Grundwissensaufgaben Klasse 10

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1 Grundwissensaufgaben Klasse 10 1.Grundwissensaufgaben zu Potenz- und Wurzelgesetzen: [Verwendung willkürlicher Zahlen und Buchstaben; eigene Aufgabenstellung] Fasse soweit wie möglich zusammen. a) ( 1,456) 1 2 ( 1,456) 1 4 b) c) α 0,5 α d) μ x μ 1 2 x Gib das Ergebnis als Wurzel an. a) 5 n b) c) 1 n x 5 2n n x d) ( a b) 2 2.Grundwissensaufgaben zu Binomischen Formeln: [Verwendung willkürlicher Zahlen und Buchstaben] Schreibe die binomischen Formeln um. a) (q + f)(q f) b) (t 4) 2 c) 16x 2 72xy + 81y 2 d) (2x + 0,4d) 2 e) (7a 0,85b) 2 f) 9x xy + 4y 2.Grundwissensaufgaben zu Gleichungssystemen: Löse die Gleichungssysteme mit Hilfe eines günstigen Verfahrens. a) I) 5y - x = 1 II) y = x + 1 b) I) 25-8 y = x II) y = 9x 2 4.Grundwissensaufgaben zum Pythagoras: [Verwendung willkürlicher Zahlen und Buchstaben; eigene Aufgabenstellung]

2 a) Wie groß ist die Entfernung AB der beiden Punkte A und B, wenn man DB = 4,9cm, DC =,75cm, AC = 28,9cm, CB = 5,8cm und γ = 90 gegeben hat. Nutze die Skizze bei b) für deine Überlegungen. b) Ein rechtwinklige Dreieck ABC ist gegeben, genauso wie dessen Kathete a = 6,0cm und die Hypotenuse c = 72,0cm. Berechne die Kathete b. C b γ a h r s D A B c 5.Grundwissensaufgaben zu Rauminhalt von Prisma/ Pyramide/ Zylinder/ Kegel: a) Die Grundfläche eines 5 m hohen Wasserbeckens ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 15 dm. Das Becken wird zu mit Wasser gefüllt. 5 Wie viel Liter Wasser befinden sich im Becken? [nach Stand Oktober 2016] b) Ein Prisma ist 5 m hoch. Seine Grundfläche ist ein Trapez mit den Maßen a = 9 m; b = 5,8 m; c = 2,5 m; d = 4,125 m; ha = 6,2 m. Wie groß ist die Oberfläche des Prismas und welches Volumen hat es? Hinweis: a c [nach Lambacher Schweizer 9 S.54] c) Gegeben sind quadratische Pyramiden. Fülle die Tabelle aus. Runde auf 2 Dezimalzahlen. [nach Stand Oktober 2016]

3 Pyramide 1 Pyramide 2 Grundseite s 14cm 7dm Höhe h 8cm Seitenhöhe h s Kantenlänge k Oberflächeninhalt Volumen 49dm d) Fülle die Tabelle aus. Runde auf 2 Dezimalzahlen. [nach Stand Oktober 2016] Zylinder 1 Zylinder 2 Zylinder Radius,7cm 9,84m Höhne 4,47cm 8,5dm Oberfläche 979,m 2 Volumen 2586,4dm 6.Grundwissensaufgaben zum Umfang bzw. Fläche von Kreisen: [Folgende Aufgaben wurden selbst erarbeitet, Zahlen wurden frei gewählt] a) Welchen Umfang hat ein Kreis mit dem Durchmesser von 14,6cm? b) Welchen Umfang hat ein Halbkreis mit dem Durchmesser von 8,875dm? c) Welchen Radius hat ein Kreis, wenn sein Flächeninhalt 82π m 2 beträgt? d) Welchen Durchmesser hat ein Kreis, wenn sein Flächeninhalt das 5 fache von 5,6π m 2 ist? e) Was für einen Flächeninhalt hat ein Kreis mit einem Radius von,5cm, dem aber ein Kreisstück (d = 2,4mm) fehlt? 7.Grundwissensaufgaben zu Grundtypen von Funktionen: [Folgende Funktionen wahllos ausgedacht; zufällige Verwendung von Zahlen! (keine didaktischen Ansätze)] a) Zeichne die Graphen y = 6x und y = 2 x + 2 in ein Koordinatensystem. Bestimme rechnerisch und zeichnerisch die Nullstellen und Schnittpunkte.

