Ganzrationale Funktionen 1.) Parabeln 2-ten Grades f(x) = x² (Parabel) I. Geraden. f(x) = -x². f(x) = 1 oder y = 1. x = 2

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1 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Analysis (): Funktionen-Katalog I. Geraden II. Ganzrationale Funktion: Parabeln -ten Grades 3-ten Grades Parabeln höheren Grades III. Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Polstellen... IV. Eponentialfunktionen V. Trigonometrische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Allgemeine Sinusfunktion VI. Überblick über die wichtigsten Funktionen Ganzrationale Funktionen.) Parabeln -ten Grades f() = ² (Parabel) f() = -² I. Geraden f() = oder y = = Normalparabel - Tiefpunkt achsensymmetrisch zur y-achse f() = ² an der -Achse gespiegelt - Hochpunkt f() = -0,5 ² eine Gerade parallel zur -Achse f() = Gerade parallel zur y- Achse (keine Funktion) f() = - Steilere Parabel (Faktor ) f() = ² + Parabel umgeklappt / flacher (Faktor 0,5) Hochpunkt f() = ² - Erste Winkelhalbierende - Steigung f() = + Zweite Winkelhalbierende - Steigung - f() = - 0,5 + Parabel um nach oben verschoben keine Nullstelle f() = ( - )² Parabel um nach unten verschoben Nullstellen f() = ( - )² - = ² - - Gerade mit Steigung und y-achsenabschnitt Gerade mit Steigung -0,5 (nach unten) und y-achsenabschnitt Parabel um nach rechts verschoben Nicht zur y-achse achsensymmetrisch Um nach rechts, nach unten verschoben Seite von Seite von 4

2 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Mathematik in der Kursstufe: Analysis ().) Parabeln 3-ten Grades 3.) Parabeln höheren Grades f() = ³ f() = -³ f() = 4 f() = - 4 Parabel 3-ten Grades punktsymmetrisch zum Origo Wendepunkt (Sattelpunkt) Nse - monoton wachsend f() = ³ + an der -Achse gespiegelt monoton fallend f() = ³ - ² analog zur Parabel -ten Grades - um 0 flacher, sonst steiler f() = 4 - ² + an der -Achse gespiegelt f() = 4 - ² + 0,5 Tpe - HP - Wpe - (doppelte) Nse f() = 4 - ² 4 (einfache) Nullstellen f() = 4 + ³ um nach oben verschoben - Nullstelle f() = ³ - HP berührt -Achse (dort doppelte Nullstelle) - TP - WP - Nullstellen 3 Nullstellen (eine davon doppelt) f() = 5 TP - Wpe (davon SP) - Nsen (davon eine dreifache) f() = einfache Nullstellen - HP - TP - WP analog zur Parabel 5 Grades - um Null flacher sonst steiler 5 Nsen - Hpe - Tpe - 3 Wpe (Grad 5: ma. 5 Nsen, 4 Epe, 3 Wpe) Seite 3 von Seite 4 von 4

3 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Mathematik in der Kursstufe: Analysis () II. Gebrochenrationale Funktionen f() = (Hyperbel) f() = - Verschiedene Verhalten für ± (Maßgeblich sind Zählergrad und Nennergrad - es gibt vier Fälle) f() = + 3 f() = 4 + waagrechte Asymptote y = 0 senkrechte Asymptote = 0 mit Vorzeichenwechsel f() = an der -Achse gespiegelt f() = - waagrechte Asymptote y = 0, da Zählergrad < Nennergrad 3 f() = = + + ( ) waagrechte Asymptote y = 4/ = (Koeffizienten vor höchsten Eponenten dividieren), da Zählergrad = Nennergrad 4 f() = = ( ) ohne Vorzeichenwechsel an der -Achse gespiegelt Schiefe Asymptote y = + (nach Polynomdivision), da Zählergrad = Nennergrad + Näherungspolynom y = ² + + (nach Polynomdivision), da Zählergrad > Nennergrad Seite 5 von Seite 6 von 4

