Direkte Proportionalität

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1 M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient = für alle Wertepaare gleich ist. (= Proportionaliätsfaktor ) = ist. der Graph der Zuordnung eine Ursprungsgerade ist. 3 Ananas kosten 4,47. Wie viel kosten 5 Ananas? Die Zuordnung () () ist proportional. Dreisatz oder Proportionalitätsfaktor : 3 4,47 1 1,49, : = 4,47 3 =1,49 = =1,49 5=,

2 M 8.2 Indirekte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind indirekt (oder umgekehrt ) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. das Produkt = für alle Wertepaare gleich ist. = ist. der Graph der Zuordnung eine Hyperbel ist. Mit 3 Schläuchen ist ein Schwimmbecken in 2,5 Stunden gefüllt. Wie lange dauert es mit 5 Schläuchen? Die Zuordnung () () ist indirekt proportional. Dreisatz oder =3 2,5h=7,5h : 3 2,5h 1 7,5h :, = =7,5h 5 =,

3 M 8.3 Funktionsbegriff Eine Zuordnung, die jedem Wert für jeweils nur einen einzigen Wert für zuordnet, heißt Funktion. Der von abhängige Wert () bzw. heißt Funktionswert. Die Menge aller zulässigen -Werte heißt Definitionsmenge. Die Menge aller möglichen Funktionswerte heißt Wertemenge. Funktion: Keine Funktionen Schreibweisen: : ()= = =Q =Q Graph:

4 M 8.4 Umfang = Umfang und Flächeninhalt des Kreises Flächeninhalt = = Der Durchmesser ist direkt proportional zum Umfang. ist der Proportionalitätsfaktor. Kreiszahl =, ( ist keine rationale Zahl) (;3) [ Kreis um mit Radius 3"] =2 3 18,85 =(3) 28,27

5 M 8.5 Lineare Funktionen Funktionsgleichung: =+ Steigung -Achsenabschnitt Graph: Gerade mit der Steigung = durch den Punkt ( 0 ) Ein -Wert, für den der Funktionswert Null ist, heißt Nullstelle. Zeichne den Graphen der Funktion = +. Markiere den Punkt ( 0 1). Trage von dort den Nenner von = in -Richtung ab und trage dann den Zähler von = in -Richtung ab.

6 M 8.6 Aufstellen der Geradengleichung Ansatz: =+ 1. Schritt: Bestimme die Steigung 2. Schritt: Bestimme den -Achsenabschnitt Bestimme den Funktionsterm der linearen Funktion, deren Graph durch die Punkte ( ) und ( ) verläuft. Ansatz: =+ 1. Schritt: = = = 4 2 = 2. Schritt: Setze oder in = + ein: 3= 2 2+ = = +

7 M 8.7 Lineare Ungleichungen Ungleichungen kann man wie Gleichungen schrittweise vereinfachen. Vorsicht: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um! Die Lösungsmenge kann man in Mengen- oder Intervallschreibweise angeben. 3 6 /: ; ,5 / ;

8 M 8.8 Lineare Gleichungssysteme I Zwei lineare Gleichungen mit zwei gleichen Variablen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. () += () += Die Gleichungen lassen sich durch Geraden graphisch darstellen ( Auflösen nach ). () = () += () = () = (),+,= () += eine Lösung keine Lösung Unendlich viele Lösungen

9 M 8.9 Lineare Gleichungssysteme II () += ( ) =,+ () = ( ) =, Graphische Lösung ( )= 0,5+4 ( )=0,75 1 ={(4;2)} Einsetzungsverfahren ( ) in (): +2(0,75 1)=8 2,5 2=8 /+2 2,5=10 /:2,5 =4 =0,75 4 1=2 ={(4;2)} Gleichsetzungsverfahren ( )=( ) 0,5+4=0,75 1 / 0,75 4 1,25= 5 /:( 1,25) =4 = 0,5 4+4=2 ={(4;2)} Additionsverfahren ()+(): = =8 =2 ={(4;2)} 5=20 /:5 =4

