Rosner. Mathe gut erklärt. Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien. 1. Auflage 2015

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1 Rosner Mathe gut erklärt Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gmnasien. Auflage 05

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I. Grundlagen Analsis Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polnome) Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen Gebrochenrationale Funktionen Eponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen Funktionenscharen Smmetrie zur -Achse bzw. zum Ursprung Abschnittsweise definierte Funktionen Zusatz: Umgang mit Funktionen: Rechenansätze Gleichungen Gleichungstpen: Übersicht Gleichungstpen: Konkretes Lösungsvorgehen Goldene Regeln zum Lösen von Gleichungen Lineare Gleichungsssteme Differenzialrechnung Ableitungsregeln Tangente und Normale Schnittpunkte (Berührpunkt, senkrechter Schnitt, Schnittwinkel) Monotonie Krümmung Etrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) Wendepunkte Sattelpunkte Ortskurve Zusammenhang zwischen den Schaubildern von Funktion und Ableitung Ermittlung von Funktionsgleichungen Etremwertaufgaben Wachstum und Zerfall Integralrechnung Integrationsregeln ( Aufleitungsregeln ) Flächeninhaltsberechnung zwischen Schaubild und -Achse Flächeninhaltsberechnung zwischen zwei Schaubildern Berechnung des Rotationsvolumens: Fläche zwischen Schaubild und -Achse rotiert um die -Achse Berechnung des Rotationsvolumens: Fläche zwischen zwei Schaubildern

3 Inhaltsverzeichnis rotiert um die -Achse Mittelwert (durchschnittlicher -Wert) einer Funktion Flächen, die bis ins Unendliche reichen (Uneigentliche Integrale) Zusatz: Wichtiges für Anwendungsorientierte Aufgaben II. Grundlagen Vektorgeometrie Vorwissen Punkte (im R ) Vektoren (im R ) Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, Betrag, Skalare Multiplikation, Linearkombination, Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektorprodukt) Geraden Geradengleichungen in Parameterform Gegenseitige Lage von Geraden Ebenen Ebenengleichungen in Parameterform Ebenengleichungen in Normalenform Ebenengleichungen in Koordinatenform Spurpunkte, Spurgeraden und die Lage im Koordinatensstem Umwandlungen der Ebenenformen Gegenseitige Lage Ebene-Gerade Ebene-Ebene Schnittwinkel Abstandsberechnungen Abstände zu einem Punkt Abstände zu einer Geraden Abstände zu einer Ebene Zusatz: Bewegungsaufgaben (Modellieren mit Vektoren) Spiegelungen III. Grundlagen Stochastik Baumdiagramm, Pfadregeln und Erwartungswert Einführung Aufgabentpen Zufallsvariable und Erwartungswert Binomialverteilung Bernoulliformel

4 Inhaltsverzeichnis. Binomialverteilung und kumulierte Binomialverteilung Aufgabentpen Der einseitige Hpothesentest Ausführliche Erklärung Vorgehen und Beispiele IV. Basisübungen zur Analsis Funktionen Gleichungen Differenzialrechnung Integralrechnung V. Ausführliche Lösungen Liebe Schülerinnen und Schüler, dieses Buch soll Sie dabei unterstützen, Vorwort i sich in den letzten beiden Schuljahren optimal auf Klausuren und auf das Abitur in Mathematik vorzubereiten. i sich alle Lehrplaninhalte anhand verständlicher und übersichtlicher Stoffzusammenfassungen anzueignen. i Ihr gewonnenes Wissen anhand von Basisübungen mit ausführlichen Lösungen schnell und prüfungsbezogen zu vertiefen. i die Abitursaufgaben der vergangenen Jahrgänge zu bearbeiten, da Sie hiermit ein Nachschlagewerk zur Verfügung haben. Liebe Fachkolleginnen und Fachkollegen, dieses Buch soll Sie dabei unterstützen, i die zeitintensive Stoffwiederholung, Klausur- und Abiturvorbereitung teilweise aus dem Unterricht auslagern zu können. i auf diese Weise mehr Zeit für verständnisorientierten Unterricht zu gewinnen. i sicherzustellen, dass Ihre Schülerinnen und Schüler über ausreichendes Basiswissen verfügen.

