Grundwissen 9. Klasse Mathematik

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1 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Grundwissen 9. Klasse Mathematik. Die reellen Zahlen. Die Quadratwurzel Unter der Quadratwurzel aus a (meist kurz Wurzel aus a ) versteht man die nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich a ist. Schreibweise: a mit a 0 und a 0 a bezeichnet man als Radikand Beachte: ) Für a 0 gilt: ) Für a < 0 gilt: a a = a und ( a) = a = a und ( a ) eistiert nicht Das Ermitteln des Werts einer Wurzel nennt man Radizieren beziehungsweise Wurzel ziehen.. Die irrationale Zahlen Zahlen, die man nicht als Bruch darstellen kann, bezeichnet man als irrationale Zahlen. z.b. ; ; ; π ;... Irrationale Zahlen sind unendliche nicht periodische Dezimalzahlen.. Die Menge der reellen Zahlen R Nachdem z.b. Q ist, muss man Q erweitern: Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge aller irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen. Überblick der bisher bekannten Mengen: N Z Q R Die rationalen Zahlen liegen zwar sehr dicht beieinander, füllen jedoch den Zahlenstrahl nicht lückenlos aus. Trägt man die reellen Zahlen am Zahlenstrahl an, so gibt es keine Lücken.

2 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7. Rechnen mit reellen Zahlen a) Multiplizieren und Dividieren von reellen Zahlen + Es gilt: a b = a b mit ab R, 0 Beispiele: 8 = 6 = 6 7 = = a a b = b mit a R + 0, b R + Man kann das. Rechengesetz auch von rechts nach links anwenden (teilweises Radizieren): = = = = Merke: Unter dem Vereinfachen einer Wurzel versteht man folgendes: ) Nenner rational machen und ) Radikand natürlich machen b) Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen 9+ = 9 + = + = Allgemein: a + b a+ b + a b a b mit ab R, 0 Summen kann man nur vereinfachen, indem man sie faktorisiert: = ( ) = AUFGABEN zu Kapitel Radiziere teilweise ohne Verwendung des Taschenrechners: a) 0 b) 7 c) 99 d) 000 e) f) 60, 6 Mache den Nenner rational: a) b) 6 c) d) 0 0 e) 0 f) Vereinfache soweit wie möglich: a) 0, b) 7 + : c) + d)

3 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Vereinfache jeden der folgenden Terme so weit wie möglich: ( ab R, + 0 ) a) a : a b) ab : ab c) 008, b d) b b e) a : 8b 7b. Die Satzgruppe des Pythagoras. Der Satz von Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse den gleichen Flächeninhalt wie die Quadrate über den beiden Katheten zusammen: Es gilt: a + b = c Anwendungsmöglichkeiten: a) Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks: A= a b) Abstand zweier Punkte P( p y P ) und Q( Q y Q ) im Koordinatensystem: PQ = ( ) + ( y y ) Q P Q P Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Gilt für die drei Seiten eines Dreiecks die Gleichung a + b = c, so ist das Dreieck rechtwinklig.. Der Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über einer Kathete dieselbe Fläche wie das Rechteck mit der Hypotenuse und dem dieser Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt als Seiten: a = c p und b = c q. Der Höhensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenusenhöhe flächengleich dem Rechteck mit den beiden Hypotenusenabschnitten als Seiten: h = p q

