Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Rechenregeln

Transkript

1 Lüneburg, Fragment Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Rechenregeln 5-E1

2 5-E2

3 Potenzen: Rechenregeln Regel 1: Potenzen mit gleicher Basis können dadurch miteinander multipliziert werden, dass man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert b n b m = b n +m b n b m = b b b... b b b b... b n Faktoren m Faktoren (n+ m) Faktoren = b n + m Beispiele: a ) a 2 a 3 n 1 = a n 1 = a n b ) x 3 x 2 n + 1 = x n + 1 = x n 5-1a

4 Multiplikation von Potenzen: Aufgabe 17 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a ) x 3 x 2, a 0 a 1, 4 x 4 x 5 b ) a n+2 a 3, b n +1 b 2 b 2 n, x 5 x 3 x n +4 c ) 4 x 2 n x 2 +n x, y 2 y 3 n y 5 y 3 n +4 d ) , n n 5-1b

5 Multiplikation von Potenzen: Lösung 17 a ) x 3 x 2 = x, a 0 a 1 = a 0 1 = a 1 = 1 a, 4 x4 x 5 = 4 x b ) a n 2 a 3 = a n 2 3 = a n 5, b n 1 b 2 b 2 n = b n n = b 3 n 3, x 5 x 3 x n 4 = x 5 3 n 4 = x n 12 c ) 4 x 2 n x 2 + n x = 4 x 2 n n + 1 = 4 x n + 3, y 2 y 3 n y 5 y 3 n 4 = y 2 3 n 5 3 n 4 = y 2 n 4 d ) = = 2 4 = n n = n n = n n = = n n = 2 5 = = c

6 Potenzen: Rechenregeln Regel 2: Potenzen mit gleicher Basis können dadurch durcheinander dividiert werden, dass man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert b n b m = b n m Regel 3: Eine Potenz kann potenziert werden, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert (b n ) m = b n m 5-2

7 Potenzen: Rechenregeln Regel 4: Potenzen mit gleichen Exponenten kann man multiplizieren, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert a n b n = a b n Regel 5: Potenzen mit gleichen Exponenten kann man durcheinander dividieren, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert a n b n = a b n 5-3

8 Rechenregeln b n b m = b n + m b n b m = b n m (b n ) m = b n m a n b n = (a b) n a n b n = a n b b n = 1 b n m, n Z, b 1 = b, b 0 = 1, b 0 5-4a

9 Rechenregeln Regel: Beispiele: 1. b n b m = b n +m = = 2 5 = b n b m = b n m = = 4 2 = (b n ) m = b n m (3 3 ) 2 = = 3 6 = a n b n = (a b) n = (2 3) 2 = 6 2 = a n b n = ( a b ) n = ( 6 3 ) 4 = 2 4 = b n = 1 b n 5 2 = = b 0 = 1 (a 2 3) 0 = 1 5-4b

10 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Aufgaben 5-4c

11 Rechenregeln: Aufgaben Aufgabe 18: Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: (a 3 b 2 c) (a b 3 c 5 ) Aufgabe 19: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke und bestimmen Sie deren Werte bei gegebenen a, b und c-werten a ) [ a3 b 2 c 4 ] a b c 2 a=1, b= 1, c =1, b ) [ a4 b 3 c 4 a 2 b 2 c 2 ] a=3, b=1/8, c =2 Aufgabe 20: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke und geben Sie an, welche Regel Sie verwenden: a ) 7 x 2 y 3 x 4 y 2, b ) ( 5 x 3 y 2 ) 2 6-1a

12 Rechenregeln: Lösung 18 Wir schreiben den Ausdruck in der Form (a 3 b 2 c) (a b 3 c 5 ) = (a 3 a) (b 2 b 3 ) (c c 5 ) und multipliziren die Potenzen mit gleichen Basen: a 3 a = a 3 1 = a 4 b 2 b 3 = b 2 3 = b 5 c c 5 = c 1 5 = c 6 (a 3 b 2 c) (a b 3 c 5 ) = a 4 b 5 c 6 6-1b

13 Rechenregeln: Lösung 19 a) a 3 a = a 3 1 = a 2 b 2 b = b 2 1 = b c 4 c 2 = c 4 2 = c 6 a 3 b 2 c 4 a b c 2 = a3 a b2 b c4 c 2 = a2 b c 6 [ a3 b 2 c 4 ] a b c 2 a=1, b = 1, c =1 = [ a 2 b c 6 ] a=1, b= 1, c=1 = 1 b ) [ a4 b 3 c 4 a 2 b 2 c 2 ] a=3, b=1/8, c=2 = [ a2 b c 2 ] a=3, b=1/8, c=2 = 6-1c = 3 2 ( 1 8 ) 1 4 =