4 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Die senkrechten Asymptoten (= Polstellen) Entscheidend ist, den Term zu faktorisieren und zu kürzen, um so die Nullstellen von Nenner und Zähler bestimmen zu können - es gibt drei Fälle: Polstelle mit und ohne Vorzeichenwechsel, Lücke f() = f() = ( ) Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Weitere Effekte: Nullstellen, Etrempunkte, Wendepunkte, Asymptote wird geschnitten f() = f() = + 0, senkrechte Asymptote bei =, da Nullstelle des Nenners - mit Vorzeichenwechsel, da einfache Nse des Nenners ( ) f() = = senkrechte Asymptote bei =, da Nullstelle des Nenners - ohne Vorzeichenwechsel, da doppelte Nse f() = ( ) = ( ) waagrechte Asymptote y = - senkrechte Asymptote = 0 Nsen f() = 3 waagrechte Asymptote: y = - keine senkrechte Asymptote Nsen - HP - Wpe 3 f() = + Lücke bei = - keine Polstelle, da die Nullstelle des Nenners sich herauskürzt ( + )( ) f() = = ( + )( ) ( + ) ( )( + ) Lücke bei = 0 (herausgekürzt) und Polstelle mit VZW bei = (einfache Nullstelle nach dem Kürzen) 4 f() = + waagrechte Asymptote: y = - senkrechte Asymptote = 0 Nse - TP - WP - f() schneidet waagrechte Asymptote waagrechte Asymptote: y = - keine senkrechte Asymptote keine Nse - HP - TP - WP - f() schneidet waagrechte Asymptote Lücken bei = 0 und = - (herausgekürzt), Polstelle mit VZW bei = und Polstelle ohne VZW bei = - keine Polstelle oder Lücke, da der Nenner nie Null wird Seite 7 von Seite 8 von 4

5 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Mathematik in der Kursstufe: Analysis () IV. Eponentialfunktionen Besonderheiten f() = e f() = - e f() = e f() = e monoton wachsend - Asymptote y = 0 immer positiv f() = e monoton fallend - Asymptote y = 0 immer negativ f() = - e y-achsenabschnitt bei f() = e e Asymptote bei y= 0 ( e fällt schneller ) Nullstelle (Faktor!) bei = 0 zusätzlich TP und WP f() = 5 4e monoton fallend - Asymptote y = 0 immer positiv f() = e monoton wachsend - Asymptote y = 0 immer negativ f() = e + keine Asymptote Nse Wp f() = e + e Begrenztes Wachstum (monoton wachsend, Asymptote bei y = 5) f() = e e + Asymptote y = - (nach unten verschoben) Nullstelle bei = ln schiefe Asymptote y = - Nullstelle (mit Newtonverfahren): = 0,44... keine Asymptote Tp Asymptote y = - Nullstelle (über Substitution: e = u): = 0 Tp Wp Seite 9 von Seite 0 von 4

6 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () VII. Trigonometrische Funktionen π Alles im Bogenmaß ( Taschenrechner: RAD statt DEG - Es gilt 80 =ˆ π - Umrechnung: = α ) 80 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Allgemeine Sinusfunktion f() = a sin(b + c) + d f() = a sin() (im Vergleich zu sin()) f() = sin() f() = cos() Streckung in y-richtung um den Faktor a Dieser Faktor vor der Sinusfunktion heißt Amplitude. Er bestimmt den "Ausschlag" der Sinusfunktion f() = sin() + d Periode π Amplitude (also Werte von - bis +) durch (0 0) mit Steigung Nsen / Wpe bei 0 und π (periodisch) Epe bei π/ und 3π/ (periodisch) sin( ) f() = tan( ) = cos( ) Periode π Amplitude (also Werte von - bis +) durch (0 ) mit Steigung 0 Nsen / Wpe bei π/ und 3π/(periodisch) Epe bei 0 und π (periodisch) f() = sin²() Verschiebung in y-richtung um d: Zusammen: f() = a sin() + d Periode π Polstellen bei -π/, + π/,...(periodisch) Nse, Wpe bei 0 (periodisch) Periode π Werte zwischen 0 und Nse / Tpe bei 0 (periodisch) Hpe bei π/ (periodisch) Streckung und Verschiebung in y-richtung: Funktion oszilliert zwischen -a +d und a + d Seite von Seite von 4

7 Mathematik in der Kursstufe: Analysis () Mathematik in der Kursstufe: Analysis () f() = sin(b) VI. Die wichtigsten Schaubilder im Überblick f() = oder y = = f() = ² (Parabel) f() = ³ Stauchung in -Richtung um den Faktor b (Periode T = π /b): f() = sin( + c) f() = (Hyperbel) f() = f() = e f() = e Verschiebung in -Richtung nach links um d: Nullpunkt: + c = 0 = - c Zusammen: f() = sin(b + c) f() = sin() f() = cos() Periode T = π/b, Verschiebung nach links um c/b: Nullpunkt: b + c = 0 = - c/b Seite 3 von Seite 4 von 4