Exponentielles Wachstum und Logarithmus

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Ina Falk
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1 Eigenschaften der Exponentialfunktionen Die Funktion nennt man Exponentialfunktion mit der Basis a. Ist neben der Potenz noch ein Faktor im Funktionsterm vorhanden, spricht man von einer allgemeinen Exponentialfunktion: Der Graph der Exponentialfunktionen verläuft stets oberhalb der xachse und schneidet die yachse bei (0/1). Für a>1 steigt der Graph streng monoton, für 0<a<1 fällt er streng monoton. Gemeinsame Asymptote dieser Graphen ist die xachse. Durch Spiegelung an der y Achse geht aus der Exponentialfunktion der Graph der Exponentialfunktion hervor. Der an der xachse gespiegelte Graph der Funktion ist der Graph der allgemeinen Exponentialfunktion. Die Funktionen und sind Exponentialfunktionen. Die Funktionen allgemeine Exponentialfunktionen. und sind Seite 1 von 6

2 Logarithmieren als Umkehrung des Potenzierens Def.: Für und gilt: Der Logarithmus von b zur Basis a ist die Zahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Man schreibt diese Zahl. Um den Logarithmus zu bestimmen, muss die Gleichung gelöst werden. Für und hat sie genau eine Lösung:. Aus der Definition ergeben folgende Identitäten direkt: Zum Potenzieren gibt es zwei Umkehroperationen: Wenn in der Gleichung wird, ist das Potenzieren mit dem Kehrwert als Exponent die Umkehroperation. die Basis a gesucht Ist hingegen der Exponent r gesucht, ist das Logarithmieren die Umkehrung des Potenzierens. Rechenregeln für das Logarithmieren : Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen von Dividend und Divisor. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus der Basis. Beim Anwende ist besonders auf die Existenz der Angewendeten Logarithmen zu achten! Die Logarithmen zur Basis 10, sogenannte Zehnerlogarithmen oder dekadische Logarithmen, lassen mit der LogarithmusTaste des Taschenrechners ermitteln. Statt kann häufig auch einfach lg b geschrieben werden. Besitzen Logarithmen eine andere Basis a, ermittelt man diese mit der Umformungsregel mithilfe von Zehnerlogarithmen. Seite 2 von 6

3 Einfache Exponentialgleichungen Gleichungen, in welchen die Unbekannte nur im Exponenten auftritt, werden Exponentialgleichungen genannt. Es gibt drei Lösungsstrategien bei Exponentialgleichungen, welche häufig zum Erfolg führen: Die Lösung wird in die Form gebracht. Die Lösung ist hier. Die Gleichung lässt sich umformen, sodass auf beiden Seiten ein Produkt aus Zahlen und Potenzen ist. Das Logarithmieren der Gleichung (z.b. zur Basis 10) und Anwenden von Rechenregeln für Logarithmen führt zu einer einfacher lösbaren linearen Gleichung. Die Gleichung wird umgeformt, das auf beide Seiten eine Potenz mit gleicher Basis ist. Wenn eine Exponentialgleichung nicht nach einer Unbekannten aufgelöst werden kann, kann eine Näherungslösung z.b. durch systematisches Einsetzten ermittelt werden. Seite 3 von 6

4 Aufgaben 1) Gib für folgende Situation jeweils den zugehörigen Funktionsterm an und zeichne dessen Graphen. Eine Bakterienkultur besteht zu Beginn aus 300 Bakterien und wächst pro Stunde um 75 Bakterien an. Eine Bakterienkultur bestehend aus 750 Bakterien verdoppelt sich pro Stunde. Eine Bakterienkultur von 600 Bakterien wächst pro halbe Stunde um 550 Bakterien an. 2) Beschreibe wie die folgenden Graphen aus dem Graphen hervorgeht. d) 3) Berechne ohne Verwendung des Taschenrechners d) 4) Die Intensität von Licht in Wasser nimmt pro Meter um 8% ab Wie viel Prozent der Intensität von Licht über dem Wasser ist in einer Wassertiefe von x Metern noch vorhanden? Stell dazu den Term auf. In welcher Tiefe ist die Intensität auf ein Achtel abgesunken? Seite 4 von 6

5 Lösungen 1) 2) Der Graph G g geht aus hervor durch Stauchung um den Faktor 6 in yrichtung und Verschiebung um 4,5 in xrichtung Der Graph G h geht aus hervor durch Stauchung um den Faktor in xrichtung, Verschiebung um 3 in x Richtung und Verschiebung um 4 in y Richtung Der Graph G k geht aus hervor durch Stauchung um den Faktor in xrichtung, Verschiebung um +7 in x Richtung und Verschiebung um 7 in yrichtung Seite 5 von 6

6 d) Der Graph G l geht aus hervor durch Stauchung um den Faktor 9 in yrichtung, Verschiebung um 7 in x Richtung und Verschiebung um 6 in yrichtung 3) d) 4) Seite 6 von 6

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