4 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 AUFGABEN zu Kapitel Gegeben ist das nebenstehende nichtrechtwinklige Dreieck ABC. Die Höhe h c schneidet die Seite c im Punkt D und es gilt DE AC. Weiter sind folgende Streckenlängen bekannt: AD =, 6cm, BC = cm, AE = cm und DB =, cm Gib bei den folgenden Teilaufgaben jeweils das betrachtete Dreieck und den verwendeten Lehrsatz an! a) Berechne h c! b) Berechne EC! c) Berechne ED! (Runde deine Ergebnisse, falls nötig, auf eine Dezimalstelle!) In einem rechtwinkligen Dreieck ABC teilt die Höhe die Hypotenuse im Verhältnis :. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, wenn die Hypotenuse 0 cm lang ist! Runde dein Ergebnis auf zwei Dezimalstellen!,m, Meter vom Ufer eines Teichs entfernt ragt ein Schilfrohr 0 cm über die Wasseroberfläche empor. Zieht man seine Spitze ans Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Berechne die Tiefe des Teiches in m und gib das Ergebnis mit zwei Dezimalstellen an. 0 cm Gegeben ist das nebenstehende Kirchenfenster. Berechne den Radius der kleinen Fenster ( Dezimalstelle), wenn der Radius r des Halbkreises m beträgt!. Quadratische Funktionen und Gleichungen. Die binomischen Formeln a+ b = a + ab+ b Plusformel: ( ) a b = a ab+ b Minusformel: ( ) mit ab R, a+ b ( a b) = a b Plus-Minus-Formel: ( ) a+ b = ( a b) und Beachte: ( ) ( a b) ( b a) = und ( a b) n a n b n + + (n N) Merke: Faktorisieren eines Terms bedeutet, diesen in ein Produkt zu verwandeln. Dafür gibt es folgende Möglichkeiten: a) Ausklammern b) Rückwärtsanwenden einer binomischen Formel = 7( + ) = 7( )

5 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 AUFGABEN zu. Faktorisiere soweit wie möglich: a) y + y b) 8h Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen: a) f ( ) = 6 b) g ( ) = Bestimme die Definitionsmenge: a) k ( ) = b) l ( ) = 9 0, Die Normalparabel Der Graph der Funktion Es gilt: D f = R; f ( ) + W f = R 0 = heißt Normalparabel. Der tiefste Punkt der Normalparabel heißt Scheitel S. Die Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y- Achse. y G f O X. Die allgemeine quadratische Funktion Die Darstellung f ( ) a( d) e = + mit ade R,,, a 0 nennt man Scheitelform. Es gilt: Der Scheitel der zugehörigen Parabel liegt bei S(d e). Für a > 0 ( a < 0 ) ist die Parabel nach oben (unten) geöffnet, der Scheitel ist der tiefste (höchste) Punkt. Für a >, d.h. für a > oder a < ist die Parabel enger als die Normalparabel. Für a <, d.h. für < a < ist die Parabel weiter als die Normalparabel. D f = R; W f = [ e; [ für a > 0 beziehungsweise W f = ] ; e] für a < 0 Der Graph G f ist achsensymmetrisch zur Geraden = d. Ist eine quadratische Funktion in der Form f ( ) = a + b+ c mit abc R,,, a 0 gegeben, so bestimmt man den Scheitel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. f( ) = Schritt: Ausklammern y = ( +, )

6 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 6 von 7. Schritt: geeignetes Ergänzen. Schritt: Vereinfachen y = ( +,, +, ) y = + y = (, ) +, y = (, ), (, ),,. Schritt: Scheitel ablesen S(, /, ) AUFGABEN zu. und. y Gib die Funktionsgleichungen der im nebenstehenden Koordinatensystem dargestellten Funktionsgraphen an: G g O G h G f Bestimme jeweils die Scheitel der Funktionen: a) f ( ) = 0, b) g ( ) = + c) h ( ) = 7+ d) k ( ) = Merke: Ist eine quadratische Funktion in der faktorisierten Darstellung f ( ) = a( )( ) mit a,, R, a 0 angegeben, so kann man direkt die Nullstellen N ( 0) und N ( 0) ablesen. + Für die - Koordinate des Scheitels S(d e) gilt dann: d =. Quadratische Gleichungen Gleichungen der Form a + b + c = 0 mit abc R,,, a 0, nennt man quadratische Gleichungen. Im Gegensatz zu linearen Gleichungen ( m + t = 0 ) sind quadratische Gleichungen NICHT mit Äquivalenzumformungen lösbar. Graphisches Lösen einer quadratischen Gleichung: + = 0 y Um diese Gleichung graphisch zu lösen, muss man die Nullstellen der Funktion f( ) = + ermitteln. quadratische Ergänzung => Scheitel S(/-) O Ablesen N (/ 0) und N ( / 0)