5 I. Grundlagen Analsis. Funktionen. Ganzrationale Funktionen (Polnome). Grades (Geraden). Grades (Parabeln) Allg. Ansatz : m + b Allg. Ansatz: f ( ) a + b + c Steigung aus Punkten: m Scheitelpunkt-Ansatz: f ( ) a ( ) + s s mit S( ) s s Punkt-Steigungs-Form (PSF): m ( ) + Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: m tan( α) a > 0 : nach oben geöffnet bzw. Verlauf von II nach I a < 0 : nach unten geöffnet bzw. Verlauf von III nach IV Parallele Geraden: m m (gleiche Steigung) Senkrechte (orthogonale) Geraden: m / m (Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander) bzw. m m. Winkelhalbierende:. Winkelhalbierende: Bei Smmetrie zur -Achse: f ( ) a + c (nur gerade Hochzahlen) K h K f K f K h K g K i K i - - K g K : 0, 5 + K : 0, 5 f K :, K :, h g i K f : ( ) K g : ( ) ( ) ( ) K : h( ) + h K : i( ) + i f g 8

6 I. Grundlagen Analsis. Grades 4. Grades Allg. Ansatz: f ( ) a + b + c + d 4 Allg. Ansatz: f ( ) a + b + c + d + e a > 0 : Verlauf von III nach I a < 0 : Verlauf von II nach IV Ansatz bei Smmetrie zum Ursprung: f a + c ( ) (nur ungerade Hochzahlen) a > 0 : Verlauf von II nach I a < 0 : Verlauf von III nach IV Ansatz bei Smmetrie zur -Achse: f a + c + e 4 ( ) (nur gerade Hochzahlen) K f K f K h K g K g - - K h K : f ( ) f K g : ( ),5 g h K h : ( ) K : f ( ) f 4 K g : ( ) 0,5 + 4 K h : ( ) 4 g h + Die Quadranten II I III IV 9

7 I. Grundlagen Analsis. Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen Beispiele K f K g K h K : f ( ) 0,5 ( + 5) ( + ) K : g( ) 0,8 ( + ) ( ) K : h( ) ( 4) 4 f g h Aufbau des Nullstellenansatzes (am Beispiel) ( ) ( ) g( ) 0,8 + Verlauf von III nach IV 0 / / + ist einfache ist dreifache Nullstelle Nullstelle 0

8 I. Grundlagen Analsis Übersicht (für ganzrationale Funktionen) Vielfachheit Nullstelle Faktor im Nullstellenansatz Skizze Beschreibung Einfache Nullstelle: 0 f ( )... ( ) Schaubild schneidet -Achse (mit Vorzeichenwechsel VZW) Doppelte Nullstelle: 0 f ( )... ( 0)... 0 Schaubild berührt -Achse (ohne VZW) Dreifache Nullstelle: 0 f ( )... ( 0)... 0 Schaubild schneidet und berührt -Achse (mit VZW) Vierfache Nullstelle: 0 f 4 ( )... ( 0)... 0 Schaubild berührt -Achse (ohne VZW) ( breiter geformt als doppelte Nullstelle)

9 I. Grundlagen Analsis. Gebrochenrationale Funktionen Allg. f Zähler: (ganzrationale) Funktion Nenner: (ganzrationale) Funktion ( ) Beispiel: f ( ) ( mit D R \ ). Untersuchung auf senkrechte Asmptoten -Werte, die im Nenner zum Wert 0 führen, nennt man Definitionslücken. Solche -Werte sind nicht in der Definitionsmenge der Funktion enthalten. An einer Definitionslücke kann das Schaubild eine senkrechte Asmptote aufweisen. Fall : Polstelle mit Vorzeichenwechel ( einfache Nullstelle des Nenners) Beispiel: f ( ) Senkrechte Asmptote: Für ( < ) gilt: f ( ) Für ( > ) gilt: f ( ) Fall : Polstelle ohne Vorzeichenwechel ( doppelte Nullstelle des Nenners) Beispiel: f ( ) ( ) Senkrechte Asmptote: Für ( < ) gilt: f ( ) + Für ( > ) gilt: f ( ) Fall (Ausnahme) : Keine Polstelle ( auch Nullstelle des Zählers ) Beispiel: f ( ) Keine senkrechte Asmptote (trotz Definitionslücke) ( ) ( + ) Grund: f ( ) + ( ) Die Definitionslücke ist nach dem Kürzen verschwunden. Sie ist also (be-) hebbar. (Wobei die Ausgangsfunktion diese noch immer aufweist, siehe Schaubild.)

