Runden Potenzen und Wurzel Terme. Mathematik W2. Mag. Rainer Sickinger BRP, LMM. v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 1 / 82
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- Jens Friedrich
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Transkript
1 Mathematik W2 Mag. Rainer Sickinger BRP, LMM v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 1 / 82
2 Das Stellenwertsystem eins < zehn < hundert < tausend < zehntausend < hunderttausend... v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 2 / 82
3 Auf- oder abrunden 145 auf Zehner gerundet: 150 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 3 / 82
4 Übungen zum Thema Runden Übung 7628,46 (eine Dezimalstelle / auf Zehntel) 567,348 (eine Dezimalstelle / auf Zehntel) 927,375 (zwei Dezimalstellen / auf Hundertstel) 769,2964 (zwei Dezimalstellen / auf Hundertstel) 372,62829 (drei Dezimalstellen / auf Tausendstel) 63, (drei Dezimalstellen / auf Tausendstel) 0, (vier Dezimalstellen / auf Zehntausendstel) 12, (vier Dezimalstellen / auf Zehntausendstel) v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 4 / 82
5 Übungen zum Thema Runden Lösung 7628,5 567,3 927,38 769,30 372,628 63,487 0, ,0000 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 5 / 82
6 Definition der Potenz Was ist eine Potenz? Die Potenzschreibweise ist nichts anderes als eine Kurzschreibweise für eine mehrmalige Multiplikation der selben Zahl = 2 3 } a a {{ a... a} = a n n Mal v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 6 / 82
7 Bestandteile der Potenz Begrifflichkeiten Potenz v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 7 / 82
8 Definition von a 0 WICHTIGE REGELN BEI POTENZEN a 1 = a a 0 = 1 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 8 / 82
9 Potenzierung negativer Zahlen Gibt es ein Muster? ( 1) 0 =? ( 1) 1 =? ( 1) 2 =? ( 1) 3 =? ( 1) 4 =? ( 1) 5 =? ( 1) 6 =? ( 1) 7 =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 9 / 82
10 Potenzierung negativer Zahlen Jepp gibt es!!!! ( 1) 0 =1 ( 1) 1 =-1 ( 1) 2 = 1 1 =1 ( 1) 3 = =-1 ( 1) 4 = =1 ( 1) 5 = =-1 ( 1) 6 = =1 ( 1) 7 = =-1 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 10 / 82
11 Potenzierung negativer Zahlen WICHTIG: ( 2) 4 (2 4 ) aber (2 4 ) = 2 4 ( 2) 4 = ( 2)( 2) ( 2)( 2) = 4 4 = 16 }{{}}{{} =4 =4 ( 2) 5 = ( 2)( 2) ( 2)( 2) } {{ } =4 } {{ } =4 ( 2) = = 16 2 = 32 WICHTIG: Hat eine negative Zahl einen geraden Exponenten, ist das Ergebnis positiv. WICHTIG: Hat eine negative Zahl einen ungeraden Exponenten, ist das Ergebnis negativ. }{{} }{{} }{{} = = }{{} + }{{} + }{{} + v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 11 / 82
12 Übungen negative Basis Übung 10 3 = 3 3 = 2 5 = 2, 34 2 = ( 2) 3 = ( 3) 4 = ( 10) 2 = ( 2, 3) 2 = ( 4, 1) 3 = ( 623, ) 0 = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 12 / 82
13 Übungen negative Basis Lösung 10 3 = = = = = = 32 2, 342 = 2, 34 2, 34 = 5, 4756 ( 2) 3 = ( 2)( 2)( 2) = 8 ( 3) 4 = ( 3)( 3)( 3)( 3) = 81 ( 10) 2 = ( 10)( 10) = 100 ( 2, 3) 2 = ( 2, 3)( 2, 3) = 5, 29 ( 4, 1) 3 = ( 4, 1)( 4, 1)( 4, 1) = 68, 921 ( 623, ) 0 = 1 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 13 / 82
14 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten Was passiert, wenn ein negativer Exponent auftaucht? 1 a n = a n v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 14 / 82
15 Potenzen mit ganzzahligen negativen Exponenten Potenzen hoch und runter schieben Haben wir einen Bruch können wir somit Potenzen von unten nach oben und von oben nach unten schieben. xy 2 xy = 2 x 1 = y 3 x 1 x 1 hochschieben y 3 y 3 hochschieben xy 2 x 1 y 3 x = 2 y 3 y 2 runterschieben y 2 Bei Addition/Subtraktion geht das nicht!!!: x2 +y 2 x 2 Man kann aber die gesamte Addition runterschieben/hochschieben : x2 +y 2 1 = = x2 +y 2 x 2 x 2 (x 2 +y 2 ) 1 x 2 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 15 / 82