14 Rechenregeln: Lösung 20a a ) 7 x 2 y 3 x 4 y 2 = 7 x 2 x 4 y 3 y 2 = Faktoren mit gleichen Basen kombinieren 7 (x 2 x 4 ) 1 y 3 y 2 = Regel 6: b n = 1 b n 7 x 6 y 5 = Regel 1: b n b m = b n +m 7 x 2 y 3 x 4 y 2 = 7 x 6 y 5 6-1d

15 Rechenregeln: Lösung 20b b ) ( 5 x 3 y 2 ) 2 = 5 2 (x 3 ) 2 ( y 2 ) 2 = Regel 4: a n b n = (a b) n 5 2 x 6 y 4 = Regel 3: (b n ) m = b n m y x 6 = Regel 6: b n = 1 y 4 25 x 6 b n ( 5 x 3 y 2 ) 2 = y 4 25 x 6 6-1e

16 Rechenregeln: Aufgaben 21, 22 Aufgabe 21: Schreiben Sie die Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation: a ) ( ) ( ), b) ( ) ( ), c ) ( ) ( ), d ) ( ) ( ), e ) ( ) ( ) f ) ( ) ( ) g ) ( ) 3, ( ) 3 h ) ( ) 2, ( ) 3 Aufgabe 22: Schreiben Sie die Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation: a ) , b) , c ) d ) ( ) ( ) , e ) ( ) ( ) a

17 Rechenregeln: Lösung 21 a ) ( ) ( ) = = b ) ( ) ( ) = = c ) ( ) ( ) = = d ) ( ) ( ) = e ) ( ) ( ) = f ) ( ) ( ) = = g ) ( ) 3 = , ( ) 3 = = h ) ( ) 2 = = ( ) 3 = = b

18 Rechenregeln: Lösung 22 a ) b ) c ) = , = = = = d ) ( ) ( ) = = = e ) ( ) ( ) = = = c

19 Rechenregeln: Aufgabe 23 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a ) 4 y 2 x 2 n y x y 3 n b ) a 2 b 2 n a 5 b 3 n 4 c ) n d ) n 4 7-1a

20 Rechenregeln: Lösung 23 a ) 4 y 2 x 2 + n y x y 3 n = 4 y n x 2 + n+ 1 = 4 y 3 n 1 x n+3 b ) a 2 b 2 n a 5 b 3 n + 4 = a 2+5 b 2 n+3 n + 4 = a 7 b n c ) n = n 1 = n d ) n 4 = n 4 = n 1 7-1b

21 Rechenregeln: Aufgabe 24 Die Ausdrücke sind mit positiven Exponenten darzustellen: Beispiele: 1 a = 3 a 3 1 = a 3, a 2 b 3 = a2 b 3 a ) a 4, 3 a 3 b, 5 a b 4 c b ) 7 b 4 d 4, 2 1 x 1 y 1, 3 a 1 b 2 c 3 c ) a 2 b, 4 x 4 4 x, 3 x 2 5 y 3 7-2a

22 Rechenregeln: Lösung 24 a ) a 4 = 1 a, 3 4 a 3 b = 3 b a, 5 a 3 b 4 c = 5 a c b 4 b ) 7 b 4 d 4 = 7 d 4 b 4, 2 1 x 1 y 1 = 1 2 x 1 y 1 3 a 1 b 2 c 3 = 3 c3 a b 2 c ) a 2 b 4 = a2 b 4 1 = a 2 b 4 4 x 4 x 5 = 4 x 4 x 5 = 4 x 9, 3 x 2 y 3 = 3 x 2 y 3 7-2b

23 Rechenregeln: Aufgabe 25 Die Ausdrücke sind mit positiven Exponenten darzustellen: a ) a 5 a, a 2 3 a 5 b, 4 x 4 y 2 4 x 5 y 3 b ) a b 1, 3 2 x y 2, x 1 y 1 c ) 6 y 1 4 x 2, a b 25 5 a 1 b 1, 16 x 3 y 3 x y 3 25 x 0 y 1 5 x y 2 7-3a

24 Rechenregeln: Lösung 25 a ) a 5 a 3 = 1 a 3 a 5 = 1 a 5 3 = 1 a 2 a 2 a 5 b 4 = a2 a 5 1 b 4 1 = a 7 b 4 4 x 4 y 2 x 5 y 3 = 4 x 4 y 2 x 5 1 y 3 1 = 4 x 4 y 2 x 5 y 3 = = 4 x 4 5 y 2 3 = 4 x 9 y 5 b ) a b 1 = 1 a b, 3 2 x y 2 = x y 2 = x y x 1 y 1 = 1 x 1 y = x y x y 7-3b

