Bruchrechnen. 2.1 Teilbarkeit von Zahlen. Die Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen.

Transkript

1 ruchrechnen Teilbarkeit von Zahlen Die Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung einer natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) mehrerer Zahlen ist die kleinste Zahl, in der alle diese Zahlen als Teiler enthalten sind. Z kgv(12, 18) = 36, da 36 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 12 als auch durch 18 ohne Rest teilbar ist. Der größte gemeinsame Teiler (ggt) mehrerer Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen ohne Rest teilt. Z ggt(12, 18) = 6, da 6 die größte Zahl ist, die sowohl 12 als auch 18 ohne Rest teilt. Z2.1 estimme den ggt und das kgv der Zahlen 16, 36 und = = = Wir teilen jede Zahl so oft wie möglich durch die kleinste Primzahl 2, dann durch die nächstgrößere Primzahl 3 usw. Wir erhalten schließlich jede der Zahlen als Produkt von Primzahlen. ggt(16, 36, 52) = 2 2 = kgv(16, 36, 52) = = Jene Primfaktoren, die in allen Zerlegungen vorkommen, werden miteinander multipliziert. Alle vorkommenden Primfaktoren werden miteinander multipliziert, mehrfach vorkommende Faktoren jeweils mit ihrer größten Anzahl. Z2.2 Zerlege in Primfaktoren. a) b) 68 c) 225 d) 788 e) 1 02 Z2.3 Ermittle den größten gemeinsamen Teiler der gegebenen Zahlen. a) 8, b) 6, 15 c) 37, 3 d) 8, 60 e) 185, 225 Aufgaben Z2. Z2.5: Ermittle jeweils das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen. Z2. a) 6, b) 13, 23 c) 12, 16 d) 0, 60 e) 36, 8 Z2.5 a) 8,, 12 b) 1, 16, c), 1, 121 d) 70, 0, 1 e) 1, 228, 300 Aufgaben Z2.6 Z2.7: Ermittle jeweils den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen. Z2.6 a) 18, 28 b) 2, 112 c) 72, 99, 176 d), 6, 9 e) 35, 5, 75 Z2.7 a), 8,, 15 b) 28, 36, 2, 8 c) 96, 1, d) 90, 80, e) 5, 225, 265, 285 7

2 ruchrechnen 2.2 Erweitern und Kürzen von rüchen _ a b = _ a n b n Ein ruch wird erweitert, indem der Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl ( 0) multipliziert werden. Der Wert des ruchs ändert sich dabei nicht. Z2.8 Gib den Erweiterungsfaktor an und ermittle die fehlende Zahl. 8_ 5 =? 15 8_ 5 =? _ = _ = Im Nenner muss 5 mit 3 multipliziert werden, um 15 zu erhalten. Der Erweiterungsfaktor ist also 3. Der Zähler 8 wird ebenfalls mit 3 multipliziert und wir erhalten den Zähler 2. _ a b = _ a : n b : n Ein ruch wird gekürzt, indem der Zähler und der Nenner durch die gleiche Zahl ( 0) dividiert werden. Der Wert des ruchs ändert sich dabei nicht. Kürzen ist nur möglich, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler bzw. gemeinsame Faktoren enthalten. Z2.9 Kürze 5 so weit wie möglich. 75 : 5 : = 9 15 = _ 3 : 5 : und 75 können entweder gleich durch 15 gekürzt werden oder nacheinander durch 5 und durch 3 (in beliebiger Reihenfolge). Z2. Gib den Erweiterungsfaktor an und ermittle die fehlende Zahl. a) 3 =? 15 d) _ 8 5 5? g) 1 12 =? 8 j) 3 25 =? 0 m) 1 3 = 2? b) 3 _ 7 = 18? e) _ 3 2 h) 7 11 =? 121 k) 5 2 = 75? n) _ 7 9? c) 5 _ 9 =? 189 f) 7_ = _ 133? i) 1 17 =? 289 l) 3 13 =? 650 o) _ 3 3 = 90 5 Z2.11 Erweitere auf 1) Hundertstel, 2) Tausendstel. a) 3 c) 7_ 2 e) _ 5 3 g) b) 11 d) 1_ f) 7 h) Z2.12 Erweitere auf den kleinsten gemeinsamen Nenner, dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner. a) 3, 1_, _ 6 5 c) _ 6 5 _ 8 3, 1 12 e) 3_, 3 1, 5 21 g) 51_, 1 15, 1 25 i) 3 25, _ , _ b) 5 _ 2, _ 3, 56_ d) 5_, 3, 2 15 f) 5 12, 15, 18 h) 11, 3, _ 3 2 j) 5 21, 5 63, 5 8? 8