4 b) Berechne die Schnittpunkte und Nullstellen folgender Funktionen. 1. f(x) = 2 x + 4 und g(x) = 2 x f(x) = 9,25x + und g(x) = 5,8x 1,5. f(x) = 2 x + 2 und g(x) = 2,5x 1 5 c) Berechne die y Wert für x = 5, x = und x = 2,8 der folgenden 8 Funktionen. 1. f(x) = x 2 + 4x 2. f(x) = 10x ,7x. f(x) = 2x 2 4x + 18 d) Berechne die Nullstellen der oberen Funktionen. Runde auf 2 Nachkommastellen. 8.Grundwissensaufgaben zur Kugel: [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 24/26,27,28,] a) Wenn der Radius einer Kugel 15m beträgt, welches Volumen und welche Oberfläche hat diese Kugel? b) Die Oberfläche einer Kugel beträgt 85π m. Berechne den Radius. c) Das Volumen einer Kugel beträgt 4π cm. Wie groß ist ihr Radius? d) Eine Kugel hat das Volumen 12π dm. Wie groß ist ihr Durchmesser? 9.Grundwissensaufgaben zu Grad- und Bogenmaß: a) Ein Raumschiff fliegt einmal um die Erde in m Höhe. Es benötigt die Zeit t. Welchen Weg legt das Raumschiff zurück. [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 15/21] b) Verwandle das Gradmaß in das Bogenmaß und umgekehrt. Gradmaß μ Bogenmaß x π 4 7π 6 c) Berechne die Bogenlänge b, wenn r = 18m und α = 60 [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 14/5] d) Wie lang ist der Bogen b, wenn r = 28mm und α = 16 [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 14/5]

5 10.Grundwissensaufgaben zum Kreissektor: a) Berechne den Inhalt der Sektors, wenn r = b = 2m? [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 14/8] b) Welchen Flächeninhalt nimmt der Kreissektor an wenn r = 4m und b = 2m ist? [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 14/7] 11.Grundwissensaufgaben zu trigonometrischen Funktionen: a) Fülle die Lücken aus: f(x) =,5sin (0,5x) Amplitude: Periode: g(x) = 4 sin (2x) Amplitude: Periode: b) Bestimme für jeden Graphen eine Funktionsgleichung der Form y = a sin (bx + c). (Wenn nötig nur ungefähr)

6 f(x) blau Amplitude: Periode: b: Verschiebung: c: Funktionsgleichung: g(x) rot Amplitude: Periode: b: Verschiebung: c: Funktionsgleichung: 12.Grundwissensaufgaben zum Logarithmus: Schreibe folgendes wenn möglich in einer anderen Schreibweise. a) log a (b) + log a (c) b) log 4 (c a) c) log z (a) c d) log u (2) log u (2) Berechne das Ergebnis ohne Taschenrechner. a) log 4 (1) b) log 52 (1) c) log (0) d) log 6 (6) e) log 5 (25) 1.Grundwissensaufgaben zu Exponentialgleichungen: 1) 5 2x = 5 2) 4x = 2 ) 2 x + 2 x x+2 = x + x+1 + x+2 14.Grundwissensaufgaben zur Exponentialfunktion: 1. Ein Glas voller Tee hat die Anfangstemperatur P(0) = 70 und die Umgebungstemperatur V beträgt 50 weniger. Die Anfangstemperatur verliert nach jeder Minute 20%. R(0) = P(0) V Beweise, dass T(x) = U + V(0) 0,8 x gilt [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 68/16] 2. Eine Saftflasche mit 5 wird draußen (0 ) auf einen Tisch gestellt.. Der Temperaturunterschied wird nach jeder Minute um 10% kleiner. Wie warm ist die Flasche nach 10 min? [vgl. Lambacher Schweizer 10 Gymnasium Bayern S. 68/16]. Bestimme a und b so, dass der Graph der Funktion f(x) = b a x durch folgende Punkte geht. P(1 9) und Q( 1) Aufgabenquellen: Lambacher Schweizer 10 Mathematik für Gymnasien Bayern Ernst Klett Verlag

7 Lösungen: 1.Potenz- und Wurzelgesetze: a) ( 1,456) 1 2 ( 1,456) 1 4 = ( 1,456) 4 b) = c) α 0,5 α = α 1,5 d) μ x μ 1 2 x = μ 1,5x a) 5 n b) c) 1 n x 5 = n n x = 1 2n = x 2 n d) ( a b) 2 = a 2 ab + b (Bin. Formel) 2.Binomische Formeln a) (q + f)(q f) = q 2 f 2 b) (t 4) 2 = t 2 8t + 16 c) 16x 2 72xy + 81y 2 = (4x 9y) 2 d) (2x + 0,4d) 2 = 4x 2 + 1,6xd + 0,16d 2 e) (7a 0,85b) 2 = 49a ab b2 f) 9x xy + 4y 2 = (x + 2y) 2.Gleichungssysteme a) I) 5y x = 1 II) y = x + 1 II ) y x = 1 Gleichsetzen: II ) = I) y x = 5y x 2y = x in II) einsetzen II) y = 2y + 1 y = 1 in II) einsetzen II) 1 = x + 1 x = 2 b) I) 25 8 y = x II) y = 9x y+2 y = 9 nach x auflösen: II) x = y y = y y = y

