Lineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis

Transkript

1 Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion Nullstellenbestimmung Schnittpunktbestimmung Umkehrfunktion Schnittwinkel zwischen Geraden Allgemeiner Schnittwinkel Rechtwinkliges Schneiden Übungsaufgaben 9. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Lösungen der Übungsaufgaben. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe

2 .9 Aufgabe Aufgabe

3 Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion Eine Lineare Funktion ist eine Funktion, die sich in dieser Form darstellen lässt: f() = m + b Dabei stellen die Parameter m und b bestimmte Eigenschaften der Funktion dar, und zwar folgende: m: Die Steigung der Funktion b: Den -Achsenabschnitt der Funktion. Dabei ist die Steigung wie folgt definiert: m = = In dieser Formel kommen die Werte,, und vor. Sie stellen die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten P ( ) und P ( ) dar, die genau auf der Geraden von f() liegen. Nebenstehend ist die Funktion f() = + dargestellt. Auf den ersten Blick erkennt man sofort, dass die Gerade bei 0 = die - Achse schneidet. In der Funktionsgleichung erkennt man das daran, dass b = ist. Auch die Steigung kann man am Funktionsgraphen ablesen. Geht man von einem beliebigen Punkt P eine Einheit nach rechts, dann gibt der Wert der Steigung an, um wieviele Einheiten man nach oben gehen muss. Muss man nicht nach oben, sondern nach unten gehen, dann ist die Steigung negativ. 5 5 P P f() = + Im vorgestellten Beispiel muss man für jede Einheit nach rechts um Einheiten nach oben gehen, da die Steigung der Funktion m = ist. 5

4 . Nullstellenbestimmung Will man den Abschnitt auf der -Achse die sogenannte Nullstelle wissen, kan man den entsprechenden Wert nicht sofort an der Funktionsgleichung ablesen. Man kann ihn aber berechnen. Dies macht man, indem man den Funktionsterm gleich Null setzt und nach auflöst: f( 0 ) = = 0 0 = : 0 =. Schnittpunktbestimmung Die Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden zeige ich an einem Beispiel. Gegeben seien die beiden Funktionen f () = + 5 und f () = 0. 8 Der Schnittpunkt S( s s ) ist der Punkt, der beide Funktionsgleichungen erfüllt. Setzen wir seine allgemeinen Koordinaten s und s in die beiden Funktionsgleichungen ein, dann erhalten wir ein Lineargleichungssstem mit zwei Variablen. s = s + 5 s = s 0 8 f 5 7 f S Da beide Gleichungen nach s aufgelöst sind, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren zur Lösung an. Das gilt nicht nur für diese Aufgabe, das ist bei Schnittpunktbestimmungen immer so. 0 s + 5 = s 0 s 5 5 s = 5 : ( 5) s = Den zugehörigen Wert s kann man beliebig mit einer der beiden Funktionen bestimmen. Ich wähle dafür f () = 0 aus.

5 . Umkehrfunktion s = f ( s ) f () = 0 s = 0 s = Schnittpunkt: S( ) Wenn man die Rollen von und tauscht und dann die Gleichung neu nach auflöst, erhält man die sogenannte Umkehrfunktion f (). Ein Beispiel soll verdeutlichen, was damit gemeint ist. = f() = + Rollentausch = + = : = f () = Nebenstehend ist die eben besprochene Funktion f() = + in rot zusammen mit ihrer Umkehrfunktion f () = in blau dargestellt. Schaut man sich deren Lage zueinander genauer an, dann kann man feststellen, dass sie spiegelbildlich zueinander zu einer Achse liegen, die den ersten Quadranten in einem 5 0 -Winkel teilt. Diese Achse nennt man auch = -Achse, weil die zugehörige Funktionsgleichung = f() = heißt. Sie ist hier in der Farbe grün dargestellt. f() = + = -Achse f () = 5

