Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion. Baden-Württemberg

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1 Pflichtteilaufgaben zu Elemente der Kurvendiskussion Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Aleander Schwarz September 6

2 Übungsaufgaben: Ü: Gegeben ist die Funktion f mit f() = ( ) (+ ) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Schaubildes von f mit den Koordinatenachsen. Ü: Gegeben sind die Funktionen f mit f() = + und g mit g() =. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g. Ü: Gegeben ist die Funktion f mit f() = + +. Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Etrem- und Wendepunkte. Ü: Gegeben ist die Funktion f mit f() =. Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normalen an den Graphen im Punkt B(/f()). K f von f Ü5: Gegeben ist die Funktion f mit f() =. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen Kf von f mit der Steigung. Ü6: Gegeben ist die Funktion f mit f() =. Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Graphen Punkt P(/-) gehen. Ü7: Für eine ganzrationale Funktion f zweiten Grades gilt: H(/) ist Hochpunkt und P(/-) ein weiterer Punkt ihres Schaubildes. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f. K f von f, die durch den Ü8: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat den Hochpunkt H(/5) und den Wendepunkt W(/). Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung. Ü9: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades hat den Tiefpunkt T(-/-6) und an der Stelle die Steigung. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung. Ü: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades berührt die -Achse im Punkt P(/), schneidet sie im Punkt Q(-/) und schneidet die y-achse im Punkt R(/). Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f.

3 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe : (Abiturprüfung 6) Der Graph der Funktion f mit f() = + besitzt einen Wendepunkt. 6 Zeigen Sie, dass y= eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist. Aufgabe : (Abiturprüfung 5) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades hat im Ursprung einen Hochpunkt und an der Stelle = die Tangente mit der Gleichung y=. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f. Aufgabe : (Abiturprüfung ) π Gegeben sind die Funktionen f und g mit f() = cos() und g() = cos. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für Aufgabe : (Abiturprüfung ) Gegeben sind die Funktion f mit f() = und g mit g() =. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden zugehörigen Graphen. Untersuchen Sie, ob sich die beiden Graphen senkrecht schneiden. Aufgabe 5: (Abiturprüfung ) Gegeben sind die Funktion f und g mit f() = e und g() = e +. a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(/) berühren. Aufgabe 6: (Abiturprüfung ) Gegeben ist die Funktion f mit f() =. Ihr Schaubild ist K. a) Geben Sie die Asymptoten von K an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an K im Punkt P(/f()) mit der -Achse. Aufgabe 7: (Abiturprüfung 9) Das Schaubild der Funktion f mit f() = + besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt.

4 Aufgabe 8: (Abiturprüfung 8) Für eine ganzrationale Funktion h zweiten Grades gilt: T(-/-) ist Tiefpunkt und Q(/5) ein weiterer Punkt ihres Schaubilds. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von h. Aufgabe 9: (Abiturprüfung 7) Gegeben ist die Funktion f mit f() =. + a) Bestimmen Sie die Punkte des Schaubildes von f mit waagrechter Tangente. b) Das Schaubild von f hat im Punkt P (/ ) die Normale n. Ermitteln Sie eine Gleichung von n. Aufgabe : (Abiturprüfung 6) Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die -Achse im Ursprung. Der Punkt H(/) ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Aufgabe : (Abiturprüfung 5) Gegeben ist die Funktion f mit f() = ;. Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds von f an. Skizzieren Sie damit das Schaubild von f. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im Punkt P(/f()). Aufgabe : (Abiturprüfung ) Gegeben ist die Funktion f mit f () = + ;. Das Schaubild von f hat im Punkt P(/v) die Tangente t. Ermitteln Sie eine Gleichung von t. Die Tangente t schneidet die -Achse im Punkt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.

