Aufgabe 1: a )Geben Sie, an auf welchem Zahlenraum die in unserem Unterricht behandelten Funktionen i. R. definiert sind.
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- Heike Goldschmidt
- vor 5 Jahren
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1 Aufgabe 1: a )Geben Sie, an auf welchem Zahlenraum die in unserem Unterricht behandelten Funktionen i. R. definiert sind. In der Regel sind die Funktionen in unserem Unterricht auf den Zahlenmenge der reellen Zahlen definitiert. b )Definieren Sie in MuPad diesen Zahlenraum. assume(type::real) R c )Definieren Sie folgende lineare Funktion mit MuPad: f ( ) = 19 f:=->(-)* - 19; 19 d )Beschreiben Sie, den Unterschied zwischen einer handschriftlichen und einer mit MuPad definierten Zuordnungsvorschrift. In der handschriftlichen Definition verwenden wir zwischen dem Bezeichner "f" und der Variablen "" nur ein Doppelpunkt ":". In der Definition mit MuPad verwenden wir zwischen dem Bezeichner "f" und der Variablen "" ein Doppelpunkt und ein Gleichheitszeichen ":=". e )Bestimmen Sie ( i ) den Funktionswert von = 4 f(4) 9 ( ii ) den Schnitt mit der y-achse Der Schnitt mit der y-achse bedeutet, dass wir den Funktionswert an der Stelle = 0 (y-achse) suchen: f(0) //Funktionswert an der Stelle = 0; Gilt für alle Funktionen 19 Natürlich kann man auch den konstanten Summanden der linearen Funktionsgleichung angeben und begründen, dass nur dieser Anteil des Funktionsterms "übrig bleibt", wenn man = 0 einsetzt. ( iii ) die Nullstelle 1 Der Schnitt mit der -Achse bedeutet, dass wir die Stelle der -Achse suchen, an der der Funktionswert f()= 0 ist.
2 Funktionswert f()= 0 ist. Das geht nur mit Gleichungslösung und damit mit dem "solve"-befehl bzgl. der Variablen "": solve(f()=0, ) //Berechnung der Stelle an der "f()= 0" gilt; Gilt für alle Funktionen! # " 19 Damit ist die Nullstelle bei = -19 / und der dazugehörige Schnittpunkt N von f mit der -Achse bei N( -19 / 0 ). ( iv ) die -Koordinate von y = -1. Wenn wir zu einem bestimmten Funktionswert ( hier: y = -1 ) die dazugehörige Stelle der Funktion f suchen, können wir uns das auch als Schnitt einer Paralleln der -Achse in Höhe dieses Funktionswertes denken. Der Schnitt mit dieser Paralleln zur -Achse bedeutet, dass wir die Stelle der -Achse suchen, an der der Funktionswert f()= y hier: f() = -1 ist. Das geht wieder nur mit Gleichungslösung und damit mit dem "solve"-befehl bzgl. der Variablen "": solve(f()= -1, ) //Berechnung der Stelle an der "f()= -1" gilt;! # " 1 Damit besitzt der dazugehörige Punkt P von f mit y= -1 die Koordinaten P( -1 / -1 ). plotfuncd(f(),=-6..,yrange=-0..10, GridVisible=TRUE) y 10
3 y ENDE AUFGABE 1 Aufgabe : Hier sind mehrere Schritte nötig: erster Schritt: Bestimmen der Steigung zweiter Schritt: Bestimmen des y-achsenabschnitts dritter Schritt: Definieren der Funktion g erster Schritt: Bestimmen der Steigung Wir verwenden den Differenzenquotienten und definieren die Steigung von g: m_g:=(. - / )/( - /) Damit besitzt die Gerade g die Steigung m_g = - 1, Als Bruch: -(1+/); float(-(1+/));