6 .5 Schnittwinkel zwischen Geraden.5. Allgemeiner Schnittwinkel Schneiden sich zwei Geraden, dann entsteht zwischen diesen Geraden ein Schnittwinkel ϕ. Man kann zeigen, dass dieser Winkel mit nachfolgender Formel berechnet werden kann. tan ϕ = m m + m m f Hierbei wird davon ausgegangen, dass m die Steigung der Funktion f und m die Steigung der Funktion f ist. ϕ f Auf den Beweis der Formel soll an dieser Stelle verzichtet werden. Er kann mit Hilfe der Additionstheoreme der Trigonometrie durchgeführt werden. Wenn m < m ist, dann erhalten wir einen negativen Schnittwinkel. Will man das vermeiden, dann muss man den Betrag des Bruches bilden. Wir erhalten die endgültige Formel: m m tan ϕ = + m m Achtung! Will man mit dieser Formel ϕ berechnen, dann erhält man für den Fall, dass ϕ > 90 ist, über die Arcustangens-Funktion nur den kleineren Ergänzungswinkel ϕ mit ϕ = 80 ϕ. Dies ist immer dann der Fall, wenn der Nenner negativ wird. In diesem Fall muss also noch umgerechnet werden. Anmerkung: Für den Fall, dass m m = ist, ist der Nenner Null, der Bruch also nicht definiert. Mit der angegebenem Formel kann daher kein Winkel berechent werden. Dieser Fall wird im nächsten Kapitel behandelt.

7 Beispiel Gegeben sind die beiden Funktionen: f () = f () = + (Das sind die Funktionen aus der obigen Skizze.) Der Schnittwinkel wird berechnet: tan ϕ = tan ϕ = tan ϕ = m m + m m + tan ϕ = ϕ = arctan ϕ,87 Beispiel Gegeben sind die beiden Funktionen: f () = f () = + Nebenstehend sind die beiden Funktionsgraphen dargestellt. Wie man gut erkennen kann, ist der gesuchte Winkel ϕ größer als 90. Demnach wird bei der Berechnung der Ergänzungswinkel ϕ als Ergebnis herauskommen. Wir werden also am Ende der Berechnung den gesuchten Winkel ϕ aus ϕ umrechnen müssen. f f ϕ ϕ Wir berechnen nun den Winkel ϕ. 7

8 tan ϕ m m = + m m tan ϕ ( ) = + ( ) tan ϕ 5 = 5 ϕ = arctan ϕ = 5 Der Nenner ist negativ geworden; die Vermutung, dass der gesuchte Winkel größer als 90 sein muss, war also richtig. Damit kann der gesuchte Winkel ϕ bestimmt werden: ϕ = 80 ϕ = 80 5 = 5 8

9 .5. Rechtwinkliges Schneiden Wie schon im vorangehenden Kapitel dargestellt, gibt es immer einen Schnittwinkel, wenn sich zwei Geraden schneiden. Ist dieser Schnittwinkel ein Rechter Winkel, dann sagt man: Die Geraden schneiden f () = + sich rechtwinklig. oder: Die Geraden stehen senkrecht aufeinan- der. Man kann auch sagen: Die Geraden sind zueinander orthogonal. f () = Nebenstehend sind die Graphen zweier Funktionen f () und f () dargestellt, für die diese Bedingung zutrifft. Wenn man diese beiden Geraden in Gedanken hin und her g g dreht, dann kommt man leicht zu folgenden Zusammenhängen: Wenn die Gerade g steigt, dann fällt die Gerade g und umgekehrt. Wenn die Gerade g steiler wird, dann verläuft die Gerade g entsprechend flacher. Natürlich kann man das auch durch eine Formel ausdrücken. Die Formel ergibt sich aus der allgemeinen Schnittpunktformel aus dem vorangegangenen Kapitel. Da der Tangens für einen Rechten Winkel nicht eistiert (bzw. unendlich groß ist), ist in der Schnittwinkel-Formel der Nenner gleich Null. Das führt zu nachfolgender Formel. Sie lautet für zwei Funktionen mit f () = m + b und f () = m + b : Bedingung für Orthogonalität: m m = 9

10 Übungsaufgaben. Aufgabe Nebenstehendes Diagramm zeigt die Funktionsgraphen zweier Funktionen. Die Funktion f () ist rot dargestellt, die Funktion f () ist blau. Bestimmen die die Funktionsgleichungen f () und f () der beiden Funktionen. Berechnen Sie auch den Schnittpunkt S der beiden Funktionsgraphen! 5 f () 5 f () 5 5. Aufgabe Eine Gerade hat eine Steigung von m = 0, 5 und eine Nullstelle bei 0 =. Wie lautet die zugehörige Funktion f()?. Aufgabe Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen f () und f () der beiden Funktionen f () = und f () = +.. Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f () der Geraden, die durch den Punkt P ( ) parallel zur Geraden mit der Funktionsgleichung f () = verläuft..5 Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f() der Geraden, die durch die Punkte P ( 5) und P (5 ) verläuft! 0

