Gebrochen-rationale Funktionen

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1 Definition Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich im Nenner befindet. f() = a h() Beispiel 1: f() = 1 Beispiel 2: f() = 1 ² Definitionsbereich und Definitionslücken Bei einer gebrochen-rationalen Funktion gehören nur die reellen Zahlen zum Definitionsbereich, für die die Nennerfunktion h() verschieden von Null ist. Daher ist nicht jede gebrochen-rationale Funktion für alle rationalen Zahlen definiert. Die Stellen 0 mit h(0)=0, für die die Funktion f() nicht definiert ist, heißen Definitionslücken. Beispiel 1: f() = 1 Definitionslücke bei =0 Beispiel 2: f() = 1 3 Definitionslücke bei =3 Einfluss von Parametern auf den Graphen der Funktion Für die drei Funktionen k, g und h mit k() = a, g() = g() = f( + c) und h() = f() + d a +c und h() = a + d gilt: Wenn der Graphen zur Funktionsgleichung y = a bekannt ist, erhält man durch Verschieben im Koordinatensystem auch den Graphen zur Gleichung y = a + d. Die Form des Graphen ändert sich durch die Parameter c und d nicht. +c Seite 1 von 8

2 Einfluss des Parameters c Wenn eine Zahl c zu addiert wird, dann verschiebt sich der Graph der Funktion parallel zur -Achse, für c < 0 nach rechts, für c > 0 nach links. Beispiel: k() = 2, g() = 2 +4 Hier: 4>0 Verschiebung nach links Einfluss des Parameters d Wenn eine Zahl d zum Funktionswert k() addiert wird, dann verschiebt sich der Graph der Funktion parallel zur y -Achse, für d < 0 nach unten, für d > 0 nach oben. Beispiel: k() = 2, h() = Hier: 4>0 Verschiebung nach oben Seite 2 von 8

3 Die Funktionsgleichung kann auch beide Parameter gleichzeitig enthalten. Der Graph zu y = a wird dann entlang der - und y-achsen verschoben. Einfluss des Parameters a Es gibt 4 Fälle: 1. Fall a>1: Streckung des Graphen 2. Fall 0<a<1: Stauchung des Graphen 3. Fall -1<a<1: Stauchung des Graphen und Spiegelung an der -Achse 4. Fall a<-1: Streckung des Graphen und Spiegelung an der -Achse Beispiele: Fall 1: u() = 2 0,5 ; Fall 2: v() = ; Beispiel negatives Vorzeichen: g() = 1 Waagerechte und senkrechte Asymptoten Asymptoten sind Geraden, denen sich der Graph einer Funktion f() beliebig nähert ohne sie zu berühren. Es gibt zwei Arten von Asymptoten: Senkrechte Asymptoten Waagrechte Asymptoten Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke) Die senkrechte Gerade, die durch die Definitionslücke =b verläuft. Ist die senkrechte Asymptote. b nennt man dann auch Polstelle der Funktion. Seite 3 von 8

4 Beispiel: f() = 1 +2, D=R\{-2} b=-2; =-2 Waagrechte Asymptote - Zählergrad < Nennergrad In diesem Fall ist die -Achse die waagrechte Asymptote [Beispiel 1]. Bei der Addition einer Konstante c, ändert sich die Asymptote zu y=c [Beispiel 2]. Beispiele 1: f() = 1 +2 Beispiel 2: f() = y=0 y=3 Seite 4 von 8

5 Übungsaufgaben Aufgabe 1 Der Funktionsterm f() = a +b + c ist gegeben. a) Erläutere wie man den Graphen der Funktion ausgehend von 1 zeichnet: 1.1 für a=-1, b=0 und c=0 1.2 für a=1, b=1 und c=0 1.3 für a=1, b=-1 und c=0 1.4 für a=1, b=0 und c=1 1.5 für a=1, b=0 und c=-1 b) Nenne die Asymptoten für die Teilaufgaben Aufgabe 2 Welche der folgenden Funktionsterme gehört jeweils zu den drei Graphen in nebenstehendem Bild? Begründe deine Auswahl. (1) (2) 1 ² + 2 (3) 1 ³ (4) +4 1 (5) +4 (6) 1 4 (7) 1 +2 (8) 1 +2 (9) 1 2 Seite 5 von 8