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18 Potenzen addieren / subtrahieren Potenzen können nur dann addiert bzw. subtrahiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen. Beispiele: 4x 2 + 5x 2 = 9x 2 4x + 5x 3 = geht nicht 4a 2 + 3b 2 = geht nicht 9x 2 3x 2 = 6x 2 14x 3 2x 3 = 12x 3 12x 2 3x 3 = geht nicht 20x 3 10t 3 = geht nicht 5a 2 + 5a 2 = 10a 2 3b 3 + 2a x 1b 3 + 4a x 3a l = 2b 3 + 6a x 3a l v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 18 / 82
19 Übungen Potenzen addieren und subtrahieren Übung 3b 3 + 5b 3 = 8c 4 2c 4 + 4c 4 = 8y 2 + 2y 2 = 5n 5 2n 5 3n 5 = 3w 2 + 5w 3 4w 2 3w 3 = 6a 4 3a 5 3a 4 + 6a 5 = 4x 2 3x 3 2x 2 + 3x 3 = 9z 4 6z 4 + 4z 3 2z 4 = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 19 / 82
20 Übungen Potenzen addieren und subtrahieren Lösung 3b 3 + 5b 3 = 8b 3 8c 4 2c 4 + 4c 4 = 10c 4 8y 2 + 2y 2 = 10y 2 5n 5 2n 5 3n 5 = 0 3w 2 + 5w 3 4w 2 3w 3 = w 2 + 2w 3 6a 4 3a 5 3a 4 + 6a 5 = 3a 4 + 3a 5 4x 2 3x 3 2x 2 + 3x 3 = 2x 2 9z 4 6z 4 + 4z 3 2z 4 = z 4 + 4z 3 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 20 / 82
21 Potenzen multiplizieren Versuche eine Lösung für folgenden Ausdruck zu finden! =?? Tipp: Schreibe die Potenz in ihrer Langschreibweise. v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 21 / 82
22 Potenzen multiplizieren = } 2 {{ 2 2} 2 } 2 {{ 2 2 2} = = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 22 / 82
23 Potenzen multiplizieren Zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert! v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 23 / 82
24 Potenzen multiplizieren Zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert! a n a m = a n+m Beide Potenzen müssen die gleiche Basis haben: a n b m geht nicht! v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 24 / 82
25 Potenzen dividieren =?? Tipp: Schreibe die Potenz in ihrer Langschreibweise. v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 25 / 82
26 Potenzen dividieren a n a m =?? Tipp: Verschiebe deine Potenzen wie wir es gelernt haben und wende den Grundsatz -Zwei Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert!- an! v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 26 / 82
27 Potenzen dividieren Zwei Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert! v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 27 / 82
28 Übungen Potenzen multiplizieren und dividieren Übung v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 28 / 82
29 Übungen Potenzen multiplizieren und dividieren Lösung I v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 29 / 82
30 Übungen Potenzen multiplizieren und dividieren Lösung II v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 30 / 82
31 Weitere Potenzregeln (a b) 3 =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 31 / 82
32 Weitere Potenzregeln (ab) 3 = (ab)(ab)(ab) = aaabbb = a 3 b 3 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 32 / 82
33 Weitere Potenzregeln Allgemein: (ab) n = a n b n v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 33 / 82
34 Weitere Potenzregeln ( a b )4 =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 34 / 82
35 Weitere Potenzregeln ( a b )4 = a b a b a b a b = a4 b 4 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 35 / 82
36 Weitere Potenzregeln Allgemein: ( a b )n = an b n v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 36 / 82
37 Weitere Potenzregeln (a 4 ) 3 =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 37 / 82
38 Weitere Potenzregeln (a 4 ) 3 = (a 4 )(a 4 )(a 4 ) = (aaaa)(aaaa)(aaaa) = a 4 3 = a 12 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 38 / 82