11 . Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f () der Geraden g, die die Gerade g mit der Funktionsgleichung f () = an der Stelle s = rechtwinklig schneidet..7 Aufgabe 7 Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Geraden g und g mit den zugehörigen Funktionsgleichungen f () = + 5 und f () = 0..8 Aufgabe 8 Die drei Geraden g, g und g mit f () = +, f () = und f () = m 8 schneiden sich alle im gleichen Punkt. Bestimmen Sie die Steigung m in der Funktion f ()!.9 Aufgabe 9 Welchen Abstand hat der Punkt P (7 ) von der Geraden g mit der Funktionsgleichung f () = 5 + 0? Lösungshinweis: Bestimmen Sie dazu die Funktionsgleichung f () der Geraden g durch P senkrecht zur Geraden g..0 Aufgabe 0 Die Gerade g verläuft in der Mitte zwischen den Punkten P ( 5) und P ( 5 7) hindurch und schneidet ihre Verbindungslinie rechtwinklig. Wie lautet die zugehörige Funktionsgleichung f()?

12 Lösungen der Übungsaufgaben. Aufgabe Nebenstehendes Diagramm zeigt die Funktionsgraphen zweier Funktionen. Bestimmen die die Funktionsgleichungen f () und f () der beiden Funktionen. Berechnen Sie auch den Schnittpunkt S der beiden Funktionsgraphen! Lösung: Beginnen wir mit der Funktion f. Die allgemeine Form 5 lautet: f () f () = m + b Zwei Punkte, deren Koordinaten man gut ablesen kann, sind beispielsweise die Punkte P ( ) und 5 P (0 ). Wenn man von P nach P geht, muss man Einheiten nach rechts und Einheiten nach unten gehen. Damit ist = und =. Wir erhalten also: P 5 P f () 5 m = = = Der Parameter b ist der Abschnitt auf der -Achse, den man mit 0 = ablesen kann. Eingesetzt in die allgemeine Form erhalten wir: f () = + Auch für f kann man die Steigung gut ablesen. Mit jeder Einheit, die wir nach rechts gehen, geht man Einheiten nach unten. Damit ist = und =. Wir erhalten also m =. Die Funktionsgleichung sieht damit so aus: f () = + b Den Abschnitt auf der -Achse kann man nicht ablesen, er liegt außerhalb des dargestellten Diagramms. Daher setzt man von einem beliebigen Punkt, dessen Koordinaten

13 man gut ablesen kann, diese in die Funktionsgleichung ein und bestimmt damit den Parameter b. Ich wähle hierzu den Punkt P ( ) aus. = + b = ( ) + b = + b b = Den gefundenen Wert für b setzen wir in die Funktionsgleichung ein und erhalten f. f () =

14 Was noch fehlt, ist die Bestimmung des Schnittpunktes. Wie geht das? Der Schnittpunkt S( s s ) ist der Punkt, der beide Funktionsgleichungen erfüllt. Setzen wir seine allgemeinen Koordinaten s und s in die beiden Funktionsgleichungen ein, dann erhalten wir ein Lineargleichungssstem mit zwei Variablen. s = s + s = s Da beide Gleichungen nach s aufgelöst sind, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren zur Lösung an. Das gilt nicht nur für diese Aufgabe, das ist bei Schnittpunktbestimmungen immer so. s + = s + s s s = 9 s = 9 s = 5 9 Den zugehörigen Wert s kann man beliebig mit einer der beiden Funktionen bestimmen. Ich wähle dafür f () = aus. s = f ( s ) f () = s = ( 5 9 ) = 5 s = S ( 5 9 )

15 . Aufgabe Eine Gerade hat eine Steigung von m = 0, 5 und eine Nullstelle bei 0 =. Wie lautet die zugehörige Funktion f()? Lösung: Die Normalform für die Lineare Funktion lautet: f() = m + b Mit der angegebenen Steigung m = 0, 5 lautet die Funktionsgleichung: f() = 0, 5 + b 7 5 f() Wir müssen nur noch b bestimmen. Das geht, indem wir die Koordinaten der Nullstelle N( 0) in die Funktion einsetzen und dann nach b auflösen. f( 0 ) = 0 0, 5 + b = 0 + b = 0 + b = Wir setzen die gefundenen Werte in die Normalform ein und erhalten die gesuchte Funktionsgleichung: f() = 0, 5 + 5