5 Ü: Schnittpunkt mit der y-achse: Lösungen f() = ( ) = 8 S ( / 8) Schnittpunkte mit der -Achse: f() = = und = -, also N ( / ) und N ( / ) y Ü: Schnittpunkte der Schaubilder ergeben sich durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: f() = g() + = 5+ = 5± 5 5± Es gilt g() = und g() = 6, = = =, = Die Schnittpunkte haben die Koordinaten S (/ ) und S ( / 6). Ü: f() = + + Ableitungen: f () = + f () = + f () = Hinreichende Bedingung für Etrempunkte: f () = und f () ± + ± f () f () = > T(/ ) f ( ) = < H( / ) = + =, = = =, Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: f () = und f () f () = + = = f ( ) = W( / ) Ü: Allgemeine Tangentengleichung: y= f (u) ( u) + f(u) mit u = f() = 6 Es ist f () = f () = 8 Tangentengleichung: y= 8( ) + 6 y= 8 6 Allgemeine Normalengleichung: y = ( u) + f(u) mit u = f (u) Nomalengleichung: y = ( ) + 6 y= + 6, =

6 Ü5: Es ist f () = Gegeben ist die Steigung : f () = = =,5 Die Tangente berührt das Schaubild von f an der Stelle =,5. Allgemeine Tangentengleichung: y= f (u) ( u) + f(u) mit u =,5. f(,5) =,5 und f (,5) = Tangentengleichung: y= (,5) +,5 y=,5 Ü6: f() = Es ist f () = Allgemeine Tangentengleichung: y= f (u) ( u) + f(u) Bekannt ist der Tangentenpunkt P(/-), der in die allgemeine Tangentengleichung für und y eingesetzt wird: = f (u) ( u) + f(u) = u ( u) + u u = u=± Man kann zwei Tangenten von P aus an das Schaubild von f anlegen: Erste Tangente (u = -): y= f ( ) (+ ) + f( ) y= (+ ) + y= Zweite Tangente (u = ): y= f () ( ) + f() y= ( ) + y= Ü7: Es handelt sich um eine Parabelgleichung, wobei der Scheitelpunkt gegeben ist: Ansatz: f() = a ( ) + Bedingung: f() = : Die Funktionsgleichung lautet = a ( ) + = a+ a= f() = ( ) + Ü8: Ansatz für die Funktionsgleichung: Daraus folgt Bedingung: f() = 5 d= 5 f () = c= f() = a + b + c+ d f () = a + b+ c und f () = 6a+ b f() = 8a+ b+ 5= 8a+ b= (*) f () = a+ b= (**) Aus (**) folgt a+ b= b= 6a Einsetzen von b = -6a in (*): 8a+ ( 6a) = 6a= a=,5 6

7 Daraus folgt b= 6, 5=,5 Die Funktionsgleichung lautet f() =, 5,5 + 5 Ü9: Es handelt sich um eine Parabelgleichung, wobei der Scheitelpunkt gegeben ist: Ansatz: f() = a (+ ) 6 Es gilt f () = a (+ ) = a+ a = a Bedingung: f () = a+ a= 6a= a=,5 Die Funktionsgleichung lautet f() =,5( + ) 6 Ü: Da von dem Schaubild von alle Nullstellen bekannt sind, kann der Ansatz der Funktionsgleichung so erfolgen: f() = a ( ) (+ ) (aufgrund der Berührung eistiert bei = eine doppelte Nullstelle) Einsetzen des Punktes R: f() = a ( ) (+ ) = 6a= a= 8 Die Funktionsgleichung lautet f() = ( ) (+ ) 8 Aufgabe : Berechnung der Wendestelle der Funktion Es gilt f () =,5 + und f () = + 6 f() = + Notwendige Bedingung für eine Wendestelle: f () = + = = Da gemäß Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass die Funktion f einen Wendepunkt besitzt, kann die hinreichende Bedingung weggelassen werden. Gleichung der Tangente an der Stelle = : y= f () ( ) + f() Es gilt f() = 8+ = und f () =,5 + = 6 Einsetzen in die Tangentengleichung: y= ( ) + y= Die Tangentengleichung entspricht der in der Aufgabenstellung angegebenen Gerade. 7

