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Vincent Fuhrmann
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Mathematik - Oberstufe Pflicht- /Wahlteilaufgaben und Musterlösungen zu trigonometrischen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Schwerpunkt: Ableitung, Gleichungen,

1 Mathematik - Oberstufe Pflicht- /Wahlteilaufgaben und Musterlösungen zu trigonometrischen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Schwerpunkt: Ableitung, Gleichungen, Aufstellen von trigonometrischen Funktionsgleichungen Alexander Schwarz Letzte Aktualisierung: Februar 0 Datei: Pflicht- und Wahlteilaufgaben Trigonometrie

2 Pflichtteilaufgaben zu trigonometrischen Funktionen Aufgabe : Leite die folgenden Funktionen einmal ab: a) f (x) = sin(x 5) + cos(x²) b) f(x) = x cos(x) c) f (x) = tan(x) d) (x) = sin(tx) cos(t²x) f t Aufgabe : Vergleiche das Schaubild von f mit dem der Sinusfunktion g (x) = sin(x). a) f (x) = sin(x) b) f(x) = sin((x )) c) f(x) = sin(x ) d) f (x) = sin(x) e) f(x) = sin(x) f) f (x) = sin(x) + Aufgabe : Skizziere die folgenden Funktionen in ein Koordinatensystem: a) f(x) = sin( x) b) f (x) = cos(x) + c) f(x) = sin(x ) Aufgabe : Gib zu den folgenden Schaubildern mögliche Funktionsterme einer allgemeinen Sinusfunktion [Kosinusfunktion] an. Aufgabe 5: Gib zu der Funktion f(x) = sin(x ) eine Stammfunktion F(x) an, die den Punkt P( /5) enthält. Aufgabe 6: Löse die folgenden trigonometrischen Gleichungen mit D = R und D = [ ; ]. a) cos( x) = 0 b) sin (x) + sin(x) = 0 c) cos( x) =

3 Wahlteilaufgaben zu trigonometrischen Funktionen Aufgabe 7: Die Temperaturschwankungen in Grad Celsius innerhalb eines Tages können durch die Funktion T(x) = 5, sin x ; x in Stunden, beschrieben werden. Dabei entspricht x = 0 der Tageszeit 0.00 Uhr. a) Welche Temperatur herrschte um Uhr? Zu welchen Uhrzeiten lag die Temperatur bei etwa - C? b) Wie hoch war die Durchschnittstemperatur an diesem Tag? Aufgabe : Die Pegelstände in Wertheim beim Hochwasser des Mains Anfang Januar 00 können näherungsweise durch eine trigonometrische Funktion beschrieben werden. Auf den Höchststand von 6,07 Meter am.januar um.00 Uhr folgte der nächste Tiefststand von 5, Meter am 5. Januar um 5.00 Uhr. Skizziere den Verlauf des Pegelstandes im angegebenen Zeitraum. Ermittle einen Term der Funktion. Welchen Pegelstand hatte demnach der Main in Wertheim am 6.Januar 00 um.00 Uhr? Bestimme den mittleren Pegelstand für den.januar zwischen 0.00 Uhr und.00 Uhr. Aufgabe 9: Der Wasserstand h (in m) bei Spiekeroog an der Nordseeküste schwankt zwischen m bei Niedrigwasser und etwa m bei Hochwasser. Er lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden nach Niedrigwasser) modellhaft beschreiben durch h(t) = a + b cos t 6 a) Bestimme die Parameter a und b. Skizziere den Graphen von h. b) Wie lange liegt der Wasserpegel unter,5 m? c) Wie viel Zentimeter je Minute steigt das Wasser maximal? d) Überprüfe die Richtigkeit der Faustregel: Der Wasserstand steigt im zweiten Drittel der Zeitspanne zwischen Niedrig- und Hochwasser um die Hälfte der Gesamtzunahme.

4 Lösungen Pflichtteilaufgaben zu trigonometrischen Funktionen Aufgabe : a) f (x) = cos(x 5) sin(x ) x = ( cos(x 5) + x sin(x )) b) f (x) = x cos(x) x ( sin(x)) = x ( cos(x) + x sin(x)) c) sin(x) f (x) = tan(x) = cos(x) cos(x) cos(x) sin(x) ( sin(x)) cos ²(x) + sin ²(x) f (x) = = = (cos(x)) cos ²(x) cos ²(x) d) f (x) = cos(tx) t cos(t x) + sin(tx) ( sin(t x)) t t Aufgabe : a) Das Schaubild besitzt die neue Periode =. b) Das Schaubild besitzt die neue Periode = und ist um nach rechts verschoben. c) Es gilt f(x) = sin((x )). Das Schaubild besitzt die neue Periode = und ist um nach rechts verschoben. d) Das Schaubild besitzt die Amplitude a = (also um in y-richtung gestreckt). e) Das Schaubild ist um Einheiten nach unten verschoben. f) Das Schaubild bestitz die Amplitude a = (also um in y-richtung gestreckt) und ist um Einheiten nach oben verschoben. Aufgabe : a) Schaubild besitzt Amplitude, ist um nach unten verschoben und besitzt die Periode p = = =. b b) Schaubild besitzt Amplitude. Das negative Vorzeichen der Amplitude bedeutet anschaulich, dass das Schaubild noch zusätzlich an der x-achse gespiegelt wird. Das Schaubild ist um nach oben verschoben.

