Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen

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1 Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x) ; x D Schaubild: y = f (x) Genaue Bezeichnungen: siehe S Beispiel: Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion f (x) = 0,5 x mit a) D = b) D = c) D = Unterschiedliche Definitionsbereiche (Definitionsmengen) D können unterschiedliche Wertebereiche (Wertemengen) W zur Folge haben. W = {y I y = f (x); x D} Ein Punkt in der Ebene wird festgelegt durch die x-koordinate (Abszisse) und die y-koordinate (Ordinate). Für jedes Zahlenpaar einer Tabelle erhalten wir im Koordinatensystem einen Punkt. Aufgaben: S. 53, Nr. 2, 3. S. 54, Nr. 4, 8, 9, 10, 11. Aufgaben: S. 48, Nr. 2, 4, 6, 8. 1

2 Lineare Funktionen Eine Funktion der Form f (x) = m * x + b heißt lineare Funktion. Das Schaubild einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-achsenabschnitt b. Spezialfälle: 1. Winkelhalbierende: y = x x-achse: y = 0 y-achse: x = 0 x = 0 ist dabei nicht das Schaubild einer Funktion, da die Zuordnung nicht eindeutig ist. Der Zahl 0 aus D werden nämlich unendlich viele Zahlen zugeordnet. 2. Beispiel: Wir setzen b = 0. Mit m = 2 erhalten wir dann: f (x) = 2x. Die zugehörige Gerade y = 2x geht durch den Ursprung. Allgemein gilt: Das Schaubild einer linearen Funktion mit b = 0 ist eine Ursprungsgerade, also eine Gerade, die durch den Punkt (0 I 0) geht. Sie hat die Gleichung y = m * x 1. Beispiel: Zeichnen Sie die Geraden mit den Gleichungen x = 3 und y = 2. Jeder Punkt auf der Geraden mit der Gleichung y = 2 hat die y-koordinate 2. Jeder Punkt auf der Geraden mit der Gleichung x = 3 hat die x-koordinate 3. y = 2 ist Schaubild einer linearen Funktion mit der Steigung m = 0. x = 3 ist nicht das Schaubild einer Funktion, da der Zahl 3 aus D unendlich viele Zahlen zugeordnet werden. 3. Beispiel: Gegeben ist die Gerade g mit y = 2,3 x. Liegen die Punkte P (1,8 I 4,12) und Q (-0,9 I -2,07) auf g? Überprüfen kann man derlei Fragestellungen mit der Punktprobe: Liegt ein Punkt A auf einer Geraden g, so ergibt das Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung eine wahre Aussage. Liegt A auf g, so schreibt man: Liegt A nicht auf g, so schreibt man: A g A g Für die Koordinaten von P gilt: 4,12 = 2,3 * 1,8 Für die Koordinaten von Q gilt: -2,07 = 2,3 * -0,9 4,12 = 4,14 falsche Aussage => P g -2,07 = -2,07 wahre Aussage => Q g 2

3 4. Beispiel: Eine Ursprungsgerade geht durch den Punkt P (3 I 5). Bestimmen Sie die Geradengleichung. Es gilt: y = m * x + 0. Was fehlt, ist m. Mit y P = 5 und x P = 3 gilt: 5 = m * 3 I :3 5 / 3 = m Die Geradengleichung lautet also: y = 5 / 3 x Das Dreieck mit den Eckpunkten (0 I 0), (3 I 0) und (3 I 5) nennt man Steigungsdreieck. 5. Beispiel: Eine Ursprungsgerade geht durch den Punkt Q (-4 I 2). Bestimmen Sie die Geradengleichung. Mit y Q = 2 und x Q = -4 gilt: 2 = m * (-4) I :(-4) -0,5 = m Die Geradengleichung lautet also: y = -0,5 x Allgemein gilt: Liegt P (x P I y P ) auf der Geraden g, so gilt für die Steigung von g: y m x Bei negativem m fällt, bei positivem m steigt die Gerade. P P Geraden der Form y = m * x + b Verschiebt man die Ursprungsgerade g mit der Gleichung y = m * x um b Einheiten in y-richtung, so erhält man eine neue Gerade mit der Gleichung y = m * x + b. Schnittpunkt mit der y-achse Alle Punkte auf der y-achse haben die x-koordinate 0. Es gilt also: S y (0 I f(0)). Beispiel: g (x) = 3x 2. Schnittpunkt mit der x-achse g (0) = 3 * 0 2 = -2 S y (0 I -2) Alle Punkte auf der x-achse haben die y-koordinate 0. Es gilt also: S x (x 0 I 0). x 0 bezeichnet man auch als Nullstelle von f, S x als den Nullpunkt der Gerade. Beispiel: Bestimmen Sie den Nullpunkt der Geraden g: y = 2,5x 3. 0 = 2,5x 3 I = 2,5x I : 2,5 3 : 2,5 = x x = 6 / 5 = 1,2 S x (1,2 I 0) Schnittpunkt von zwei Geraden Vorgehensweise: 1) Gleichsetzen der y-werte der Geradengleichungen liefert den x-wert des Schnittpunktes 2) Einsetzen des x-wertes in eine der beiden Geradengleichungen ergibt den y-wert des Schnittpunktes Der x-wert des Schnittpunktes wird auch Schnittstelle genannt. 3