39 Weitere Potenzregeln Allgemein: (a n ) m = a n m v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 39 / 82
40 Übungen weitere Potenzregeln Übung v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 40 / 82
41 Übungen weitere Potenzregeln Lösung I v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 41 / 82
42 Gleitkommadarstellung Gibt es ein Muster? = = = = = = = = = = = = = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 42 / 82
43 Gleitkommadarstellung Jepp gibt es? = = = = = = = = = = = = = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 43 / 82
44 Gleitkommadarstellung Gibt es ein Muster? = = = = = = = = = = = = = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 44 / 82
45 Gleitkommadarstellung Jepp gibt es? = = = = = = = = = = = = = v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 45 / 82
46 Gleitkommadarstellung v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 46 / 82
47 Wurzel = 5 Beim Ziehen der 3-ten Wurzel aus 125 möchte ich wissen, welche Zahl ich mit 3 potenzieren muss, um 125 zu erhalten. In diesem Fall muss ich 5 3 rechnen um 125 zu bekommen v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 47 / 82
48 Wurzel Allgemein: a n = c n c = a Beim Ziehen der n-ten Wurzel aus c möchte ich wissen, welche Zahl a ich mit n potenzieren muss, um c zu erhalten. v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 48 / 82
49 Wurzel Die Wurzel 25 = a 2 Ich möchte a wissen. 2 a 2 = 2 25 a = 2 25 = 5 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 49 / 82
50 Wichtige Informationen zur Wurzel Wichtiges zur Wurzel 2 a = a Welche Lösung hat folgende Gleichung? 25 = c v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 50 / 82
51 Wichtige Informationen zur Wurzel Wichtiges zur Wurzel 2 a = a n Bei a muss a immer größer oder gleich 0 sein: 25 = c. Das heißt welche Zahl müsste ich nehmen die mit zwei potenziert -25 ergibt? es gibt keine solche Zahl c! Wurzeln aus negativen Zahlen sind VERBOTEN, da sich sonst Diskrepanzen in der Mathematik ergeben: 2 = ( 8)2 = 6 64 = ( 8)2 WIDERSPRUCH Wurzeln aus negativen Zahlen sind VERBOTEN v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 51 / 82
52 Wichtige Informationen zur Wurzel Wurzeln aus negativen Zahlen sind VERBOTEN v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 52 / 82
53 Wurzel als Potenz schreiben m a n = a n m
54 Übungen zum Schreiben der Wurzel als Potenz Übungen zum Schreiben der Wurzel als Potenz 2 5 x 4 3 b x 2 3 y 1 3 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 54 / 82
55 Übungen zum Schreiben der Wurzel als Potenz Lösungen 2 = a 4 = a b = b 1 3 x 2 3 = 3 x 2 y 1 3 = 1 3 y v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 55 / 82
56 Regeln für das Rechnen mit Wurzeln Regeln für das Rechnen mit Wurzeln (mit Begründung) n a n b = a 1 n b 1 n = (ab) 1 n = n ab n a n b = a 1 n b 1 n = ( a b ) 1 n = n a b ( n a) n = n a n a... n a }{{} n Mal = a n a n... a n }{{} = n Mal 1 n + 1 n + 1 n }{{ n} n Mal a = a n 1 n = a n n = a 1 = a n 1 m a = (a m ) 1 n = a 1 1 m n = mn a 1 n a = a n = a 1 n 1 = a 1 m n m = a m nm = nm a m v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 56 / 82
57 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 57 / 82
58 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 58 / 82
59 Eine Definition Definition (Term) Unter einem Term verstehen die Mathematiker einen sinnvollen Ausdruck, der Ziffern, Variablen, Rechenzeichen und Klammern enthält. Sinnvolle Ausdrücke: (3x 23) y keine sinnvollen Ausdrücke: y 2 2 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 59 / 82
60 Begriffe Definition (Koeffizient) Also Koeffizient bezeichnet man jene Zahl, die vor einer Variablen steht. z.b. Der Koeffizient von 8x 2 lautet 8 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 60 / 82