7 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 7 von 7 Rechnerisches Lösen einer quadratischen Gleichung: a) mit dem Satz von Vieta Sind und (mit, R) Lösungen der quadratischen Gleichung gilt: + = b = c b c + + = 0 (d.h. a = ), so + = 0 Es gilt: + =+ = = und = b) mit der Lösungsformel Sind und (mit, R) Lösungen der quadratischen Gleichung b± b ac / = a a b c + + = 0, so gilt: = Es gilt: / + 8± 8 6 8± 6 8± = = = = Beachte: Den Ausdruck b ac bezeichnet man als Diskriminante D. Mithilfe von D lässt sich bestimmen, ob eine quadratische Gleichung überhaupt lösbar ist: D = b D = b D = b ac > 0 es gibt Lösungen ac = 0 es gibt Lösung ac < 0 es gibt keine Lösung AUFGABEN zu. Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen mit dem Satz von Vieta! a) b) Ermittle die Lösungen mithilfe der Lösungsformel! a) 6 + = 0 b) + = 0 9 c) 6y + 7 = y d) + = 0 (Achtung: Substitution, d.h. ersetze zuerst ² durch z) e) = f) 0= 0 (Achtung: manchmal geht es ohne Lösungsformel schneller!) + Finde jeweils heraus, für welchen Wert / welche Werte des Parameters m ( m R) die Gleichung + + m = 0 a) genau eine Lösung hat b) zwei Lösungen hat c) keine Lösung hat d) als eine ihrer Lösungen = besitzt.

8 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 8 von 7. Lineare Gleichungssysteme mit Unbekannten I. 6+ y z = 9 II. + y z = III. y z = 0 Analog zu den linearen Gleichungssystemen mit Unbekannten gibt es auch hier die drei bekannten Lösungsverfahren:. Einsetzungsverfahren. Gleichsetzungsverfahren und. Additionsverfahren [vgl. Grundwissen Mathematik 8. Klasse].6 Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen Gemeinsame Punkte zweier Funktionsgraphen G f und Diese bestimmt man wie folgt: Gleichsetzen der Funktionsterme Lösen der dadurch entstandenen Gleichung G sind alle Punkte P(/y) mit f ( ) = g( ). g f( ) = + und g ( ) = Gleichsetzen der Funktionsterme: Lösen der entstandenen Gleichung: + = = = = + => = ± / AUFGABEN zu. und.6 Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, die durch folgende Punkte verläuft: A(/), B(0/) und C(-/) Bestimme die Funktionsgleichung einer Parabel, deren Scheitel bei S( / ) liegt und die durch A(/) verläuft. Gib die Funktionsgleichung einer Parabel an, deren Nullstellen bei N (/0) und N (-/0) liegen und die durch den Punkt P(-/0) verläuft. Ermittle die gemeinsamen Punkte der Graphen der folgenden Funktionen: a) f ( ) = und g ( ) = b) f ( ) = + und g ( ) = 7, c) f ( ) = 7+ und g ( ) = + d) f( ) = und g ( ) = +

9 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 9 von 7 Erweiterung des Potenzbegriffs. Die allgemeine Wurzel Unter n a (lies: n-te Wurzel aus a) versteht man für a 0 und n N \{ } diejenige nicht-negative reelle Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat. d.h. ( ) n n a = a Bezeichnungen: n heißt Wurzeleponent, a heißt Radikand Lösung von Gleichungen mit der n-ten Wurzel Die Gleichung n = a (mit n N, a R) hat entweder zwei, eine oder keine Lösung: n gerade a) a > 0 es gibt zwei Lösungen: / b) a < 0 es gibt keine Lösung c) a = 0 es gibt eine Lösung: = 0 =± n ungerade n a) a > 0 es gibt eine Lösung: = a b) a < 0 es gibt eine Lösung: n = a c) a = 0 es gibt eine Lösung: = 0 n a Beispiele: a) c) = 6 / = 8 = ± b) = d) = 8 keine Lösung = 8 =. Potenzen mit rationalen Eponenten Es gilt: n a n = a und m n m n a = a (für a 0) Rechengesetze für Potenzen mit rationalen Eponenten ( ab R,, p, qrs Z,, \{ 0}) p r q p + s q r s a a = a p r q q p r s a : as = a p p p q q q a b =( ab ) p p a : b = b r p s p r q = q s a a q q a p q