16 . Aufgabe Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen f () und f () der beiden Funktionen f () = und f () = +. Lösung: Beginnen wir mir f. Wenn man die Rollen von und tauscht und dann die Gleichung neu nach auflöst, erhält man die sogenannte Umkehrfunktion f (). = Wir machen den Tausch von und und lösen nach auf. = = 5 : 5 5 = = f f f = -Achse f 8 0 f () = 5 Es folgt die Berechnung der Umkehrfunktion von f. = + Wir machen den Tausch von und und lösen nach auf. = = = + f () = + Anmerkung: Die Umkehrfunktion f () ist identisch mit der urprünglichen Funktion f ()!

17 . Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f () der Geraden, die durch den Punkt P ( ) parallel zur Geraden mit der Funktionsgleichung f () = verläuft. Lösung: Wenn zwei Geraden parallel verlaufen, dann haben sie die gleiche Steigung. Die Steigung für f () kann also direkt aus f () mit m = 5 übernommen werden. f () = 5 + b Zur Bestimmung von b setzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Funktionsgleichung ein f f P = 5 + b = 5 + b = 5 + b + 5 = b f () = 5 + 7

18 .5 Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f() der Geraden, die durch die Punkte P ( 5) und P (5 ) verläuft! 5 Lösung: Zu dieser Aufgabe gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Lösungsmöglichkeiten. Ich stelle sie nach-einander dar. Lösungsweg : In die allgemeine Form der Funk-tionsgleichung f() = m + b setzt man nacheinander die Koordinaten- beider Punkte ein und erhält ein- Lineargleichungssstem zweiter Ordnung. In diesem Beispiel soll dieses mit- dem Subtraktionsverfahren gelöst wer--den. P 5 f 5 7 P () m ( ) +b = 5 () m 5 +b = () m +b = 5 () 5m +b = 7m = 7 : 7 m = Das Ergebnis setze ich in Gleichung () ein: ( ) + b = 5 + b = 5 b = f() = + Lösungsweg : Aus den Koordinaten der beiden Punkte kann mit Hilfe der Definition der Steigung direkt m bestimmt werden. m = = = 5 5 ( ) = 7 7 = Damit erhalte ich die Funktionsgleichung in dieser Form: f() = + b 8

19 Um b zu bestimmen, setze ich die Koordinaten des Punktes P in diese Gleichung ein: 5 = ( ) + b 5 = + b = b f() = + 9

20 . Aufgabe Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f () der Geraden g, die die Gerade g mit der Funktionsgleichung 8 f () = an der Stelle s = 7 rechtwinklig schneidet. Lösung: Die Bedingung für recht-winkliges Schneiden lautet: m m = Damit können wir die Steigung für f bestimmen. m m = m = : f f S 5 7 m = f () = + b Die Geraden schneiden sich bei s =. Den zugehörigen -Wert können wir aus der Funktionsgleichung f () bekommen. s = f ( s ) = = 5 Jetzt können wir die Koordinaten des Schnittpunktes in die Funktionsgleichung von f () einsetzen, um b zu bestimmen. f ( s ) = s + b 5 = + b 5 = + b + 7 = b f() = + 7 0

21 .7 Aufgabe 7 Bestimmen Sie den Schnittpunkt S der beiden Geraden g und g mit den zugehörigen Funktionsgleichungen f () = + 5 und f () = 0. Lösung: Zur Schnittpunktbestimmung können die beiden Funktionsterme gleichgesetzt werden. Dadurch erhält man den -Wert S des Scheitelpunktes S. Den zugehörigen - Wert S findet man anschließend, indem man S in eine der beiden Funktionsgleichungen für einsetzt. Hierzu habe ich mir f () ausgesucht. 5 S 0 f f f ( s ) = f ( s ) s + 5 = 0 s 0 s 5 s = 8 : s = s = f ( s ) = ( ) + 5 s = Schnittpunkt: S( )

