Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite 1 von 6

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1 Dietrich-Bonhoeer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite von 6 Standardaugaben Grundwissen M8 Beispielaugaben mit Lösung A. Die Funktion Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. ( Jedem x-wert wird genau ein y-wert zugeordnet ) Funktion :. Gehört die Zuordnung zu einer Funktion? Begründe! a) Ort au Rennstrecke Geschwindigkeit b) Quersumme einer Zahl Zahl c) Zeit Füllhöhe eines Heizungstanks d) Graphen: : x y Zuordnungsvorschrit (x) z. B. (x) x + 3 Zuordnung Tagestemperatur : : Tageszeit Temperatur zu einer bestimmten Tageszeit herrscht (an einem esten Ort) genau eine Temperatur eindeutig Funktion 9 h 9 C h,6 C y (x) z. B. y x + 3 (0h)9,6 C. Berechne die Funktionswerte ür x { ; 0;,5; 7} zur Funktion (x) x Bestimme die passende Funktion zu olgender Wertetabelle: x 3 4 y Berechne den Flächeninhalt eines Kreises mir r7 cm! 5. Geg.: Funktion y,5x +,5 a) Zeichne den Graph mit Hile eines Steigungsdreiecks und lege eine Wertetabelle ür x { ; ; 0; ; } an. b) Berechne die Schnittpunkte mit beiden Achsen! 6. Gib zu beiden Geraden die Funktionsgleichung an: 7. Bestimme die lineare Funktion, deren Graph durch die Punkte A( 8/7) und B(8/ 3) geht. D und W Deinitions- und Wertemenge Darstellung durch Wertetabellen, Peildiagramme und Graphen A. Lineare Funktionen Funktionsgleichung: (x) mx + t Höhenzuwachs m waagrechte Veränderung Liegen P(x P /y P ) und Q(x Q /y Q ) au der Geraden, so gilt: m Δy Δx y Q y P x Q x P Schnittpunkte mit den Achsen: - Nullstelle S x (x N 0) Berechnung über (x N ) 0 - S y (0 t) Die Kreisläche Der Flächeninhalt A ist eine quadratische Funktion des Radius r: A(r) π r Radius r/cm 3 9 Kreisläche A/cm 3,4 8,6 54,34 Geg.: Funktion (x) x + mit D Q Schnittpunkte mit den Achsen: - Nullstelle x + 0 x S x ( 0) und S y (0 ) Geg.: P( 3/4) und Q(5/ ). Berechne die lineare Funktion, deren Graph durch P und Q geht. m y Q y P 4 x Q x P 5 ( 3) P in y 3 x + t einsetzen: 4 3 ( 3) + t 4 4 t 3 4 (x) 3 4 x + 3 4

2 Dietrich-Bonhoeer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite von 6 8. Sind olgende Zuordnungen direkt proportional? Begründe! a) Anzahl von Kisten Höhe eines Stapels dieser Kisten b) Gewicht eines Bries Porto (Briemarke) ürs Verschicken 9. Vier Kiwis kosten,0, wieviel kosten 3 Kiwis? 0. An der Tankstelle steht:,30 /l ür Benzin. Wieviel kosten 45 l, wieviel 60 l? Stelle den Zusammenhang Benzinmenge und Preis graisch dar!. Ein Gasthaus hat nur Einzel- und Doppelzimmer. Es gibt 78 Zimmer mit insgesamt 9 Betten. Wie viele Einzel- und Doppelzimmer gibt es? Löse mithile eines Gleichungssystems!. Eine zweistellige Zahl wird um 9 größer, wenn man ihre Ziern vertauscht. Ihre Zehnerzier ist halb so groß wie ihre Einerzier. Wie heißt die Zahl? Löse mithile eines Gleichungssystems! 