3 ruchrechnen Aufgaben Z2.13 Z2.1: Kürze den gegebenen ruch und gib die Zahl an, durch die du kürzt. Z2.13 a) _ 6 c) 28 5 e) _ g) _ 192 i) _ b) 2 d) 8 f) 26 h) _ 50 j) Z2.1 a) 91 b) _ 165 c) _ 187 d) _ 3 e) _ Aufgaben Z2.15 Z2.16: Kürze vor dem Ausmultiplizieren so weit wie möglich. Z2.15 a) c) e) g) i) b) d) f) 2 2 h) j) Z2.16 a) _ b) c) d) e) _ Aufgaben Z2.17 Z2.: Schreibe die Dezimalzahlen als rüche an und kürze anschließend. Z2.17 a) 0,0 b) 1, a) 0,0 = _ 0 = 1 25 b) 1, = 1 = 5 7_ Z2.18 a) 0,5 b) 0,02 c) 0,06 d) 0,005 e) 0,8 Z2.19 a) 0,015 b) 0,25 c) 0,175 d) 0,02 e) 0,003 6 Z2. a) 1,2 b),5 c) 7,2 d) 6,25 e),8 Aufgaben Z2.21 Z2.23: Erweitere jeweils den gegebenen ruch so, dass der Nenner eine möglichst kleine dekadische Einheit ist und gib anschließend als Dezimalzahl an. Z2.21 a) 1 b) 7_ a) 1 = _ 5 0 = 0,05 b) 87_ = = = 0,875 Z2.22 a) 1_ 5 c) _ 3 e) 1 50 g) 11 i) b) 3 0 d) _ 8 5 f) h) j) 3 Z2.23 a) 3 _ 2 c) 17 5 e) _ g) i) _ 317 b) 9 _ d) 21 f) _ h) 9 0 j)

4 ruchrechnen 2.3 Addieren und Subtrahieren von rüchen eim Addieren und Subtrahieren von rüchen ist zu unterscheiden, ob die rüche gleichnamig oder ungleichnamig sind. Zwei rüche sind gleichnamig, wenn ihre Nenner gleich sind, sonst sind sie ungleichnamig. Gleichnamige rüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem a_ n + b_ n c_ n = _ a + b c n die Zähler addiert bzw. subtrahiert werden und der gemeinsame Nenner unverändert bleibt. Z2.2 Addiere bzw. subtrahiere die rüche. 9_ _ 9 _ _ = = 1 7 = 1 = 2 Wir addieren bzw. subtrahieren die Zähler und lassen den Nenner unverändert, anschließend vereinfachen wir das Ergebnis durch Kürzen. Ungleichnamige rüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem sie zuerst auf gleichnamige rüche erweitert werden. Als gemeinsamer Nenner wird meistens das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner verwendet. Z2.25 Addiere bzw. subtrahiere die rüche. a) _ _ 3 b) _ a) _ 3 5 = Das kgv von 2,, 5 und ist. = = 3 b) Zerlegung: Erweiterungsfaktoren: Ist der kleinste gemeinsame 12 = = 2 Nenner nicht sofort ersichtlich, 9 = = 56 ermitteln wir das kgv und die 8 = = 63 Erweiterungsfaktoren mithilfe 1 = = 36 der Primfaktorzerlegung. kgv(12, 9, 8, 1) = = _ = = _ _ = = _ 2 50 _ _ _ = _ Durch Erweitern werden die einzelnen rüche gleichnamig gemacht und anschließend addiert bzw. subtrahiert.

5 ruchrechnen Aufgaben Z2.26 Z2.35: erechne die Ergebnisse. Z2.26 a) 7_ 2 + _ _ b) c) d) Z2.27 a) b) c) _ d) Z2.28 a) 3 _ 8 ( 5 _ ) b) 1 13 ( ) c) 11 _ 5 ( 8_ 7_ ) d) ( ) + 11 Z2.29 a) 5 _ + 21_ b) 55 _ 8 31_ 8 c) (6 1_ 23 _ ) 5 _ d) 1_ 9 (2 1_ _ 9 ) Z2.30 a) 1_ 2 + 1_ + 6 1_ b) _ 9 1_ c) 3 5 1_ + _ 3 d) 5 12 _ 6 5 Z2.31 a) b) _ + 37 c) _ d) _ Z2.32 a) 3 ( 5 _ 2 5 _ ) b) 61 ( ) 19 c) ( 323 _ 6 ( Z2.33 a) 9 1 ( 7_ _ ) b) 11 7_ ( ) c) 2 Z2.3 a) 9 _ 6 (( 7_ _ ) + 5 _ ( 3 _ 3 27 (( )) ) ) )) + 8 b) 1 2 ( 5 6 ( ) ( Z2.35 a) 0 1_ 3 801_ 2 b) 50 5 ( 5 _ + 03 _ 2 ) c) 0 1_ 3 (30 _ ) )) Multiplizieren von rüchen _ a b _ c = _ a c d b d b, d 0 rüche werden multipliziert, indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden. Ganze Zahlen können als rüche mit Nenner 1 angeschrieben und dann wie angegeben multipliziert werden. Z2.36 Führe die Multiplikation durch. a) 3 _ b) 3 ( 5 _ 7 ) 3 _ 8 a) 3 _ = _ _ 1 5 = _ = b) 3 ( 5 _ 7 ) _ 3 8 = _ 1 3 _ 7 5 _ 8 3 = = 5 56 Überlege vor dem Ausrechnen, welches Vorzeichen das Ergebnis hat. 11