25 Rechenregeln: Lösung 25 c ) 6 y 1 4 x = 3 x y a b 25 5 a 1 b = a b 5 1 a b = 5 a 1 b 2 = 5 a 2 b 2 16 x 3 y 3 x y 3 = x 3 1 y 3 3 = x 4 y 6 = x 4 y 6 25 x 0 y 1 5 x y 2 = 25 x0 1 y = 25 x y 5 5 = x y 7-3c

26 Rechenregeln: Aufgabe 26 Stellen Sie die gegebenen Terme nur mit positiven Exponenten dar: a ) b ) c ) d ) e ) x 3 y 3 z 4 x 1 y 3 z 4 a 3 b 2 c a 6 b 4 c 3 x 3 y 0 z 2 x 4 y 3 z a

27 Rechenregeln: Lösung 26 a ) b ) x 3 y 3 z 4 x 1 y 3 z 4 = x 3 1 y 3 3 z 4 4 = x 4 z 8 a 3 b 2 c a 6 b 4 c 3 = a 3 6 b 2 4 c 1 3 = a 3 b 2 c 4 c ) x 3 y 0 z 2 x 4 y 3 z = 2 x 3 4 y 0 3 z 2 2 = y3 z 4 x 7 d ) = = = = e ) = = = = = = = b

28 Rechenregeln: Aufgabe 27 Stellen Sie die gegebenen Terme nur mit positiven Exponenten dar: a ) 2 a 2 b 2 3 b : a b 3 b ) 2 2 a 3 b x : 4 x 5 b 1 a a 4 x 6 c ) : 9 x 2 y x y y 1 d ) 25 x y 36 y 4 z 3 : x 3 y 3 81 z 4 x 2 z y 2 7-5a

29 Rechenregeln: Lösung 27 a ) 2 a 2 b 2 3 b : a b = 2 a2 b b a b 3 1 = 2 a2 b 2 3 b a2 3 2 b 3 = = 2 a4 = 2 a b ) 2 2 a 3 b x : 4 x5 b 1 a = 22 a 3 a 4 x 6 b x 4 x 5 b 1 a a 4 x 6 1 = 22 a 3 b x 22 a 5 b x 1 = = 22 a 3 b x b x 2 2 a 5 = 1 a 2 c ) : 9 x 2 y 5 1 = x y y 1 5 x y 9 1 x 2 y y = x d ) 25 x y 36 y 4 z 3 : x 3 y 3 81 z 4 x 2 z y 2 = 1 7-5b

30 Rechenregeln: Aufgabe 28 Stellen Sie gegebene Terme nur mit positiven Exponenten dar: a ) a 1 0, a 0 1 b ) b 2 3, a b 3 2 c ) x 2 3, 2 y 4 d ) 2 2 x 1, a

31 Rechenregeln: Lösung 28 a ) a 1 0 = 1, a 0 1 = 1 b ) b 2 3 = 1 b 6, a b 3 2 = a2 b 6 c ) x 2 3 = 1 x 6, 2 y 4 = 16 y 4 d ) 2 2 x 1 = x = 1 4 x = = 3 2 = b

32 Rechenregeln: Aufgabe 29 Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach A auf: a ) x 7 y 3 z 2 = x 2 y 2 z 3 A b ) x 2 y 1 z 4 = x 2 y 3 z 3 A c ) 3 x 2 y 2 = x 3 y 5 z 2 A d ) 27 a 2 b 2 c = a 4 b 3 c 2 A e ) ( x 2 y 2 ) 3 = x 3 y 3 z 3 A f ) (s 1 u 2 ) 2 = s 2 u 3 A t 7-7a

33 Rechenregeln: Lösung 29 a ) x 7 y 3 z 2 = x 2 y 2 z 3 A, A = x 7 y 3 z 2 x 2 y 2 z 3 = x 5 y z b ) x 2 y 1 z 4 = x 2 y 3 z 3 A, A = x 2 y 1 z 4 x 2 y 3 z 3 = y 2 z 7 c ) 3 x 2 y 2 = x 3 y 5 z 2 A, A = x 3 y 5 z 2 3 x 2 y 2 = 1 3 x y 3 z 2 d ) 27 a 2 b 2 c = a 4 b 3 c 2 A, A = a 4 b 3 c 2 b 2 c 27 a 2 = a 2 c 3 27 b e ) ( x 2 y 2 ) 3 = x 3 y 3 z 3 A, x 6 y 6 = x 3 y 3 z 3 A A = x 6 y 6 x 3 y 3 z 3 = x 9 z 3 y 3 f ) (s 1 u 2 ) 2 = s 2 u 3 A t, A = s 2 u 4 s 2 u 3 t 1 = s 4 u t s 2 u 4 = s 2 u 3 t 1 A 7-7b

34 7-8