5 c) f(x) = sin( (x )) Amplitude ist, die Periode ist und das Schaubild ist um nach rechts verschoben. Aufgabe : Für die Schaubilder gibt es folgende Funktionsansätze: y = a sin(b (x c)) + d bzw. y = a cos(b (x c)) + d a) Amplitude a = keine Verschiebung nach oben/unten, also d = 0 Periode =, also = b = b bei Kosinusfunktion: keine Verschiebung links/rechts, also c = 0 bei Sinusfunktion: Verschiebung um nach links. Ansatz: y = cos(x) oder y = sin((x + )) b) Amplitude a = Verschiebung um nach unten, also d = - Periode =, also = b = b bei Kosinusfunktion: Verschiebung um nach rechts bei Sinusfunktion: Verschiebung um nach links Ansatz: y = cos((x )) bzw. y = sin((x + )) 5

6 c) Amplitude a = keine Verschiebung nach oben/unten, also d = 0 Periode = 6, also 6 = b = b bei Kosinusfunktion: Verschiebung um nach links bei Sinusfunktion: Verschiebung um nach links Ansatz: y = cos( (x + )) bzw. y = sin( (x + )) d) Amplitude a = Verschiebung um nach oben, also d = Periode =, also = b = b bei Kosinusfunktion: Verschiebung um nach links 5 bei Sinusfunktion: Verschiebung um nach links Ansatz: y = cos( (x )) + + bzw. 5 y = sin( (x )) + Aufgabe 5: F (x) = cos(x ) + C Nun muss C so gewählt werden, dass F ( ) = 5 gilt: F ( ) = cos( ) + C = + C = 5 also C =,5 und somit F (x) = cos(x ) +, 5. Aufgabe 6: a) cos( x) = 0. Substituiere u = x. cos( u) = 0 u = + k mit k Z = { -,-,-,0,,, } Rücksubstitution: x = + k x = + k ist die Lösung für D = R Lösung für D = [ ; ]: Welche Werte können für k eingesetzt werden, damit x in die Definitionsmenge fällt? k = 0: x = k = : x = k = -: x = k = -: x = also insgesamt Lösungen. b) sin (x) + sin(x) = 0. Substituiere u = sin(x). ± + u + u = 0 u ±, = =, also u = und u = Rücksubstitution: = sin(x) x = + k mit k Z = { -,-,-,0,,, } 6

7 = sin(x) liefert keine Lösung Also x = + k mit k Z ist Lösung für D = R. Lösung für D = [ ; ]: k = 0: x = ist einzige Lösung. c) cos( x) = = = = x = x, alle = + k mit k Z 7 7 x = x = x, alle = + k mit k Z x,alle und x, alle sind Lösungen für D = R. Lösung für D = [ ; ]: Aus x, alle : x = für k = 0. Aus x, alle : x = für k = -. Lösung Wahlteilaufgaben zu trigonometrische Funktionen Aufgabe 7: a) Temperatur um Uhr: T (6) = 5, sin 6 = 5, C Uhrzeit mit - C: = 5, sin x Lösung der Gleichung mit dem GTR: Nach,5 Stunden, also um.0 Uhr sowie nach,5 Stunden, also um 6.0 Uhr beträgt die Temperatur - C. b) Durchschnittstemperatur: T(x)dx = 0 C (GTR). 0 Aufgabe : 0 Die aufzustellende Funktion beginnt bei t = 0 (.Januar,.00 Uhr) im Hochpunkt HP(0/6,07). t sei die Zeit in Stunden. Der nächste Tiefpunkt liegt bei t = mit TP(/5,). 7

8 6,07 + 5, Die Mittellinie der trigonometrischen Funktion liegt bei = 5, 775. Um diesen Wert ist die Funktion nach oben verschoben. Die Amplitude beträgt a = 6,07 5,775 = 0, 95. Die Periode beträgt 6 (doppelte Entfernung vom Hochpunkt zum Tiefpunkt). Damit gilt 6 = b = b Da das Schaubild auf der y-achse im Hochpunkt beginnt, sollte eine Kosinusfunktion aufgestellt werden: Ansatz: f (t) = a cos(b (t + c)) + d f (t) = 0,95 cos t + 5,775 Pegelstand am 6.Januar 00 um.00 Uhr: Dies entspricht dem Zeitpunkt t = 5: f (5) = 0,95 cos 5 + 5,775 = 5, 9 Mittlerer Pegelstand für.januar zwischen 0.00 Uhr und.00 Uhr: Meter 6 ( ) f(t)dt = 5,9 Meter Aufgabe 9: + a) Die Mittellinie der Funktion liegt bei = Meter. Das heißt, dass das Schaubild um Einheiten nach oben verschoben wurde, also a =. Die Amplitude ist der Abstand vom Hochpunkt bzw. Tiefpunkt von der Mittellinie, also b =. Nun ist die Frage, ob b = oder b = - gilt. Da an der Stelle t = 0 ein Tiefpunkt der Funktion vorliegen soll (t in Stunden nach Niedrigwasser), muss b = - sein. h(t) = cos t 6

9 Skizze: b) Innerhalb von Stunden wird der Wasserpegel von,5m überschritten im Zeitintervall [;0] und im Intervall [;]. Also ist er unterhalb im Intervall [0;] und [0;] und [;], also insgesamt Stunden. c) Der Punkt des maximalen Anstiegs je Minute entspricht dem Wendepunkt des Schaubildes. An der Stelle t = 5 ist der Anstieg z.b. maximal, d.h. bei t = 5 besitzt das Schaubild von h einen Wendepunkt. Die maximale Steigung ist gemäß GTR 0,5. Somit kann das Wasser maximal 0,5 m = 5, cm je Minute wachsen. d) Niedrigwasser bei t = 0, Hochwasser bei t = 6. Das zweite Drittel dieser Zeitspanne wäre das Intervall [;]. Es gilt: h () h() =,5,5 = Meter. Die Gesamtzunahme zwischen Niedrig- und Hochwasser beträgt m. Da Meter die Hälfte der Gesamtzunahme ist, ist die Faustregel korrekt. 9

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