10 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 0 von 7 AUFGABEN zu Vereinfache soweit wie möglich und schreibe in der Potenzschreibweise: a) b) 6 7 c) 7776 d) 80 e) , Vereinfache soweit wie möglich und gib dein Ergebnis in der Wurzelschreibweise an: a) b) 0 0 c) 6 d) 0 Vereinfache folgende Terme so weit wie möglich (alle verwendeten Variablen sind dabei größer 0) a) e) c b) a : a 07, z z z c) ( ab) ( ab) d) f) + 6 : y y Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck. Steigung und Gefälle der Tangens Eine Steigung von % bedeutet, dass der Höhenunterschied auf 00m m beträgt. α 00m m Definition: Das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete eines Winkels α bezeichnet man als Tangens von α (kurz: tanα ) Hypotenuse α Ankathete von α Gegenkathete von α Zusammenhang zwischen dem Tangens und der Steigung einer linearen Funktion Gegeben ist die lineare Funktion f ( ) = m+ t. Für den Winkel α, den die zugehörige Gerade mit der - Achse einschließt, gilt: tanα = m f( ) = O tanα = α =, 69 y α

11 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Beachte: Schließt eine Gerade mit der - Achse einen negativen Winkel ein, so ist sie fallend. Negativer Winkel bedeutet dabei, dass der Winkel im Uhrzeigersinn verläuft, also gegen den positiven Drehsinn! Mithilfe des Tangens kann man dann auch den Schnittwinkel zweier Geraden berechnen. Dieser ist definiert als der nichtstumpfe Winkel φ (d.h. 0 ϕ 90 ), den die Geraden miteinander einschließen. AUFGABEN zu. Ermittle jeweils mit Hilfe deines Taschenrechners die Größe des zugehörigen Steigungswinkels! a) Steigung: 0% b) Steigung: 77% Wo und unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen der folgenden Funktionen: a) f( ) = und g ( ) = b) f( ) = + und g ( ) = 7. Sinus und Kosinus C Es gilt: Länge der Gegenkathete sinα = Länge der Hypotenuse ; cosα = Länge der Ankathete Länge der Hypotenuse ; A Ankathete von α Gegenkathete von β α b Hypotenuse c a Gegenkathete von α Ankathete von β β B. Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis Es gilt: ϕ tanϕ = sin cosϕ (sin ϕ)² + (cos ϕ)² = sinϕ = cos( 90 ϕ) cosϕ = sin( 90 ϕ) y ( 0 ϕ 90 ) tanφ sinφ φ O cosφ

12 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Besondere Werte: φ sin φ 0 cos φ 0 tan φ 0 Nicht definiert AUFGABEN zu. und. Ermittle jeweils die gesuchten Größen sowie die Umfangslänge und den Flächeninhalt des Dreiecks. α b c β,cm,8cm c α 0 c,cm Begründe, dass in jedem Dreieck ABC mit γ = 90 gilt: tanα tan β = und tanα = cos β + (tan α) 6 Zusammengesetzte Zufallseperimente 6. Pfadregeln Zufallseperimente, die in mehreren Schritten durchgeführt werden, nennt man mehrstufig oder zusammengesetzt. Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. Darstellung im Baumdiagramm: K Z K Z K Z K Z K Z K Z K Z

13 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten gelten die Pfadregeln:. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert.. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu dem Ereignis gehören, addiert. Beispiele: a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint keinmal Zahl? P( keinmal Zahl ) = P(KKK) = = 8 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint genau zweimal Kopf? P( zweimal Kopf ) = P(KKZ) + P(KZK) + P(ZKK) = + + = Simulation von Zufallseperimenten Viele Zufallseperimente lassen sich durch so genannte Urnenmodelle nachahmen. Dabei verwendet man verschiedenfarbige, aber sonst nicht unterscheidbare Kugeln. Das Eperiment besteht dann darin, dass man einige Male nacheinander zieht und die Farbe der Kugel notiert. Man unterscheidet zwei Möglichkeiten: Ziehen mit Zurücklegen Dabei ändert sich der Urneninhalt nicht Ziehen ohne Zurücklegen Dabei ändert sich der Urneninhalt bei jedem Zug. AUFGABEN zu 6. und 6. Mit einem Laplace-Spielwürfel wird fünfmal geworfen und aus den Augenanzahlen als Ziffern in der Reihenfolge des Werfens eine fünfstellige natürliche Zahl gebildet. Berechne mithilfe der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) E : Die Zahl lautet. b) E : Die Zahl enthält die Ziffern,,, und genau einmal. c) E : Die Zahl enthält die Ziffer nicht. d) E : Die Zahl enthält die Ziffer 6 mindestens einmal. e) E : Die Zahl enthält die Ziffer genau zweimal und zwar an. und an. Stelle. Eine Untersuchung hat ergeben, dass etwa % aller Deutschen Linkshänder sind. Man wählt zufällig zehn Personen aus. a) Simuliere das Zufallseperiment durch ein Urnenmodell. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist unter den zehn ausgewählten Personen mindestens ein Linkshänder? 7 Fortführung der Raumgeometrie 7. Das gerade Prisma Verschiebt man ein Vieleck im Raum, so entsteht ein Prisma. gerades fünfseitiges Prisma schiefes fünfseitiges Prisma