4 zweiter Schritt: Berechnen von "b" durch die allgemeine Funktionsgleichung y = m * + b und einer der gegebenen Punkte z.b. R(, ) mit Hilfe des "solve"-befehls, wobei die Variable "b" ist: b_g:=solve(.=(-/)*+b, b) {10.} dritter Schritt: Definieren der Funktion g: m_g; b_g; g:=-> (-/)*+10.; {10.} " 10. b ) Bestimmen Sie, falls mo glich, den Schnittpunkt der Geraden g aus dieser Aufgabe mit der Geraden f aus der Aufgabe 1 und geben Sie begru ndet an, wie die Geraden zueinander liegen. Für die Berechnung des Schnittpunktes muss der Funktionsterm der Funktion f und der Funktionsterm der Funktion g gleichgesetzt werden. Dann muss die Gleichnung nach "" aufgelöst werden. Das geht wieder nur mit Gleichungslösung und damit mit dem "solve"-befehl bzgl. der Variablen "": solve(f()= g(), ) //Berechnung der Stelle an der "f()= g()" gilt; { } Jetzt noch den Funktionswert des Schnittpunktes bestimmen: f(-.9); g(-.9);.7 4.7
5 .7 Damit besitzt der dazugehörige Schnittpunkt S von f und g die Koordinaten S( ). plotfuncd(f(),g(),= ,yrange=-.., GridVisible=TRUE) y Scaling=Constrained, * /* ENDE AUFGABE Aufgabe : Bestimmen Sie die Schnittpunkte beider Geraden a) f()= / 1, g()= 1/6 4 b) f()= +, g()= 1 a) Erster Schritt: Funktionen definieren: f_a:=->(-/)* - 1; " 1
6 " 1 g_a:=-> 1/6* - 4; 6 4 Zweiter Schritt: Gleichsetzen der Funktionen und Gleichung nach "" auflösen: solve(f_a()=g_a(),);! # " 1 Dezimal: float(solve(f_a()=g_a(),)); {.6} Dritter Schritt: y-koordinate berechnen: f_a(1/); g_a(1/); " 17 " 17 Damit ist der Schnittpunkt S_a bei S_a(1/ -17/). Dezimale y-koordinate berechnen: float(f_a(1/)); float(g_a(1/));.4.4 Damit ist der Schnittpunkt S_a bei S_a( ). Bitte mit Graph vergleichen! plotfuncd(f_a(),g_a(),=-..,yrange=-.., Scaling=Constrained, GridVisible=TRUE) 6 y
7 y /* - 1 1/6* b) Erster Schritt: Funktionen definieren: f_b:=->(-)* + /4; 4 g_b:=-> (-1)* - 1; 1 Zweiter Schritt: Gleichsetzen der Funktionen und Gleichung nach "" auflösen: solve(f_b()=g_b(),);! # 9 Dezimal: float(solve(f_b()=g_b(),)); {1.1} Dritter Schritt: y-koordinate berechnen: f_b(9/); g_b(9/); 7 " 17
8 " 17 " 17 Damit ist der Schnittpunkt S_b bei S_b( 9/ -17/ ). Dezimale y-koordinate berechnen: float(f_b(9/)); float(g_b(9/));.1.1 Damit ist der Schnittpunkt S_b bei S_b( 1,1 -.1 ). Bitte mit Graph vergleichen! plotfuncd(f_b(),g_b(),=-..,yrange=-.., Scaling=Constrained, GridVisible=TRUE) y /4 - * ENDE AUFGABE Aufgabe 4: Gegeben ist die Funktion f() = - +. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion g(), die zu f orthogonal ist und
9 die zu f orthogonal ist und die -Achse im Punkt _0 = schneidet. f:=->(-)*+; Die Steigung von f ist (-). Damit g orthogonal zu f ist, muss gelten: m_f * m_g = -1 bzw. m_g = -1 / m_f : m_g:= -1 / (-) Einsetzen von m_g und der Nullstelle _0 = in die allgemeine Funktionsgleichung und auflösen nach "b": solve(0 = 1/*+b,b)! # Umschreiben in eine Dezimalzahl: float(%) { 1.} Damit ergibt sich für die Funktion g: g:= -> 1/ * + (-/); Bitte mit Graph vergleichen! plotfuncd(f(),g(),=-..,yrange=-.., Scaling=Constrained, GridVisible=TRUE) 9 y
10 y * 1/* - / ENDE AUFGABE 4 AUFGABE : NUR HANDSCHRIFTLICH!! 10
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