3. Ermittle graisch und rechnerisch jeweils die Lösungsmenge! a) (I) y x (II) y x 4 b) (I) y 3x (II) y + x 8 c) (I) y x,5 (II) 3 + 4x y Direkte Proportionalität als lineare Funktion: Funktionsgleichung y mx (mit t 0) Merkmale einer direkten Proportionalität: - Graph ist Ursprungsgerade. - jedem n-achen Wert der einen Größe wird der n-ache Wert der anderen Größe zugeordnet - Wertepaare sind quotientengleich: y y m mit konstantem m x x A.3 Lineare Gleichungssysteme (I) x + y 5 3 (II) 0,5x + y Lösung L {(6 )} Zahlenpaar! Graische Lösung: y 3 x + 5 S(6 ) Alle Zahlenpaare, die y 0,5x beide Gleichungen erüllen, gehören zur Lösungsmenge. Ein lineares Gleichungssystem kann entweder genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben! Graisch gesehen bedeutet das: Die Geraden der beiden Gleichungen schneiden sich (eine Lösung: S(x s/y s)), sie liegen parallel zueinander (keine Lösung) oder sie liegen aueinander (unendlich viele Lösungen). Es gibt drei Lösungsverahren: - Additionsverahren - Einsetzverahren - Gleichsetzverahren (vgl. Beispiele nebenan) Berechnung des Kreisumangs: zu jedem Radius gibt es genau einen Umang des Kreises eindeutig Funktion u: Radius Umang u(r) π r π d - Bei Verdopplung des Radius verdoppelt sich auch der Umang r/cm U/cm 8,85 37,70 3,0 Additionsverahren: (I) 3x + 4y 0 (II) 3x + 5y (I) + (II) 3x + 4y + (3x + 5y) 0 + ( ) 9y 8 : 9 y y in (II): 3x Einsetzverahren: (I) x y 5 (II) 5x 3y (I) 3x x 4 x 5 + y (I) in (II) 5 (5 + y) 3y 5 + 7y 7y 4 y y in (I) L {( 4 )} x 5 + ( ) x L {( )} Gleichsetzverahren: (I) y x 4 (II) y 3x (I) (II) x 4 3x 5x 5 x 3 x in (I) y 3 4 y L {(3 )}

3 Dietrich-Bonhoeer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite 3 von 6 4. Sind olgende Zuordnungen indirekt proportional? Begründe! a) Seitenlänge eines Quadrats Flächeninhalt des Quadrats b) Krat (Gewicht) Abstand vom Drehpunkt einer Wippe (Wippe bleibt im Gleichgewicht) 5. Asterix und Obelix sitzen au einer Wippe. Obelix wiegt 4-mal so viel wie Asterix, der ein Gewicht von 45 kg hat. Die Wippe ist insgesamt 6,00 m lang. Wo muss Obelix sitzen, wenn Asterix ganz außen sitzt und die Wippe sich im Gleichgewicht beindet? 6. Gib zu den olgenden Funktionen die Deinitionsmengen an und zeichne die Graphen mit Hile der Asymptoten in ein geeignetes KOS: a) g(x) x 3,5 b) h(x) x Bestimme die passende Funktionsgleichung: B. Bruchunktionen Indirekte Proportionalität als Bruchunktion (Variable, hier x, steht im Nenner!): Funktionsgleichung y c x mit D Q {0} Merkmale einer direkten Proportionalität: - Graph ist Hyperbel. - jedem n-achen Wert der einen Größe wird der n-te Teil ( -ache) der anderen Größe zugeordnet n - Wertepaare sind produktgleich: x y x y c mit konstantem c Allgemeine Bruchunktionen (mit einer im Zähler) (x) ± + b mit D Q {a} x a Der Graph ist