14 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Beachte: Alle Seitenflächen des geraden Prismas sind Rechtecke. Der Abstand der Deckfläche von der Grundfläche heißt Höhe h des Prismas. Jedes Prisma hat genauso viele Seitenflächen wie die Grundseite Ecken hat. Alle Seitenflächen zusammen bilden die Mantelfläche eines Prismas. Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche, sowie der Grund- und der Deckfläche zusammen. Für Berechnungen am geraden Prisma gelten folgende Formeln: Oberflächeninhalt: O Prisma = G+ M = G+ U h (U: Umfangslänge der Grundfläche) Volumen: V Prisma = G h 7. Der gerade Kreiszylinder Wird als Grundfläche kein Vieleck, sondern ein Kreis verwendet, so entsteht ein gerader Kreiszylinder. Ist r der Grundkreisradius, h die Höhe und G der Grundflächeninhalt eines geraden Zylinders, so gilt: G h r Volumen: V Zylinder = G h = r π h Mantelfläche: M Zylinder = π rh Oberflächeninhalt: O Zylinder = G+ M = r π + rπ h 7. Die Pyramide Verbindet man alle Ecken eines Vielecks mit einem beliebigen Punkt außerhalb des Vielecks, so entsteht eine Pyramide. Spitze S Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke. Sie bilden zusammen den Mantel, die Grundfläche und der Mantel zusammen die Oberfläche der Pyramide. Die Seiten der Grundfläche bezeichnet man als Grundkanten, die Dreiecksseiten als Seitenkanten. Sind alle Seitenkanten gleich lang, so spricht man von einer geraden Pyramide. G Höhe h Zur Bestimmung des Rauminhalts einer Pyramide benötigt man das Prinzip von Cavalieri: Körper, die auf jeder Höhe h flächengleiche Querschnitte besitzen, haben dasselbe Volumen.

15 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 7 Damit ergibt sich folgende Formel für die Berechnung des Volumens einer Pyramide: VPyramide = G h 7. Der gerade Kreiskegel Wird als Grundfläche kein Vieleck, sondern ein Kreis verwendet, so entsteht ein Kreiskegel. Bildet die Verbindungsstrecke zwischen der Spitze S und dem Mittelpunkt des Grundkreises ein Lot auf die Grundfläche, so nennt man den Kegel gerade. Spitze S Schneidet man bei einem geraden Kreiskegel den Mantel längs einer Mantellinie auf, so lässt er sich zu einem Kreissektor abrollen. Es gilt: s h Mantellinie (Länge s) Volumen: VKegel = G h = r π h Mantelflächeninhalt: M = πr s r G Oberflächeninhalt: O = G+ M = πr + πr s s AUFGABEN zu Kapitel 7 Berechne das Volumen und die Oberfläche eines geraden Prismas mit einer Höhe von cm, wenn die Grundfläche a) ein gleichseitiges Dreieck mit 6 cm Seitenlänge ist. b) ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen cm und cm ist. c) ein symmetrisches Trapez mit den Grundseitenlängen,6cm und,cm und der Höhe,0cm ist. Litfasssäulen, die zu Werbezwecken verwendet werden, haben die Form eines Zylinders. Wie viel m² Fläche kann beklebt werden, wenn die Säule,60 m hoch ist und einen Außendurchmesser von,0 m besitzt? Eine quadratische Pyramide hat die Grundkante cm, und die Seitenkanten cm. a) Zeichne ein Schrägbild der Pyramide. b) Berechne den Neigungswinkel ϕ der Seitenflächen gegen die Grundkante. c) Berechne den Neigungswinkel ψ der Seitenkante gegen die Grundfläche. d) Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen. Ein kegelförmiges Sektglas hat den Randdurchmesser 6cm und eine Höhe von cm. Es wird bis zur halben Höhe gefüllt. Finde heraus, welcher Bruchteil des gesamten Volumens dann gefüllt ist.