8 Aufgabe : Ansatz für die Funktionsgleichung: Aufstellen der Bedingungen: Ursprung liegt auf Schaubild: f() = d= Hochpunkt bei = : f () = c = f() = a + b + c+ d mit f () = a + b+ c Steigung der Tangente an der Stelle = ist : f () = a+ b+ c = (*) Einsetzen von = in die Tangentengleichung ergibt y= = Bedingung: f() = 8a+ b+ c+ d= (**) Einsetzen von d = und c = in (*) und (**) ergibt folgendes Gleichungssystem: a + b = 8a + b = () () () - () ergibt a= 8 a= Einsetzen von a = in (): 6+ b= b= b= 5 Die Funktionsgleichung lautet f() = 5 Aufgabe : a) Der Graph von f wird mit dem Faktor in y-richtung gestreckt. Anschließend wird er mit dem Faktor π in -Richtung gestreckt. Danach wird er um Längeneinheiten nach unten verschoben. b) Nullstellen von g: g() = π π π cos = cos = cos = Die Funktion y= cos() nimmt an den Stellen =, π, π,... den Wert an. π = = π = π = Im gegebenen Intervall gibt es daher zwei Nullstellen = und =. Aufgabe : Die gemeinsamen Punkte ergeben sich durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: f() = g() = = = ± 9+ 6 ± 5, = = und damit = oder = -,5. 8

9 Mit f() = und f(,5) = ergeben sich als gemeinsame Punkte P(/) und Q(-,5/-). Bedingung für einen senkrechten Schnitt in P: f () g () = Mit f () = = und g () = folgt f () g () =,5 =. Somit schneiden sich die Graphen in P senkrecht. Bedingung für einen senkrechten Schnitt in Q: f (,5) g (,5) = f (,5) g (,5) = 8 = 6 Somit schneiden sich die Graphen in Q nicht senkrecht. Aufgabe 5: a) e e e e + Zunächst erfolgt eine Spiegelung an der y-achse. Als nächstes erfolgt eine Spiegelung an der -Achse. Zum Schluss wird das Schaubild noch um Einheiten nach oben verschoben. Fazit: g entsteht aus f durch Spiegelung an beiden Koordinatenachsen und Verschiebung um Einheiten nach oben. b) Eine Berührung an der Stellle liegt vor, wenn f() = g() und f () = g () gilt. f e und () = = g() = e + =, also f() = g() =. f () = e f () = und g () = e g () = also f () = g () = Damit ist gezeigt, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(/) berühren. Aufgabe 6: a) Das Schaubild von f() = besitzt eine Defintionslücke bei =. Für strebt f () + (egal, ob man sich von links oder rechts der annähert). Somit liegt bei = eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor und damit ist = eine senkrechte Asymptote. Verhalten für ± : ( ) Es gilt f() = = = Für ± strebt der Bruch. Daher gilt lim f() =. ± Das Schaubild K besitzt die waagrechte Asymptote y = -. b) Um den Schnittpunkt zu bestimmen, muss zunächst die Tangentengleichung in P aufgestellt werden. Berechnung der Koordinaten von P: f() = = und damit P(/-). Mit f() = = (siehe a)) folgt f () = =. Tangentensteigung in P: f () = 9