22 .8 Aufgabe 8 Die drei Geraden g, g und g mit f () = +, f () = und f () = m 8 schneiden sich alle im gleichen Punkt. Bestimmen Sie die Steigung m in der Funktion f ()! 0 Wir bestimmen zunächst die Ko-ordinaten des Schnittpunktes durch - Gleichsetzen der Funktionsterme von f () und f () f f S 5 f f ( s ) = f ( s ) s + = s + s s = 8 : s = s = f ( s ) = ( ) + s = Die Koordinaten des gefundenen Schnittpunktes S( ) setzen wir nun in f () ein und lösen nach m auf. s = f ( s ) = m ( ) 8 + m + m = : m = Steigung: m =

23 .9 Aufgabe 9 Welchen Abstand hat der Punkt P (7 ) von der Geraden g mit der Funktionsgleichung f () = + 0? 5 Lösung: Zur Lösung bestimmen wir die Funktionsgleichung f () der Geraden g durch P senkrecht zur Geraden g. Danach wird der Schnittpunkt S zwischen f und f wird bestimmt. Anschließend kann die Strecke P S mithilfe des rechtwinkligen Dreiecks aus der Strecke P S, und berechnet werden. Das ganze führen wir nun Schritt für Schritt durch. Die Geradengleichung dieser Funktion lautet f () = m + b. Die Steigung erhalten wir über die Bedingung für rechtwinkliges Schneiden mit der Geraden g. S g g P 8 0 m m = 5 m 5 = m = 5 Den Parameter b erhalten wir, indem wir die Koordinaten des Schnittpunktes in f einsetzen und die Gleichung nach b auflösen. f ( p ) = p b = 5 + b = + 5 b = 7 f () = 5 + 7

24 Nun bestimmen wir den Schnittpunkt S( s s ) zwischen den beiden Geraden. Dazu setzen wir die beiden Funktionsterme gleich. f ( s ) = f ( s ) 5 s + 0 = 5 s s + 00 = 5 s s 00 9 s = 85 : 9 s = 5 s = f ( s ) s = ( 5) s = 8 Mit dem gefundenen Schnittpunkt S( 5 8) und dem gegebenen Punkt P (7 ) kann nun der gesuchte Abstand bestimmt werden. Er ist identisch mit der Länge der Strecke P S. Zeichnet man zwischen P und S ein Steigungsdreieck für g, dann erkennt man, dass die Strecke P S aus und mit dem Satz des Pthagoras bestimmt werden kann. (P S) = ( ) + ( ) P S = ( ) + ( ) = ( s p ) + ( s p ) = ( 5 7) + (8 ) = + 5 P S = Abstand: Längeneinheiten

25 .0 Aufgabe 0 Die Gerade g verläuft in der Mitte zwischen den Punkten P ( 5) und P ( 5 7) hindurch 8 und schneidet ihre Verbindungslinie rechtwinklig. Wie lautet die zugehörige Funktionsglei- 7 chung f()? 5 Lösung: Der Lösungsweg könnte folgender-maßen aussehen: Die gesuchte Gerade muss auf der Verbindungslinie P P senkrecht stehen. Man bestimmt al- 0 so die Steigung m v der Verbindungslinie P P und berechnet daraus mit Hilfe der Formel für- rechtwinkliges Schneiden die Steigung m der- gesuchten Funktionsgleichung. Dann bestimmt- man den Mittelpunkt M zwischen P und P.- Das kann man durch Mittelwertbildung der -5 Koordinaten machen. Da der Mittelpunkt M einen Punkt der gesuchten Geraden darstellt, - kann man seine Koordinaten in die Geraden-gleichung einsetzen, um damit den noch fehlenden Parameter b zu bestimmen. Diese Schritte führen wir nun der Reihe nach durch. P 8 M P f() Die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten hat die Steigung m v, die wir berechnen können. Daraus lässt sich dann die Steigung m der gesuchten Funktion bestimmen. m v = = = 7 ( 5) 5 = = m v m = m = : ( ) m = f() = + b Um den noch unbekannten Parameter b zu bestimmen, benötigen wir eine weitere Beziehung. Bekannt ist, dass die gesuchte Gerade genau in der Mitte zwischen den Punkten P und P hindurch geht. Wenn wir die Koordinaten dieses Punktes nennen wir ihn M( M M ) in die Funktionsgleichung einsetzen, erhalten wir b. Da der Punkt M in der Mitte zwischen den Punkten P und P liegt, stellen seine Koordinaten M und M 5

26 das Arithmetische Mittel zwischen den entsprechenden Koordinaten von P und P dar. M = + M = + ( 5) M = M = + M = M = M = f( M ) = ( ) + b = + b + = b f() = +