B: 2 x = 7 logarithmiert zur Basis 10 nicht zu verwechseln mit lg( 7 / 2 ) = lg 7 - lg 2

Transkript

1 7. Eponentialgleichungen. Typ: Lässt sich die Eponentialgleichung auf eine Form bringen, in der keine Operationen. Stufe vorkommen, so kann man die beiden Seiten beüglich einer ulässigen Basis, B., 0 oder e logarithmieren. B: = 7 logarithmiert ur Basis 0 lg nicht u verwechseln mit lg( 7 / ) = lg 7 - lg lg Anwendung: Berechnung des Logarithmus einer Zahl u einer neuen ulässigen Basis a aus den Zehnerlogarithmen. B: log = Löse die ugehörige Eponentialgleichung 4 = 0.0 lg 0. 0 logarithmiert ur Basis 0 lg allg. log a = die ugehörige Eponentialgleichung: a = ist nach aufulösen lg ln log a lga lna Interpretation: Man erhält also die Logarithmen beüglich einer neuen Basis a, indem man die Zehnerlogarithmen mit / lg a bw. / ln a multipliiert. B: lg5 log lg Aufgabe: Wie oft muss man ein A4-Blatt Kopierpapier falten, bis die Papierschicht (theoretisch) mindestens m dick ist? Zusatinformation: Paket mit 500 Blatt Kopierpapier hat eine Höhe von 5.5 cm. (*) n lg0. n lg 3 Einheit: mm Gleichungen logarithmieren 3 lg 0. n n 4 lg Zusatfrage: Wie oft muss man falten, damit der Papiertum theoretisch grösser als die Monddistan wird? (Monddistan: m) (*) In der Prais ist dies höchstens 7 bis 8 mal möglich. Epfkt_ /ul

2 3 B: logarithmieren ur Basis 0 ln3 ln5 ( ) ln7 ln7 ln7 ordnen (ln5 ln7) (ln7 ln3). Typ: ln(3 7) 7 ln( 5) Kommen in der Eponentialgleichung Operationen. Stufe vor, so hilft hin und wieder eine Substitution. B: = 6 ja nicht logarithmieren! Substitution = mit 0 multipliieren 5 6 oder Diskriminante 6 6 4, = = 5 oder = / 5 = 5 = 0 oder - 0 B: = 0 Substitution u = 3 u -u - 3 = (u + ) (u - 3) = 0 u = - Die Gleichung 3 = - hat keine reelle Lösung! u = 3 = 3 = B: + - = 4 u = - = /u u u 4 mit u multipliieren u - 4u + = 0 D = 4 u, 3 lb( 3) lb( 3) Wegen der speiellen Form der Ausgangsgleichung ist mit auch - Lösung. Beachte 3 3 Die beiden folgenden numerischen Verfahren können unächst übergangen werden. Epfkt_ /ul

3 4 3. Typ: Viele Eponentialgleichungen sind nur mit Näherungsverfahren lösbar. B. - =. Verfahren: Fipunktverfahren Skiiere die Kurven y = - und y =. Wähle einen Startwert.B. = und k berechne schrittweise k Vergleiche dau in der Skie den spiralförmigen Streckenug um S. Schrittweise ergeben sich die folgenden - Werte: ( u gross) 0.5 (u klein) 0.7 (u gross) 0.6 (u klein) Im Schnittpunkt S stimmen die y-werte der beiden Kurven überein, d.h. es gilt - =. Die -Koordinate des Schnittpunkts liefert die Näherungslösung 0.64 Epfkt_ /ul

4 5. Verfahren: Bisektionsalgorithmus Die Lösung wird nun schrittweise durch Halbieren des Intervalls angenähert. Bringe die Gleichung auf die Form f() = - - = 0 Aus dem Graph von f ist ersichtlich, dass f im Intervall I = [0,] das Voreichen wechselt. Da sich der Graph nicht sprunghaft ändert (d.h. da f stetig ist), hat f in diesem Intervall eine Nullstelle bw. die gegebene Gleichung eine Lösung. In der Intervallmitte 0.5 ist f(0.5) 0. also positiv. Damit hat f im Intervall I = [0.5, ] einen Voreichenwechsel. In der Intervallmitte 0.75 von I ist f(0.75) negativ, also liegt die gesuchte Nullstelle im Intervall I3 = [0.5,0.75] usf. Auf diese Weise erhält man eine Folge von Intervallen, deren Länge bei jedem Schritt halbiert wird. I = [0/] I = [0.5/] I3 = [0.5/0.75] [0.65/0.75] Aus der folgende Ecel-Tabelle ergibt sich schliesslich gesuchte Nullstelle mit einer Genauigkeit von 6 Stellen u Der Vorteil dieses einfachen Verfahrens (Bisektionsverfahren) liegt darin, dass ausser der Stetigkeit vonf keine weiteren Voraussetungen erfüllt sein müssen. Der Nachteil besteht darin, dass sich die Genauigkeit nur langsam verbessert. Da 0 = werden etwa 0 Schritte gebraucht, um drei weitere Deimalen u ermitteln. Epfkt_ /ul

5 6 n a b f(a) f(b) m f(m) untere Grene obere Grene positiv negativ Mitte E E E E E E E E E E E-07 allg. Algorithmus ur Lösung einer Gleichung f() = 0 Voraussetung: Die Funktion f sei im Intervall [a,b] stetig und es sei f(a) f(b) < 0 d.h. d.h. f hat an den Intervallgrenen verschiedenes Voreichen. Nach dem Zwischenwertsat hat dann f mindestens eine Nullstelle im Intervallinnern, d.h. der Graph von f schneidet mindestens einmal die -Achse. o.b. d.a. sei f(a) < 0 (andernfalls kann man die Gleichung mit (-) multipliieren). Bisektionsalgorithmus (nach Gander: Numerische Verfahren): := (a + b)/ bestimme die Intervallmitte (*) while (b - a) > do tue solange die gewünschte Genauigkeit nicht begin erreicht ist das folgende: if f() > 0 then b := a else a := Wahl des nächsten Intervalls := (a + b)/ neue Intervallmitte end (*) Verbesserte Abbruchbedingung: while (a < ) and ( < b) Epfkt_ /ul