10 I. Grundlagen Analsis. Untersuchung auf waagrechte Asmptoten (Verhalten für ± ) Fall : Zählergrad < Nennergrad : - Achse ist waagrechte Asmptote Grad 0 ( ) Grad f ( ) + 4 waagrechte Asmptote: 0 ( -Achse) + f ( ) Grad ( ) Grad waagrechte Asmptote: 0 ( -Achse) Fall : Zählergrad Nennergrad : Waagerechte Asmptote f ( ) + 4 Grad ( ) Grad waagrechte Asmptote: Grad ( ) + f ( ) Grad waagrechte Asmptote: Fall : Zählergrad > Nennergrad : Keine waagrechte Asmptote. (Keine Beispiele, da nicht relevant für das Abitur.)

11 I. Grundlagen Analsis.4 Eponentialfunktionen. Verlauf : f ( ) e. Spiegelungen 4 P ( e) f ( ) e f ( ) e P (0 ) f ( ) e - - f ( ) e b c. Koeffizienten in : f ( ) a e d ( ) + a - Streckung / Stauchung in -Richtung a > : steiler 0 < a < : flacher ( a < 0 : an der -Achse gespiegelt) b - ansteigendes oder fallendes Schaubild b > 0 : ansteigendes Schaubild b < 0 : fallendes Schaubild (bzw. an der -Achse gespiegelt) c - Verschiebung in -Richtung c > 0 : nach rechts c < 0: nach links d - Verschiebung in -Richtung d > 0 : nach oben d < 0 : nach unten Vorsicht beim Koeffizienten c Das Schaubild zu f ( ) e wurde um Einheiten nach rechts verschoben! Der Koeffizient c hat hier den Wert +, das Minuszeichen kommt vom allgemeinen Ansatz der Funktion. Entsprechend f ( ) e + : Verschi ebung um nach links! 4

12 I. Grundlagen Analsis 4. Asmptoten (Näherungsgeraden) Begriffserklärung : Eine Asmptote ist eine Gerade, an welche sich das Schaubild einer gegebenen Eponentialfunktion unendlich nah annähert, ohne sie jedoch zu erreichen. Beispielsweise nähert sich das Schaubild der Funktion f ( ) e bei negativen -Werten ( ) der -Achse (Asmptotengleichung: 0) von oben an. Beispielfunktion Asmptote Schaubilder f ( ) e 0 ( Achse) für K h 5 K g g( ) e +, h( ) e +, i( ) e + j e ( ) 0,5 +, für, für + für + für, 0 4 K f K j K i Ausgehend von einer gegebenen Eponentialfunktion kann die zugehörige Asmptotengleichung und die Richtung, in welcher die Annäherung stattfindet, schnell durch die folgenden beiden Regeln bestimmt werden..... Regel (Asmptotengleichung) : Eponentialgleichung ohne e Man erhält die Asmptotengleichung, indem man die Gleichung der Eponentialfunktion schlicht übernimmt, jedoch hierbei auf den Summanden im Funktionsterm, der e... enthält (dieser strebt gegen 0), verzichtet. +. Regel (Annäherungsrichtung) : Bei e für bzw. bei e für +... Die Annäherungsrichtung wird durch den Summanden im Funktionsterm, der e enthält, festgelegt: Steht vor dem im Eponenten ein Pluszeichen, so nähert sich die Asmptote für große negative -Werte ( links im Koordinatensstem) dem Schaubild an. Steht hier hingegen ein Minuszeichen, so findet die Annäherung bei großen positiven -Werten ( rechts im Koordinatensstem) statt. 5. Anwendungen + Wachstumsvorgänge werden oft mit dem Tp f ( ) e modelliert, Zerfallsvorgänge hingegen mit f ( ) e. 5