4 Schnittwinkel Für den Schnittwinkel zwischen einer Gerade g und der x-achse gilt: tan g = m g Für den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden g und h mit m g < m h gilt: = g h (Buch S. 59) Beispiel: Gegeben sind g: y = 2x + 3 und h: y = 0,5x 2. Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schjnittwinkel. Lösung: Der Schnittpunkt S (x S I y S ) liegt auf g und auf h. x S und y S erfüllen also beide Geradengleichungen. S g: y S = 2x S + 3 S h: y S = 0,5x S x S + 3 = 0,5x S 2 I - 0,5x S - 3 1,5x S = -5 I : 1,5 x S = - 10 / y S = 2 * (- 10 / 3 ) + 3 = - 20 / / 3 = - 11 / Schnittpunkt: S (- 10 / 3 I - 11 / 3 ) Schnittwinkel: = g h = tan -1 m g tan -1 m h = tan -1 2 tan -1 0,5 = 63,43 26,57 = 36,86 Besondere Lage zweier Geraden Parallelität: g h <=> m g = m h Orthogonalität: g h <=> m g = Aufstellen von Geradengleichungen Zu bestimmen: m und b. 1 <=> m g * m h = -1 m h Man benötigt also zwei Informationen, um ein Lineares Gleichungssystem (LGS) mit zwei Unbekannten aufzustellen. Beispiel: Welche Gerade geht durch P (1 I 2) und Q (5 I -1)? P liefert durch Einsetzen der Koordinaten: 2 = m * 1 + b I -m Q liefert durch Einsetzen der Koordinaten: -1 = m * 5 + b I -5m Gesuchte Gerade g: y = -0,75x + 2,75 Aufgaben: S m = b -1 5m = b - 2 m = -1 5m I +5m -2 4m = -3 I :4 m = - 3 / 4 = -0,75 b = 2 (-0,75) = 2,75 4

5 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme (LGS) mit zwei Variablen bestehen aus zwei lineare Gleichungen, in denen zwei Variablen vorkommen. Die Lösungen dieser LGS bestehen aus zwei Zahlen. Werden diese Zahlen in die in die Ursprungsgleichungen eingesetzt, so ergeben sich wahre Aussagen. Es gibt drei verschiedene Lösungsverfahren: Gleichsetzungsverfahren Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen und die Lösungen dann gleichsetzen (siehe: Schnittpunkte von Geraden). Beispiel: y = 3x + 7 y = -5x x + 7 = -5x + 11 I +5x -7 8x = 4 I :8 x = 0,5 Nun wird x = 0,5 in die erste oder die zweite Gleichung eingesetzt. y = 3 * 0,5 + 7 = 8,5 oder y = -5 * (0,5) + 11 = 8,5 Lösungen: x = 0,5 y = 8,5 Einsetzungsverfahren Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen und die Lösung dann in die andere Gleichung einsetzen. Beispiel: y = -x + 7 2x = 3y 1 2x = 3 * (-x + 7) 1 2x = -3x I +3x 5x = 20 I :5 x = 4 y = = 3 Lösungen: x = 4 y = 3 5