eine Hyperbel. Senkrechte Asymptote bei x a (Deinitionslücke, Verschiebung nach rechts/links) Waagrechte Asymptote bei y b (Verschiebung nach oben/unten) Für im Zähler gilt: Spiegelung an der waagrechten Asymptote (Graph liegt im II. und IV. Quadranten des Asymptotenkreuzes). Zusammenhang Geschwindigkeit und benötigte Zeit bei gleicher Strecke: z. B.: t 3 km mit t > 0 v Indirekt proportional, da bei einer Verdopplung der Geschwindigkeit nur die Hälte der Zeit ür die gleiche Strecke benötigt wird. Produktgleich: t v 3km konstant 0,5h 6km h 3km 6min 30km/h 3km Beispiele Bruchunktionen: (x) x + ür x wird der Nenner 0! D Q {} senkr. Asymptote bei x. (x) x +,5,5 D Q {,5} senkr. Asy. x-,5 waagr. Asy. y-,5 Spiegelung an der waagr. Asy. 8. Vereinache so weit wie möglich! a) 8a3 b 7ab 3 b) xy+y xy 9. Fasse zu einem Bruch zusammen und vereinache! a) a+ a a b) c) x y x a+b 3 (a b) ab a b B. Bruchterme und Bruchgleichungen Bruchterme: x 4x x x 4 x (x 4) x x 4 6x 6 x 6 x 6 In Summen und Dierenzen dar nicht gekürzt werden. Deswegen: Faktorisieren (z. B. durch Ausklammern) Zum Addieren/Subtrahieren Brüche gleichnamig machen ( au den Hauptnenner bringen ): x + y y x y + x y x y xy + x y + x xy xy Vereinache: ax bx (a b) x a b ax+bx (a+b) x a+b 5a bc 5abc a b c 5 5 a b c 3 3 a 5 c 3a 5c Fasse zusammen: + 5 x x x + 5 x x+5 x a + b (a b) (a + b) a b a b a b (a + b)(a b) (a + b)(a b) b a ab + ab b b a b

4 Dietrich-Bonhoeer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite 4 von 6 0. Löse die Gleichungen! Beachte die Deinitionsmenge! a) 4 6 x b) 8 + y 5 y c) d) x+ x 5,5 4 x x+ e) x x+ 3 x +. Die Linsenormel beschreibt den Zusammenhang zwischen der Brennweite, der Gegenstandweite g und der Bildweite b bei einer Linse: +. g b a) Löse die Linsenormel nach g au, indem du mit dem Hauptnenner durchmultiplizierst! b) Berechne g ür den Fall, dass 0 cm und b, m.. Löse die Flächenormel ür ein Trapez nach a au: a + c A h Bruchgleichungen: Eine Gleichung, in der mindestens ein Bruchterm (Variable im Nenner) vorkommt, heißt Bruchgleichung. mit D Q {; 4} x 4 x a) Graische Lösung (siehe nebenan!) b) Lösung durch Rechnung (x 4)(x ) Mit HN multipl. x 4 x (x 4)(x ) (x 4)(x ) x 4 x Kürzen! x (x 4) Vereinachen! x x + 4 +x + Nach x aulösen! x 6 x 3 3 D L {3} Probe: Kürzer: Überkreuzmultiplizieren: x 4 x x (x 4) Voraussetzung: Au beiden Seiten steht ein Bruch! Beispiel zur graischen Lösung: Betrachte beide Seiten der Gleichung als Funktionen: (x) x 4 g(x) x Schnittpunkt S(3 -) > x 3 ist Lösung der Gleichung. 4 D Q {0; 6} x 6 x 4 x (x 6) 4x x 6 x 3x 6 x D L { } + 5 x x + 5x 5x x 5 x D Q {0} 5 D L { 5 } S 3. Fasse soweit wie möglich zusammen! a) 7ab (a b 3 3a 6 b ) b) 3 x 4 x 6 x c) x x x 4 d) 3b (b 4b ) e) (8x + 4x): x ) (a) 3 a 3 g) (x 3 x + x ) x 3 h) 3(ax 3 ) i) 3( a x) 3 C. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Der Ausdruck a n heißt Potenz. Hierbei ist a die Basis und n der Exponent. Es gilt a 0 ür a 0 und a n a n ür a 0 und n N Potenzgesetze Multiplizieren: a n a m a n + m Dividieren: a n b n (ab) n a n : a m a n m, a 0 a n : b n (a : b) n, b 0 Mit bzw. ohne Bruchstrich geschrieben: y 3 y 3 (y) 3 (y) 3 8y 3 x (x + ) x (x + ) y x xy y xy x xy x y x y Vereinachen: a 3 a 5 ( a) a ( a) a a a (ab) 4 (bc) 4 (ab bc) 4 (ab c) 4 a 4 b 8 c 4

5 Dietrich-Bonhoeer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite 5 von 6 j) (7a ): (9a ) k) ( x3 y 4 l) y 5 x ) xy : x7 y 3 x 3 y xy 4 4. Entscheide und begründe, welche der olgenden Figuren ähnlich sind! a) b) c) d) 5. Es soll die Breite eines Flusses gemessen werden, ohne au die andere Seite zu kommen! a b Berechne b ür a 5m, c m und d 4 m! 6. Betrachte die V-Figur in der Spalte Grundwissen nebenan. a) Es seien b 8cm, b cm und 5cm. Berechne e! b) Gegeben: c 7,5cm, c,5cm und e 9cm. Berechne! c) Nun seien b 7cm, e 4cm und 0cm. Berechne B! d) Gegeben sei C 5cm. Wie in b) seien e 4cm und 0cm. Berechne c! Potenzieren: (a n ) m a n m Rechenreihenolge Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich D. Ähnliche Figuren und Strahlensatz A Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn die Verhältnisse entsprechender Seiten alle gleich sind und entsprechende Winkel gleich groß sind. Zwei Dreiecke sind schon ähnlich, wenn eine der beiden Bedingungen zutrit (Schreibweise: ΔAB C ~ΔAB C ) AB B C B C Z. B. gilt: AB, usw. Daraus lässt sich der Strahlensatz ür die V-Figur herleiten: Für die X-Figur gilt: e a b c c C e b b e b b c c e a a b b B B b a C e e x : x : x 5 x ( 5) x x (x 4 y) : (x y 3 ) ( x4 y x y 3) ( x y ) ( y x ) (a ) 3 3 a ( 3) 8 a6 y4 Ähnliche Figuren zu F? Nein, da l: b l nicht mit F F Ja! überein- b stimmt! Strahlensatz V-Figur (s. nebenan): - Seien c 7,5cm, e 9cm und 7cm gegeben. Berechne C! e c c c c e c c 7cm 7,5cm,5cm 9cm C c c,5cm 7,5cm 5cm - Gegeben sei B 5cm, e und wie oben. Berechne b! e b + B b 7 9 b + 5 b 3 b + 5 b b 3b b + 5 b b 5 b,5 b,5 cm Strahlensatz X-Figur (s. nebenan): Seien a 6,5cm, e 3cm und cm. Berechne a! a e a a a 6cm e x 4 Lösungen:. a) ja b) nein c) ja d) links: nein, rechts: ja. z. B. (-) (x) x+ 4. A 53,94 cm² 5.b) Sx( 0), Sy(0,5) 3 6. a) y x- b) y x + 0, y 5 6 x + 8. a) ja b) nein 9. 3,90 0. Preis P,30 /l n P(45 l) 58,5 P(60 l) 78. Einzelzimmer: 37 Doppelzimmer: a) L { } b) L {( )} c) L {(x y) y- x,5} 4. a) nein b) ja 5.,5 m von außen 7. (x) x+5 8. a) a x+ b) 3b x 9. a) a b) x+y y x c) a+b ab 0. a) L { 4 } b) L { }. a) g b b b) g 4 cm. a A h c 3. a) 4b 5 a 5 b) x c) x d) 6b 3 e) 8x 4 + 4x 3 ) 5 8 a 3 g) x + x x 3 h) 3a x 6 i) 3a 6 x 3 j) 3a 3 k) x y 8 l) y x 8 4. a) und d) 5. b 5 m 6. a) e 0 cm b) 7 cm c) B 0,5 cm d) c 3 cm 3