10 M 8.10 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment, bei dem verschiedene Ergebnisse möglich sind. Die Menge aller möglichen Ergebnisse nennt man Ergebnismenge. Eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω nennt man Ereignis. Zählprinzip Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten, indem man die Anzahlen der verschiedenen Möglichkeiten in den einzelnen Stufen multipliziert. Wie viele Möglichkeiten gibt es, sechs Personen auf sechs Stühlen anzuordnen? ! 720

11 M 8.11 Laplace-Experimente Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißen Laplace-Experimente. ()= ü ö Einmaliger Würfelwurf Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6, Ω 6 : "Augenzahl ist gerade", A 2; 4; 6, 3 50% Ω Einmaliger Münzwurf Ω ;, Ω % 2

12 M 8.12 Gebrochen rationale Funktionen Bruchterme Terme, bei denen eine Variable im Nenner auftritt, heißen Bruchterme. 1 ; 3 ; 5 1 ; ; +2 Funktionen, deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, heißen gebrochen rationale Funktionen. ()= ; =Q\{ 1;1} Ihr Graph ist eine Hyperbel. Für die Variablen dürfen keine Zahlen eingesetzt werden, für die der Nenner null wird. Diese Zahlen nennt man Definitionslücken. Sie gehören nicht zur Definitionsmenge der Funktion. Geraden, an die sich der Graph beliebig genau annähert, nennt man Asymptoten.

13 M 8.13 Rechnen mit Bruchtermen Kürzen Zähler und Nenner faktorisieren Gleiche Terme kürzen Nie aus Summen kürzen! = (3 5) (7 1) = Addieren und Subtrahieren Bruchterme gleichnamig machen Zähler addieren/subtrahieren = = 3( ) ( 1)( ) + 4( ) ( )(3 2) = = ( 1)(3 2) = ( 1)(3 2) Multiplizieren Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner Dividieren Multiplizieren mit dem Kehrbruch =(3 ) 4 2( 1) = = 2 3(4 )

14 M 8.14 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten = Faktoren für jede natürliche Zahl = für jede natürliche Zahl, 0 =1 für jede rationale Zahl 0 10 = =10000; 10 = Gleitkommadarstellung 10 = ; 3 = =; 5 =1 1 <10 gibt an, um wie viele Stellen man das Komma verschieben muss 3,2 10 = ; 3,2 10 =0,000032

15 M 8.15 Rechnen mit Potenzen Multiplizieren Hochzahlen addieren = 3 3 =3 =3 = Potenzieren einer Potenz Hochzahlen multiplizieren ( ) = = (3 ) =3 =3 ( ) = Dividieren Hochzahlen subtrahieren : = 4 4 =4 =4 = Potenzieren von Produkten und Quotienten Hochzahlen verteilen ( ) = ( ) = : (5 7) =5 7 (4 2) =4 :2 () = = Vorsicht: (3 +7) =(3 +7)(3 +7)= kein Verteilen der Hochzahlen bei Summen

16 M 8.16 Bruchgleichungen 1. Schritt: Definitionsmenge bestimmen 2. Schritt: Beide Seiten mit dem gemeinsamen Nenner aller Bruchterme multiplizieren und anschließend kürzen 3. Schritt: Bruchtermfreie Gleichung lösen 4. Schritt: Überprüfen, ob die Lösung zur Definitionsmenge gehört 5. Schritt: Lösungsmenge angeben

17 M 8.17 Strahlensätze V-Figur X-Figur 1. Strahlensatz = 2. Strahlensatz 1. Strahlensatz 2. Strahlensatz

18 M 8.18 Ähnliche Figuren Zwei Figuren und heißen ähnlich (~), wenn man so vergrößern oder verkleinern kann, dass die Bildfigur zu kongruent ist. Für ähnliche Figuren gilt: entsprechende Winkel sind gleich groß die Verhältnisse entsprechender Streckenlängen sind gleich Dreiecke sind ähnlich, wenn bereits eine der beiden Eigenschaften erfüllt ist. =, =, =,