6 ruchrechnen Z2.37 Multipliziere die rüche. 7 _ 3 _ _ 3 _ = _ = _ = Vor dem Ausmultiplizieren wird, wenn möglich, durch Kürzen vereinfacht. Z2.38 erechne das Ergebnis. ( 3 _ + 6 1_ ) 8 ( 3 _ + 6 1_ ) 8 = ( ) 8 = = _ = _ = _ = Aufgaben Z2.39 Z2.0: Führe die Multiplikationen aus. Z2.39 a) 3 _ 5 b) 1_ 8 c) 9 11 ( 5) d) 7 ( 1) e) f) Z2.0 a) 2 1_ 7 1 b) 67_ 8 3 c) d) 3 ( 18) 1 5 e) f) 132 ( _ ) Aufgaben Z2.1 Z2.2: Multipliziere die rüche. Z2.1 a) 7 _ 8 3 b) _ 8 9 c) 67_ ( 9 _ 7 ) d) 88 7 _ 128 e) 38 1 ( ) Z2.2 a) 3 _ 8 6 7_ 5 b) _ c) 15 1 ( 9 ) 8_ 3 d) e) ( 6 5 ) 27 Aufgaben Z2.3 Z2.6: erechne zuerst die Summen und Differenzen in den Klammern und führe anschließend die Multiplikation durch. Z2.3 a) ( 3 2 1_ ) 5 c) ( _ 3 _ 5 ) 3 e) ( ) b) ( ) 3 d) 3 1 ( 5 _ 7 21 ) f) 5 13 ( 7 12 _ 5 Z2. a) ( 7_ 3 15 ) 7_ 5 c) ( _ 6 5 ) 35 8 e) ( 8 21 _ ) 8 11 b) 27 5 ( 9 _ 11 5 ) d) 11 3 ( ) f) ( _ _ ) Z2.5 a) 1_ 2 ( 3 _ 3 ) b) _ ( 3 _ 5 1 ) c) 3 _ 8 5 _ + 3 ( _ ) Z2.6 a) [ 7 5 _ 8 3 ( 8_ 3 )] 16 5 b) 2 [ ( _ 9 )] 36 c) _ 62 3 [( 7 3 ) _ 8 3 ) ] 2 12

7 ruchrechnen 2.5 Dividieren von rüchen Wir dividieren durch einen ruch, indem wir mit dem Kehrwert a_ b : c_ d = a_ b d_ b, c, d 0 des ruchs multiplizieren. Den Kehrwert erhalten wir, indem wir c Zähler und Nenner des ruchs miteinander vertauschen. _ a b _ c = _ a : _ c Ein Doppelbruch wird aufgelöst, indem anstelle des b d Hauptbruchstrichs ein Divisionszeichen geschrieben wird. d Z2.7 erechne. a) _ 5 : b) 5 : 3 _ c) 5 3 7_ a) 5 : = 5 : 1 _ = 5 1_ = _ 1 b) 5 : 3 _ = 5 _ 3 = 3 c) 5 3 7_ = _ 5 3 : 7_ = _ _ = Z2.8 Dividiere den ruch durch die Zahl. a) 5 _ : 2 b) 6_ 7 : 3 c) 1 9 : ( 7) d) 61_ : ( 12) e) ( ) : f) 2 13 : 12 Z2.9 Dividiere die rüche. a) 7_ 2 : 5 8_ b) 7 : 5 6_ c) 76_ : ( 8_ 5 ) d) 5 1 : 8 e) : ( 16 9 ) f) : 18 Z2.50 erechne. a) 2 1_ 1_ b) 11 3 c) _ d) 5 9 3_ 8 e) 6 3 8_ f) _ _ 5 Z2.51 erechne. a) 1 1_ 3 _ b) _ 5 c) _ 1_ 2 2 d) 3 5 _ e) 3 f) _ 5 Aufgaben Z2.52 Z2.56: erechne und gib die Ergebnisse als möglichst einfache rüche an. Z2.52 a) ( 1_ 3 _ 5 ) : b) ( 5 _ 3 + ) : 5 c) ( 6_ 5 7_ ) : 2 15 d) 9 16 : ( 7_ ) Z2.53 a) ( 7_ ) : 21 b) 57 8 : ( ) c) ( ) : 19 7 d) 2 : ( 5 _ 3 5 _ ) Z2.5 a) 11 3 : ( ) b) 21_ + _ 3 : ( 7_ 5 _ 8 3 ) c) 5 _ 8 5 : ( 3 _ _ 5 3 ) Z2.55 a) : _ 8 5 b) : c) 35 8 : _ : 5 67 Z2.56 a) 61 3 : 7_ ( 79 5 _ ) : ( ) b) ( 7_ ) ( ) : ( ) 15 13