8 y in I) einsetzen = x x = Pythagoras a) (28,9cm) 2 + (5,8cm) 2 = (AB ) 2 (AB ) 2 = 868,85cm 2 AB = 29,48cm b) a 2 + b 2 = c 2 a 2 b 2 = c 2 a 2 c 2 a 2 = b b = (72cm) 2 (6cm) 2 = 71,75 5.Rauminhalt von Zylinder/Prisma/Pyramide/Kegel a) (1,5m) (1,5m) 5m 5 = 6,75m = 6750dm = 6750l b) A T = 0,5 (9m + 2,5m) 6,2m = 5,65m 2 O P = 2A T + M M = 5m (9m + 5,8m + 2,5m + 4,125m) = 107,125m 2 O P = 2 5,65m ,125m 2 = 178,425m 2 V Pris = 1 G h V Pris = 1 5,65m2 5m = 59,42m

9 c) Pyramide 1 Pyramide 2 Grundseite s 14cm 7dm Höhe h 8cm dm Seitenhöhe h s 15,52cm 10,9dm Kantenlänge k 1,86cm 10,4dm Oberflächeninhalt 60,56cm 2 201,88cm 2 Volumen 522,6cm 49dm Pyramide 1: V Pyr = 1 G h e 2 = = 128 e = ,1 k 2 = e 2 + h 2 k 2 = = 192 k = 8 1,86 [cm] O Pyr = G + M = s s s h (h s ) 2 = ( 1 2 s)2 + k 2 (h s ) 2 = = 241 h s = ,52[cm] M = ,52 = 44,56[cm2 ] O Pyr = ,56 = 60,56[cm 2 ] V Pyr = = 522,6[cm ] Pyramide 2: V Pyr = 1 G h V = h ; h = 49 = [dm] s s 7 7 O Pyr = G + M = s s g h e 2 = s 2 + s 2 e 2 = = 98 e = 7 2 k 2 = e 2 + h 2 k 2 = = 107 k = ,4[dm] (h s ) 2 = ( 1 2 s)2 + k 2 (h s ) 2 =, = 119,25

10 h s = 119,25 10,92 M = ,92 = 152,88[cm 2 ] O Pyr = ,88 = 201,88[cm 2 ] d) Zylinder 1 Zylinder 2 Zylinder Radius,7cm,14dm 9,84m Höhne 4,47cm 8,5dm 5,99m Oberfläche 189,94cm ,5m 2 979,m 2 Volumen 192cm 2586,4dm 1822m Zyliner 1: O Zyl = 2G + M = 2π r 2 + 2π r h; V Zyl = π r h O Zyl = 2π, π,7 4,47 = 189,94[cm 2 ] V Zyl = π,7 4,47 = 192[cm ] Zylinder 2: V = r π h r = 2586,4 =,14 π 8,5 O Zyl = 2π, π,14 8,5 = 1709,5[m 2 ] Zylinder : h = o 2π r2 2π r h = 979, 2π 9,842 2π 9,84 = 5,99[m] V = 9,84 2 π 5,99 = 1822[m ] 6.Flächen und Umfang von Kreisen a) U k = 2rπ U k = 14,6cm π = 7 5 πcm b) U ges = 0,5U k + d U ges = 0,5 8,875dm + 8,875dm = ,1dm c) A = πr 2 82πm2 π d) A = πr 2 = r = 82 9,1

11 5 5,6m 2 = r 2 r = 178m 1,m e) A ges = A groß A klein A ges = ((,5cm) 2 π) ((0,12cm) 2 π) = 8,1cm 2 7.Grundtypen von Funktionen a) f(x) = 0 0 = 6x + = 6x 6 x = 1 2 g(x) = 0 0 = x = x ( 2 ) 2 x = 4 f(x) = g(x) 6x = x x 5 = x 2 6x 5 = 15 2 x = 2 ( 2 15 ) b)

12 1. f(x) = 0 0 = x = 2 x 2 x = 8 g(x) = 0 0 = x = 2 x ( 2 ) x = 4 f(x) = g(x) x + 4 = x x = 2 x x 6 2 x = x = 2 2. f(x) = 0 0 = 9,25x + = 9,25x 9,25 x = 12 7 g(x) = 0 0 = 5,8x 1,5 +1,5 1,5 = 5,8x ( 5,8) x = f(x) = g(x) 9,25x + = 5,8x 1,5 9,25x = 5,8x 4,5 +5,8x 15,05x = 4,5 15,05 x = x + 2 = 0 2 5

