Das Dreieck ABC wird mit dem Vektor v < 1 auf das Bilddreieck A B C verschoben. Berechne die Koordinaten der Punkte A, B und C und zeichne dieses Dreieck in das Koordinatensystem zu ein. 7. Die abgebildete quaderförmige Kiste soll mit Würfeln der Kantenlänge a < x cm vollständig gefüllt werden (siehe Abb.). Gib einen Term V(x) an, der das Volumen (den Rauminhalt) der Kiste an Abhängigkeit von x beschreibt. RM_A041 **** Lösungen Seiten (RM_L041) ()

17 8. Mit einem kleinen Federkatapult wird eine Kugel abgeschossen. Der Graph stellt die Flugbahn der Kugel dar (siehe Abb.). Die jeweilige Kugelhöhe h in Abhängigkeit von x wird durch folgenden Term beschrieben: ( h(x) <, 0,1x 1,6x cm Bestimme durch Rechnung die maximale Wurfhöhe h max und gib die zugehörige Wurfweite an. Welche Wurfhöhe hat die Kugel erreicht, wenn ihre Wurfweite 1 cm beträgt? RM_A041 **** Lösungen Seiten (RM_L041) ()

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