6 Dietrich-Bonhoeer-Gymnasium Oberasbach - Mathematik 8. Klasse Seite 6 von 6 Standardaugaben Grundwissen Wahrscheinlichkeit 5-8 Beispielaugaben mit Lösung Zuallsexperimente sind Experimente, deren Ergebnis zuällig ist. Wur einer Münze: Die Ergebnisse eines Zuallsexperiments asst man zur Ω { W, Z }, wobei gilt: W:Wappen, Z: Zahl Ergebnismenge Ω zusammen. Ω Für die Anzahl der Elemente einer Menge Ω schreibt man Ω ( Mächtigkeit der Menge Ω ) Jede Teilmenge von Ω entspricht einem Ereignis. Besondere Ereignisse:. Bestimme die Ergebnismenge olgender Zuallsexperimente: a) Wur eines Würels b) Wur zweier Würel. Bestimme die relativen Häuigkeiten ür olgenden 000-maligen Wur eines Würels: n 000 Augenzahl Anzahl der Würe Relative Häuigkeit 3. Bestimme, wie viele verschiedene (auch unsinnige) Wörter man mit den Buchstaben des Wortes a) EUROPA b) MUENCHEN c) SOMMERFERIEN schreiben kann. 4. Zeichne zur Augabe b) ein Baumdiagramm! 5. Petra wirt den Würel mit dem abgebildeten Netz zweimal. Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeiten ür A Mindestens eine B Augensumme > 4 C Augendierenz > D Keine 5 E Ω sicheres Ereignis E { } unmögliches Ereignis E 3 { ω i } Elementarereignis mit nur einem Element Das Ereignis E tritt ein, wenn das Ergebnis ω des Experiments ein Element von E ist. Führt man ein Zuallsexperiment n-mal durch und tritt dabei das Ereignis A genau k-mal au, so heißt k die relative n Häuigkeit diese Ergebnisses. Je größer n ist, umso weniger schwankt die relative Häuigkeit um einen esten Zahlenwert. Man spricht dabei vom sogenannten Gesetz der großen Zahlen. Mit Baumdiagrammen oder allgemeiner nach dem Zählprinzip lässt sich die Gesamtzahl an Möglichkeiten ermitteln. 5 verschiedene Buchstaben können zu ! ( 5 Fakultät ) 0 verschiedenen Worten zusammengesetzt werden. Achtung: Die Buchstaben des Wortes SOMMERMONAT können zu! verschiedenen Wörtern! 3! zusammengesetzt werden, da der Buchstabe O -mal und der Buchstabe M 3-mal vorkommt. Ein Zuallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn jedes der möglichen Ereignisse gleich wahrscheinlich ist. Bei Laplace-Experimenten gilt ür die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E: P(E) E Anzahl der ür E günstigen Ergebnisse Ω Anzahl der möglichen Ergebnisse Wur eines Würels: A gerade Zahl { ; 4 ; 6 } B ungerade Zahl { ; 3 ; 5 } C Primzahl { ; 3 ; 5 } D Zahl größer als 3 { 4 ; 5 ; 6 } Würelt man also eine 4, so sind die Ereignisse A und D eingetreten, aber nicht B und D. n-maliger Wur eines Würels: n 00 Augenzahl Anzahl der Würe Relative Häuigkeit 7 % 5 % % 0 % % 6 % Ein Restaurant bietet ür das Mittagsmenü 4 Vorspeisen und 3 Hauptgerichte an. Es gibt 4 3 Möglichkeiten ür die Zusammenstellung der Speisen, d.h. Ω Eine Laplace-Münze wird 5-mal geworen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten ür die olgenden Ereignisse. A Genau 4-mal Wappen B Mindestens -mal Wappen P(A) A Ω und P(B) B 6 6 Ω 5 3