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63 Subtraktion von Termen Merksatz zur Addition/Subtraktion von Termen: Für das Rechnen mit Termen gelten dieselben Regeln wie beim Rechnen mit Zahlen. Es können nur gleiche Variablen addiert (subtrahiert) werden. v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 63 / 82
64 Übungen Terme Addieren Subtrahieren Übung Buch Seite 46 Übung , a, b, c, d v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 64 / 82
65 Übungen Terme Addieren Subtrahieren Lösung a: 6s + 9r b: 9g 18, 4h c: 27k 7l d: 20, 7t + 1.9s 0.8r v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 65 / 82
66 Multiplikation von Termen Multiplikation von Termen Wie multipliziert man mit Termen? 7y 5z 2x = 7 y 5 z 2 x = 70 y z x = 70xyz Welches Rechengesetz wird hier verwendet? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 66 / 82
67 Übungen Terme Multiplizieren Übung Buch Seite 47 Übung , a, b, c, d v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 67 / 82
68 Übungen Terme Multiplizieren Lösung a: 128x 8 b: 3 40 x 4 y 2 c: 49 4 x 3 y 4 d: 83 4 x 2 y 2 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 68 / 82
69 Welche Termarten gibt es? Definition (Monome) Monome sind eingliedrige Terme. z.b: 4x, 3 4 x 2, 5b 2 a 2 Definition (Binome) Binome sind zweigliedrige Terme. z.b: 9x + 13, 8y 12y, y + 5r Definition (Polynome) Binome sind mehrgliedrige Terme. z.b: 5x + 14y 2 + a + 5b v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 69 / 82
70 Multiplikation von Binomen (a + b)(c + d) =? Tipp: Wende das Distributivgesetz an! (2 Mal!) v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 70 / 82
71 Multiplikation von Binomen v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 71 / 82
72 1. Binomische Formel (a + b) 2 =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 72 / 82
73 1. Binomische Formel (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Also gilt: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Beispiel: (2x + 5y) 2 = (4x xy + 25y 2 ) v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 73 / 82
74 2. Binomische Formel (a b) 2 =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 74 / 82
75 2. Binomische Formel (a b) 2 = (a b)(a b) = aa ab ba + bb = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 Also gilt: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Beispiel: (2x 5y) 2 = (4x 2 20xy + 25y 2 ) v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 75 / 82
76 3. Binomische Formel (a + b)(a b) =? v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 76 / 82
77 3. Binomische Formel (a + b)(a b) = = aa ab + ba bb = a 2 ab + ab b 2 = a 2 b 2 Also gilt: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Beispiel: (2x + 5y)(2x 5y) = (4x 2 25y 2 ) v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 77 / 82
78 Zusammenfassung der drei binomischen Formeln Alle drei Formeln im Überblick 1. Binomische Formel: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Binomische Formel: (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. Binomische Formel: (a + b)(a b) = a 2 b 2 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 78 / 82
79 Zusammenfassung der drei binomischen Formeln Übung Buch Seite 49 Übung a, b, c und j v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 79 / 82
80 1. Binomische Formel grafisch (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 80 / 82
81 2. Binomische Formel grafisch (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 v 7 Mag. Rainer Sickinger Mathematik W2 81 / 82
82 (a + b)(a b) = a2 b 2
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