GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses

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1 GMFH - Gesellschaft für Mathematik an Schweizer Fachhochschulen SMHES - Société pour les Mathématiques dans les Hautes Ecoles Spécialisées suisses Mathematik-Referenzaufgaben zum Rahmenlehrplan für die Berufsmaturität (RLP-BM 01) Grundsatzfrage 8 - elementare Potenz- und Wurzelgleichungen lösen (auch ohne Hilfsmittel). - elementare Eponential- und Logarithmusgleichungen lösen (auch ohne Hilfsmittel). - elementare Betragsgleichungen lösen (auch ohne Hilfsmittel). Hannes Böhi (HSR Rapperswil)

2 Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Ep- und Log-gleichungen (Hannes Böhi) Seite 1 von 6 Aufgabe 1 (Lösen von Gleichungen durch Potenzieren bzw. Logarithmieren: Gegenüberstellung) Lösen Sie jede der folgenden Gleichungen nach auf: a) 5 b) 5 c) log ( ) 5 d) log () 5 a) 5 Beide Seiten der Gleichung potenzieren mit b) 5 Logarithmieren mit ln oder log ( = log 10) oder log oder Logarithgmus mit irgendeiner Basis b 0 und b 1 ln() ln(5) ln(5) ln() log() log(5) log(5) log() log (5) ln(5) log(5) log b(5) ln() log() log () b c) log ( ) 5 5 d) log ()

3 Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Ep- und Log-gleichungen (Hannes Böhi) Seite von 6 Aufgabe (Wurzelgleichung) Lösen Sie nach auf: ( 4) 5 8 ( 4) 5 8 9( 4) 5( 8 ) 4 0 Die Zusatzbedingung 4 0 ergibt sich aus der ersten Gleichung, weil dort die rechte Seite 0 ist. Aus der zweiten Gleichung erhält man nun wieder die erste, indem man auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Wurzel zieht. Auf der linken Seite erhält man dann nur falls 40 9( 4) 9 ( 4) 4 ( 4) Um von der zweiten Gleichung wieder auf die erste zu kommen, ist also die Zusatzbedingung 4 0 unerlässlich. 9( 8 16) ( 9)( 1) 0 4 9;1 4 1 Aufgabe (Logarithmische Gleichung) Berechnen Sie aus 7 7 Ist ein Eponent ein Ausdruck in der Unbekannten, sollte nach Möglichkeit logarithmiert werden. ln 7 ln () ( ) ln (7) ln () ln () ln () 0 ln () ln (16)

4 Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Ep- und Log-gleichungen (Hannes Böhi) Seite von 6 Aufgabe 4 (Eponentialgleichung) Berechnen Sie aus 6 11 Stelle dabei allein mit Hilfe der Logarithmusfunktion ln dar Ist ein Eponent ein Ausdruck in der Unbekannten, sollte nach Möglichkeit logarithmiert werden. 6 ln() ln(11) Logarithmieren 6 ln ln ln() ln ln(11) Logarithmieren hilft hier nicht weiter! 6 ln ln(11) ln ln() Logarithmieren ln(6) ln ln ln(11) ln ln() ln ln ln ln(11) ln ln() ln ln 6 ln ln ln ln(11) ln ln() Logarithmieren ln(6) Selbstverständlich gibt es verschiedene svarianten. So könnte man etwa die zweite Gleichung zuerst durch ln() teilen: 6 ln() ln(11) 6 ln(11) ln() Logarithmieren 6 ln ln(11) ln() ln(11) ln ln() ln(11) ln ln() ln 6 Logarithmieren ln(6) ln ln(11) ln ln() ln(6) Der Nachteil bei dieser Darstellung sind allenfalls die vielen Bruchstriche. Weiterer sweg: log (11) 6 log log (11) ln(11) ln ln() ln log6loglog (11) ln(6)

5 Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Ep- und Log-gleichungen (Hannes Böhi) Seite 4 von 6 Aufgabe 5 (Eponentialgleichung) Berechnen Sie aus Beachte: 9 ( ) ( ) ( ) 7 0 quadratische Gleichung für ln() 1 Logarithmieren ln() 1 1 Aufgabe 6 (Eponentialgleichung) Berechnen Sie aus Multiplikation mit ( ) 1 quadratische Gleichung für ( ) Vorbemerkung zu den Aufgaben 7 und 8 Für reelle Zahlen a gilt: a, falls a 0 a a Abstand der Zahl a vom Ursprung a, falls a 0 Aufgabe 7 Vereinfachen Sie: 0, nur falls 0, falls 0

6 Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Ep- und Log-gleichungen (Hannes Böhi) Seite 5 von 6 Aufgabe 8 (Betrags-Gleichungen und Betrags-Ungleichungen) a) Berechnen Sie alle Zahlen, welche die folgende Gleichung erfüllen: Es gibt Zahlen, die den Betrag 5 und somit von 0 den Abstand 5 haben, nämlich 5 und ist somit um 5 grösser oder um 5 kleiner als, d.h. hat von den Abstand 5. 8 Dies ist eine erste Darstellung der en 8 und. ; 8 Eine weitere Möglichkeit: Zusammenfassung der beiden en 8 und in einer Menge (smenge) Abstand 5 Abstand 5 8 b) Berechnen Sie alle Zahlen, welche die folgende Ungleichung erfüllen: 7 Geben Sie die smenge mit Hilfe von einem oder mehreren Intervallen an. Betragsstriche können immer entweder weggelassen oder durch Klammern mit Faktor ( 1) vor der ersten Klammer ersetzt werden, je nachdem die Zahl zwischen den Betragsstrichen positiv oder negativ ist. In diesem Fall gilt, falls 0 ( ), falls 0 0 wäre hier auch richtig Aus diesem Grund unterscheiden wir zwei Fälle: 1. Fall: Für die gesuchte Zahl gelte 0 und somit, d.h. wir suchen zuerst im Intervall ; nach Zahlen, welche die gegebene Ungleichung erfüllen: ; oder anders geschrieben: ;. Fall: Für die gesuchte Zahl gelte 0 und somit, d.h. wir suchen jetzt im Intervall ; nach Zahlen, welche die gegebene Ungleichung erfüllen:

7 Grundsatzfrage 8: Potenz-, Wurzel-, Ep- und Log-gleichungen (Hannes Böhi) Seite 6 von () ; Schlussresultat: 5; ;, d.h. 5; Der sweg und das Resultat lassen sich noch optisch veranschaulichen: y y 7 y 5 0 y y