10 Einsetzen von P und m in die Punkt-Steigungs-Form: y ( ) = ( ) y = ist die Gleichung der Tangente in P Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse: Setze die Tangentengleichung = : = =, 5 Der Schnittpunkt der Tangente mit der -Achse lautet S(-,5/). Aufgabe 7: f() = + f () = + 6 f () = 6+ 6 f () = 6 Berechnung des Wendpunktes: f () = 6+ 6= = Da f () = 6 eistiert bei = eine Wendestelle. Mit f() = folgt WP(/-). Die Steigung der Tangente im Wendepunkt beträgt f () =. Aufstellen der Tangentengleichung mit y= f (u) ( u) + f(u) mit u = : y= f () ( ) + f() y= ( ) + ( ) y= Aufgabe 8: Die Funktion kann mit zwei unterschiedlichen Ansätzen aufgestellt werden..möglichkeit: Bei der Funktion handelt es sich um eine Parabel mit Scheitelpunkt T(-/-). Somit kann die Parabel in der so genannten Scheitelform aufgestellt werden (lernt man in der Mittelstufe): h() = a ( + ) Den Wert von a erhält man mit dem Punkt Q(/5): 5= a (+ ) a= Daraus folgt: h() = (+ ) = +.Möglichkeit: Allgemeiner Ansatz für ganzrationale Funktion.Grades: h() = a + b+ c mit h () = a+ b Bedingungen: Punkt T(-/-) liegt auf dem Schaubild: h( ) = a b+ c = An der Stelle = - ist die Steigung : h ( ) = a+ b= Punkt Q(/5) liegt auf dem Schaubild: h () = 5 a+ b+ c = 5 Die Lösung des linearen Gleichungssystems ergibt a =, b =, c = -. Damit gilt: h() = +. Aufgabe 9: + Ableitung mit Produkt- und Kettenregel: Umschreiben der Funktion: f() = = ( + ) ( ) + + f () = ( + ) + ( )( + ) = = = + (+ ) (+ ) (+ )

11 a) Punkte mit waagrechter Tangente: + f () = = + = (+ ) = = oder = -. (+ ) A(/) und B(-/-) besitzen eine waagrechte Tangente. b) Gleichung der Normalen n im Punkt P(/ ) : Allgemeine Normalengleichung: y = ( u) + f(u) f (u) Setze u = in die Normalengleichung ein. Es gilt f () =,75 und f() =,5. Normalengleichung: y = ( ) +,5 y= +,75 6 Aufgabe : Ansatz für die Funktionsgleichung: f() = a + b + c+ d und f () = a + b+ c Es werden nun Bedingungen benötigt, um die unbekannten Parameter a,b,c,d zu bestimmen. Punktbedingungen: f () = d= f () = a+ b+ c+ d= (*) Steigungsbedingungen: f () = c = (Berührung der -Achse im Ursprung bedeutet gleiche Steigung wie die - Achse) f () = a+ b+ c = (**) Aus (*): a + b= Aus (**): a+ b = Mit Hilfe des Additionsverfahrens erhält man daraus b = und a = - Funktionsgleichung: f () = + Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f() = ;. Die waagrechte Asymptote des Schaubildes ist die Gerade y =, da lim f ( ) = gilt. ± Die senkrechte Asymptote des Schaubildes ist die Gerade = (also die y-achse), da bei = eine Definitionslücke vorliegt und sich beim Einsetzen von = in den Zähler des Bruches ein Wert ergibt. Da es sich um eine doppelte Nullstelle im Nenner handelt, besitzt die senkrechte Asymptote keinen Vorzeichenwechsel.

12 Normale im Punkt P(/f()): Ansatz: y = ( u) + f(u) f (u) mit u = Die Normale ist die Senkrechte zur Tangente im Kurvenpunkt P. y-wert von P: f () =, also P(/). 8 f() = f () = 8 = ³ Es gilt f() = und f () = y = ( ) + y= + 5 Aufgabe : Funktionsgleichung f() = + = + f () = = Berechnung von v: f() = + = und daher lautet der vollständige Punkt P(/). Allgemeine Tangentengleichung: y= f (u) ( u) + f(u) mit u =. Es ist f () = Tangentengleichung: y= ( ) + y= + 6. Schnittpunkt der Tangente mit -Achse: Setze y = : + 6= =, also S(/)

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