13 2 5 x = 2 ( 5 2 ) x = 5 g(x) = 0 0 = 2,5x = 2,5x 2,5 x = 2 5 f(x) = g(x) 2 x + 2 = 2,5x x + = 2,5x x = 2,9x 2,9 x = 0 29 c) d) 1. f(5) = = 92 f ( 8 ) = ( 2 8 ) + 4 ( 8 ) = f(2,8 ) = (2,8) ,8 = f(5) = 10(5) ,7 5 =,5 f ( 2 8 ) = 10 ( 8 ) + 16,7 ( 8 ) = f(2,8) = 10 (2,8 ) ,7 (2,8 ) = 125,16. f(5) = 2 (5) = 147 f ( 2 8 ) = 2 ( 8 ) 4 ( 69 ) + 18 = 8 2 f(2,8) = 2 (2,8) 2 4 2, = 86,72 1. f(x) = x 2 + 4x 0 = x 2 + 4x 4 ± 16 4 ( ) x 1/2 = ; x 2 1 = 0,54; x 2 = 1,87 2. f(x) = 10x ,7x 0 = x(10x + 16,7); x 1 = 0 0 = 10x + 16,7 x 2 = 1,67. f(x) = 2x 2 4x = 2x 2 4x + 18

14 x 1/2 = 4 ± (4) ; x = 21,07; x 2 = 0,4 8.Kugel a) V K = 4 πr V K = 4 π(15m) = 4500π m O K = 4πr 2 = 4π(15m) 2 = 900π m 2 b) O K = 4πr 2 O K 85 = r = 4,61 m2 4π 2 c) V K = 4 πr V K = r = 1,44 cm d) V K = 4 πr V K = r = 2,08dm 9.Grad- und Bogenmaß a) U K = 2rπ 4π 4π U K = 2π (280000m + 671m) = ,1m 1799,km b) c) b = d) b = φ X π π π π 11π 6 α 60 α 60 2rπ b = 6π m 112 2rπ b = π mmm 7,82mm Kreissektor φ a) b = 2rπ da r = b 60 = φ = 57, 60 2π A s = r2 π φ A 60 s = 191 π 00 2[m2 ] φ b) b = 2rπ 60 b 60 = φ φ = 28,6 2rπ

15 A s = r2 π φ 60 A s = π,99 [m2 ] 11.Trigonometrische Funktionen a) f(x) =,5sin (0,5x) Amplitude:,5 Periode: 4π g(x) = 4 sin(2x) Amplitude: 4 b) f(x) blau Amplitude: Periode: π Periode: π b: 2 Verschiebung: 1 π c: 1 π Funktionsgleichung: f(x) = sin (2x + 2π ) g(x) rot Amplitude: 2 Periode: 2 π b: 1 Verschiebung: 0,5 π c: - 0,5 π Funktionsgleichung: g(x) = 2sin (x 0,5π) 12.Logarithmus Schreibe folgendes wenn möglich in einer anderen Schreibweise. e) log a (b) + log a (c) = log a (b c) f) log 4 (c a) kann nicht zusammengefasst werden g) log z (a) c = c log z (a) h) log u (2) log u (2) = log u (2: 2) = 0 Berechne das Ergebnis ohne Taschenrechner. f) log 4 (1) = 0 g) log 52 (1) = 0 h) log (0) i) log 6 (6) = 1 j) log 5 (25) = 2 1.Exponentialgleichungen x = 5 5 2x : 5 = 5 5 (5 x ) 2 = x = x = 5 2 x = 2 є ; = {2}

16 2. 4x = 2 4x = 2 x = є ; = { 1 6 }.2 x + 2 x x+2 = x + x+1 + x+2 2 x + 2 x x 2 2 = x + x 1 + x 2 2 x ( ) = x ( ) 2 x 7 = x 1 7 x ( 2 )x = 1 7 log2( 1 ) = x 7 x = 1,5 14.Exponentialfunktion log 1. x = 2 P(2) = = , = 52 x = 4 P(4) = 40,48 40,48 = ,8 4 40,48 = 40,48 2. P(x) = V R(0) 0,9 x P(10) = ,9 10 = 21,. I) 9 = b a 1 b = 9 a II) 1 = b a b = 1 a 9 = 1 a a a2 = 1 a = = b ( 1 ) b = 21 Quelle: nach Lambacher Schweizer 10 Gymnasium (Aufgabenstellungen verändert und Wörter umschrieben und andere Werte verwendet), eigene Aufgabenstellungen