6 Aufgabe 3 Die Abbildung zeigt den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion 1 mit der Definitionsmenge R\{0} der durch Verschiebungen hervorgeht. Gib den passenden Funktionsterm für f() an. Seite 6 von 8

7 Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösung Aufgabe 1 a) 1.1 für a=-1, b=0 und c=0 Spiegelung an der -Achse, da Minus im Zähler 1.2 für a=1, b=1 und c=0 Verschiebung um 1 nach links 1.3 für a=1, b=-1 und c=0 Verschiebung um 1 nach rechts 1.4 für a=1, b=0 und c=1 Verschiebung um 1 nach oben 1.5 für a=1, b=0 und c=-1 Verschiebung um 1 nach unten b) 1.1 für a=-1, b=0 und c=0 Waagrechte Asymptote: y=0 Senkrechte Asymptote: =0 1.2 für a=1, b=1 und c=0 Waagrechte Asymptote: y=0 Senkrechte Asymptote: = für a=1, b=-1 und c=0 Waagrechte Asymptote: y=0 Senkrechte Asymptote: =1 1.4 für a=1, b=0 und c=1 Waagrechte Asymptote: y=1 Senkrechte Asymptote: =0 1.5 für a=1, b=0 und c=-1 Waagrechte Asymptote: y=-1 Senkrechte Asymptote: =0 Seite 7 von 8

8 Lösung Aufgabe 2 f()= d.h. Option (6) 4 waagrecht Asymptote bei y=4 Verschiebung von 1 um 4 parallel zur -Achse nach oben d.h. zum Funktionswert 1 wird 4 addiert senkrechte Asymptote bei =4 Verschiebung von 1 um 4 parallel zur y-achse nach rechts d.h. im Nenner des Funktionsterm 1 wird 4 subtrahiert keine Streckung/Stauchung ausgehend von 1 1 im Zähler keine Spiegelung von 1 an der -Achse kein Minus vor dem Funktionsterm von 1 keine Symmetrie zur y-achse ungerade Potenz vom im Nenner g()= 1 2 d.h. Option (7) +2 waagrecht Asymptote bei y=-2 Verschiebung von 1 um 2 parallel zur -Achse nach unten d.h. der Funktionsterm 1 wird um dem Funktionswert -2 addiert senkrechte Asymptote bei =-2 Verschiebung von 1 um 2 parallel zur y-achse nach links d.h. der Funktionsterm 1 wird um dem Funktionswert -2 im Nenner subtrahiert keine Streckung/Stauchung ausgehend von 1 1 im Zähler Spiegelung von 1 an der -Achse Minus vor dem Funktionsterm von 1 Keine Symmetrie zur y-achse ungerade Potenz von im Nenner h()= d.h. Option (2) 2 waagrecht Asymptote bei y=2 Verschiebung von 1 um 2 parallel zur -Achse nach oben d.h. der Funktionsterm 1 wird um dem Funktionswert -2 addiert senkrechte Asymptote bei =0 keine Verschiebung von 1 parallel zur y-achse keine Streckung/Stauchung ausgehend von 1 1 im Zähler keine Spiegelung von 1 an der -Achse kein Minus vor dem Funktionsterm von 1 Symmetrie zur y-achse gerade Potenz von im Nenner Lösung Aufgabe 3 f() = waagrechte Asymptote bei y=-5 Verschiebung von 1 um 5 parallel zur -Achse nach unten d.h. der Funktionsterm 1 wird um dem Funktionswert -5 addiert senkrechte Asymptote bei =-3 Verschiebung von 1 um 3 parallel zur y-achse nach links d.h. der Funktionsterm 1 wird um dem Funktionswert -3 im Nenner subtrahiert keine Streckung/Stauchung ausgehend von 1 1 im Zähler Seite 8 von 8