6.Gebrochen-rationale Funktionen

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1 Das solltest du können 6.Gebrochen-rationale Funktionen Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Bruchunktion, deren Nenner die Variable enthält. ( ) 4 Bsp: Der Unterschied zu den bisher bekannten linearen Funktionen liegt darin, dass nicht alle Zahlen ür eingesetzt werden düren, d.h. der Deinitionsbereich von gebrochenrationalen Funktionen ist in der Regel nicht Q! Graphische Darstellung von gebrochen-rationalen Funktionen: Alle gebrochen-rationalen Funktionen sind aus der Funktion ( ) ableitbar:

2 Die senkrechte Asymptote, hier die y-achse, ist die senkrechte Linie, die niemals vom Funktionsgraph geschnitten, aber beliebig nahe angenähert wird. Sie ist an der Stelle, an der die Funktion nicht deiniert ist, hier bei 0! Die waagrechte Asymptote, hier die -Achse, ist die waagrechte Linie, die vom Funktionsgraphen nicht geschnitten, aber beliebig angenähert wird. Verschiebungen / Streckungen / Spiegelungen dieses Funktionsgraphen a) ( ) ( ) ( ) + Steht im Nenner der Funktion eine Summe oder Dierenz der Form - oder +, wird die senkrechte Asymptote um nach rechts bzw. um nach links verschoben; die senkrechte Asymptote ist stets an der Stelle der Deinitionslücke! b) ( ) ( ) + ( ) Steht nach dem Bruch ein Summand (positiv + oder negativ -), so wird die waagrechte Asymptote um + nach oben oder um - nach unten verschoben!

3 c) Verknüpung der Horizontal- und Vertikalverschiebung Beispiel: ( ) + senkrechte Asymptote: - (Verschiebung um nach links) waagrechte Asymptote: y- (Verschiebung um nach unten) d) ( ) ( ) ( ) 0,5 Ist der Zähler eine andere Zahl als (oder ), so ist der Funktionsgraph gestreckt bzw. gestaucht. Der Streckungsaktor ist eben dieser Zähler. Die Abstände der y-werte von der waagrechten Asymptoten sind gegenüber dem Graphen von ( ) um diesen Streckungsaktor vergrößert bzw. verkleinert.

4 e) ( ) ( ) Ist der Streckungsaktor negativ, so wird der Funktionsgraph an der -Achse gespiegelt. ) Verknüpung von Verschiebung, Streckung und Spiegelung Beispiel: ( ) + waagrechte Asymptote: y senkrechte Asymptote: Streckungsaktor: Spiegelung an der -Achse

5 Schnittpunkt zweier gebrochen-rationaler Funktionen Um den/die Schnittpunkte zweier gebrochen-rationaler Funktionen zu berechnen, setzt man diese gleich, die Lösungsstrategie soll in den olgenden Schritten beschrieben werden: ( ) + ( ) + + Zunächst müssen die beiden Deinitionsmengen untersucht bzw. die Deinitionslücken geunden werden: Deinitionslücke von (): Deinitionslücke von (): ( ) + + y + 0,5 Gleichsetzen der Funktionen Subtraktion von au beiden Seiten Multiplikation über Kreuz, d.h. Zähler Nenner, Zähler Nenner Äquivalenzumormungen Überprüung, ob eine Deinitionslücke ist! Einsetzen von in eine der beiden Funktionen Merke: Bruchgleichungen werden i.d.r. mit Hile des Über-Kreuz-Multiplizierens gelöst!

6 Schnittpunkt einer gebrochen-rationalen Funktion mit einer senkrechten Achse: 4 Beispiel: Schnittpunkt von ( ) + mit - Einsetzen von - in () (-/,6) Schnittpunkt einer gebrochen-rationalen Funktion mit einer waagrechten Asymptoten ( ) + 4 Beispiel: Schnittpunkt von mit y- Gleichsetzen von () ( 4) + 0 ( / ) Potenzschreibweise Die Potenzschreibweise ist eine abkürzende Schreibweise ür Produkte mit gleichen Faktoren: heißt die Basis, 4 heißt Eponent

7 Potenzgesetze Bei der Multiplikation und Division von Eponenten kann man Terme vereinachen, wenn - die Potenzen gleiche Basis haben: die Eponenten werden addiert 5 6 :5 5 4 die Eponenten werden subtrahiert - die Potenzen gleiche Eponenten haben die Basen werden multipliziert 8 7 : die Basen werden dividiert - es sich um eine verschachtelte Potenz handelt (5 4 ) 5 die Eponenten werden multipliziert Eine Sondereigenschat haben Potenzen mit negativem Eponenten, sie können umgeormt werden, indem man die Potenz mit entsprechendem positiven Eponenten in den Nenner eines Bruches schreibt: er Potenzschreibweise Besonders große oder kleine Zahlen, wie sie z.b. in Berechnungen in Naturwissenschaten vorkommen, werden i.d.r. in der wissenschatlichen Schreibweise, in der sogenannten 0er Potenzschreibweise dargestellt. Dabei zerlegt man die Zahl in das Produkt aus Mantisse (eine Zahl, die mindestens und kleiner 0 ist) und Stuenzahl, die man später in eine 0er Potenz umwandelt. Beispiel : , ,558 0 Tipp: der Eponent der 0er Potenz ist um eins kleiner als die Anzahl der Stellen der Zahl Beispiel : 0, ,8 0, ,8 0-8 Tipp: der Betrag des negativen Eponenten der 0er Potenz ist die Anzahl der Nullen der Zahl