6 Additionsverfahren Die beiden Seiten beider Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegfällt. Dann nach der verbliebenen Variablen auflösen und diese in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen. Zur Veranschaulichung: = 11 Beispiel: y = -2x = = 7 da = = = 7 3y = 2x + 13 I Addieren der Gleichungen 4y = I :4 y = 5 5 = -2x + 7 I -7-2 = -2x I :(-2) 1 = x Lösungen: x = 1 y = 5 Subtraktionsverfahren Die beiden Seiten beider Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegfällt. Dann nach der verbliebenen Variablen auflösen und diese in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzen (siehe: Bestimmung von Geradengleichungen). Beispiel: y = 2x + 7 3y = 2x + 13 I Subtrahieren der Gleichungen -2y = 0 6 I :(-2) y = 3 3 = 2x + 7 I -7-4 = 2x I :2-2 = x Lösungen: x = -2 y = 3 6

7 Aufgaben 1.) Gegeben ist die Gerade g: y = 0,5x 1. Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Welche Parallele zu g geht durch den Punkt P (0 I 2). 5.) Die Gerade g verläuft parallel zur x-achse und geht durch den Punkt P (8 I 1). Die Gerade h hat die Steigung 2 und schneidet die y-achse in Q (0 I -3). Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und h. 2.) Die Gerade g verläuft parallel zur x-achse und geht durch den Punkt P (-4 I -1). Die Gerade h hat den y-achsen-abschnitt 2 und die Steigung -0,5. In welchem Punkt schneiden sich g und h? 6.) Die Gerade g geht durch die Punkte P (-2 I 2) und Q (-4 I 8). Berechnen Sie die Geradengleichung von g. 3.) Die Gerade g geht durch die Punkte P (2 I 1) und Q (-3 I 3). Berechnen Sie die Geradengleichung von g. Geben Sie die Gleichung einer Geraden an, die parallel zu g verläuft. 7.) Die Gerade g verläuft parallel zur x-achse und geht durch den Punkt P (4 I 4). Die Gerade h hat die Steigung 2 und schneidet die y-achse in Q (0 I -1). Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und h. 4.) Die Gerade g geht durch die Punkte P (-2 I 4) und Q (-1 I 8). Berechnen Sie die Geradengleichung von g. In welchem Punkt schneidet g die y-achse? 7

8 Lineare Funktionen, Überblick Lineare Funktion: f: x m * x + b Funktionsgleichung: f (x) = m * x + b Geradengleichung: Sonderfälle g: y = m * x + b 1) Geradengleichung der x-achse: y = 0 2) Geradengleichung der y-achse: x = 0 3) Ursprungsgerade: Gerade durch (0 l 0) 4) Parallelität: Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben: m 1 = m 2 5) Orthogonalität: Zwei Geraden sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn gilt: m 1 * m 2 = -1 Steigung einer Geraden durch zwei Punkte P 1 (x 1 Iy 1 ) und P 2 (x 2 Iy 2 ): m y x 2 2 y x 1 1 Steigungswinkel und Schnittwinkel Für den Steigungswinkel einer Geraden g gilt: tan g = m g => g = tan -1 (m g ) Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden mit den Steigungen m 1 > m 2 berechnet sich dann zu: = 1 2 = tan -1 (m 1 ) tan -1 (m 2 ) Funktionenschar: Funktionsgleichung, die außer der Variablen mindestens noch einen Parameter (auch Formvariable genannt) enthält und dadurch eine Schar von mehreren bzw. unendlich vielen Funktionen beschreibt. Ihre Schaubilder (Graphen) bilden eine Kurvenschar. Beispiel: g (x) = (3 + t) x 5 mit der Variablen x und dem Parameter t. Trigonometrie sin = Gegenkathete / Hypotenuse cos = Ankathete / Hypotenuse tan = Gegenkathete / Ankathete Satz des Pythagoras (Hypotenuse) 2 = (Ankathete) 2 + (Gegenkathete) 2 Punktprobe: Liegt ein Punkt A auf einer Geraden g, so ergibt das Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung eine wahre Aussage. Liegt A auf g, so schreibt man: Liegt A nicht auf g, so schreibt man: A g A g Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden (auch mit x- bzw. y-achse) Die Gleichungen der beiden Geraden bilden ein LGS, dessen Lösungen die Koordinaten des Schnittpunktes sind. 8