16 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 6 von 7 LÖSUNGEN ZU DEN AUFGABEN Kapitel : a) 0 b) 7 c) d) 0 0 e) f), 0 a) b) c) d) 0 e) f) ( + ) a) 0 b) c), +, d) 7 9 a) a b) c) d) 8b e) 6a Kapitel : ) h c =,8cm; EC = 6, cm ; ED =, cm ) A = 6,cm² ) Der Teich ist,6m tief. ) ( ) + ( ) = ( + ) = 0,7 [m] Kapitel.: a) ( y)² b) 8(h,)(h +,) a) = 6; = -6 b) = 0; / = a) Dk = R\{,; -,} b) D l = R\{0; -6} b Kapitel./.: ) f() = ( ) + g() = ² h() = ( + ) a) S( ) b) S( 0) c) S( 6 7 ) d) es gibt keinen Scheitel 8 8 Kapitel.: a) -; 6 b) -; - a) b) keine Lösung c) ; 7 d) ; -; ; - 6 e) keine Lösung f) ± a) m = b) m < c) m > d) m = 8 7 Kapitel./.6: ) y= ) y = 9 ( + ) + ) unmöglich a) ; - b), c) 0, d) ; - Kapitel : a) b) c) 6 d) e) a) 00 b) 0,000 c) d) 00 y a) c b) c) ab d) e) a 0, 7 Kapitel.: a),7 b) 7,6 a) S(/); 6,6 b) S( ) ; 79,7 Kapitel.: ) Dreieck : zu wenig Angaben Dreieck : c =,9 cm; c = 0,7cm; α = 66, sinα sin β sinα cosα ) tanα tan β = = = cosα cos β cosα sinα (sin α )² cos β + (tan α) = sinα + = (cos α )² (cos α)² + (sin α)² = sinα = sinα = tanα (cos α)² (cos α)² f)

17 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 7 von 7! Kapitel 6../ 6.: a) 0, 0% 6 b), % c) 0, % 6 6 d) 9, 8% 6 e) 6, % 6 a) In einer Urne befinden sich 00 Kugeln, davon sind weiß, 86 schwarz. Man zieht 0mal mit Zurücklegen. 0 b) 0, 86 77, 87% Kapitel 7: a) V = G h = ( cm ) sin cm cm ; O = U h + G = 6cm cm ( cm ) sin cm ² b) V = G h = cm cm cm = 7 cm ; O = U h + G = ( cm + cm + cm) cm + cm cm 6cm² 6, cm +, cm c) V = G h = cm cm = 9, cm ; Berechnen des Umfangs: b = d = ( 0, cm)² + ( 0, cm)² 0, cm U = 6, cm+, cm+ 0, cm+ 0, cm = 68, cm 6, cm +, cm O = U h + G = 6, 8cm cm + cm = 6, 6 cm ² ) M = rπ h = 0, m π, 60m 9, 80m² b) h = ( cm)² (, cm)², 7cm; h = ( 7, cm)² (, cm)², cm Seitenfläche, cm tan ϕ = => ϕ 66,, cm c) d = ( cm)² + ( cm)², cm, cm tan ψ = => ψ 8,, cm Pyramide d) ) ASeitenfläche = 7, cm cm =, cm O = A + G =, cm+ cm cm =, cm² Seitenfläche V = G h = 9 cm², cm = 0, cm³ V ( )², ³ gesamt = r π h = cm π cm cm Berechnung des neuen Radius mit dem Strahlensatz: hhalbehöhe rhalbehöhe hhalbehöhe = rhalbehöhe = r = r h r h h V = r π = (, cm)² π 7, cm 77, m³ = V 8,% des gesamten Volumens befinden sich im Sektglas. halbehöhe halbehöhe gesamt

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2. Die Satzgruppe des Pythagoras Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von 17 1.4 Rechnen mit reellen Zahlen a) Multiplizieren und Dividieren von reellen Zahlen + Es gilt: a b = a b mit ab R, 0 Beispiele: 18 = 36 = 6 14 14 7 = = a a

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