Vorkurs: Mathematik für Informatiker

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1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 1 Wintersemester 2016/17

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

3 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Mengen Zahlenbereiche Rechnen mit Brüchen Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Rechengesetze Teil 2 Intervalle Grundlegende Rechengesetze Binomische Formeln Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Das Summenzeichen 3 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

4 Inhaltsverzeichnis Teil 3 Polynome Gleichungen & Gleichungssysteme Logische Verknüpfungen, Quantoren & Bedingungen Beweistechniken Teil 4 Vektoren Geraden Ebenen Wiederholungen 4 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

5 Kapitel I: Mengen 5 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

6 Kapitel I: Mengen Definition Eine Menge ist eine ungeordnete Ansammlung von Elementen: Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. Jedes Element ist genau einmal enthalten. Dürfen die Elemente mehrfach vorkommen, so spricht man von einer Multimenge. Enthält die Menge keine Elemente, so nennt man sie die leere Menge und bezeichnet sie mit. 6 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

7 Kapitel I: Mengen Endliche & unendliche Mengen I Enthält die Menge eine endliche Anzahl an Elementen, so spricht man von einer endlichen Menge. Analog: Enthält die Menge eine unendliche Anzahl an Elementen, so spricht man von einer unendlichen Menge. 7 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

8 Kapitel I: Mengen Endliche & unendliche Mengen II Beispiele für endliche Mengen: { } A = 1, 2, 3, 4 { } B = a, b, c { C = x N } 23 x 42 Beispiele für unendliche Mengen: { } D = 1, 2, 3,... { E = x Z } x ist gerade 8 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

9 Kapitel I: Mengen Elemente einer Menge Ist das Element a in der Menge A enthalten, so schreibt man: a A. Ist das Element a nicht in der Menge A enthalten, so schreibt man: a A. 9 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

10 Kapitel I: Mengen Mächtigkeit einer Menge Unter der Mächtigkeit M einer (endlichen) Menge M versteht man die Anzahl der in M enthaltenen Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge wird auch als Kardinalität bezeichnet. Für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge schreibt man häufig. Beispiele: { } A = 11, 13, 17, 19 A = 4 { } B =..., 4, 2, 0, 2, 4,... B = 10 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

11 Kapitel I: Mengen Vergleichen von Mengen I Mengen können miteinander verglichen werden. Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Es ist außerdem möglich, dass A und B identisch sind. Sprechweise: A ist eine Teilmenge von B. Gleichheit: A = B Die Mengen A und B sind identisch. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl A B als auch B A gilt. Sprechweise: A ist gleich B. 11 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

12 Kapitel I: Mengen Vergleichen von Mengen II strenge Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Die Mengen A und B sind jedoch nicht identisch. Jedes Element a A ist folglich in B enthalten, es gibt jedoch mindestens ein Element b B, dass nicht in der Menge A enthalten ist. Sprechweise: A ist eine echte Teilmenge von B. Trifft keine der genannten Eigenschaften zu, so sind die Mengen unvergleichbar. 12 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

13 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen I Vereinigung: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder in der Menge A, in der Menge B oder in beiden Mengen vorkommen: A B = {x } x A oder x B. Die Vereinigungsmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 oder x A 2 oder... oder x A n }. 13 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

14 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen II Schnitt: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen: { A B = x } x A und x B. Die Schnittmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 und x A 2 und... und x A n }. 14 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

15 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen III Exklusion: A \ B In der Menge A \ B sind alle Elemente enthalten, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B vorkommen: A \ B = {x } x A und x / B. Symmetrische Differenz: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder nur in der Menge A oder nur in der Menge B vorkommen: ( ) ( ) A B = A \ B B \ A. 15 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

16 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen IV Potenzmenge: P(A) Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen der Menge A. Enthält die Menge A insgesamt A = n Elemente, so enthält die Potenzmenge P(A) insgesamt P(A) = 2 n Elemente. 16 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

17 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen V Beispiel: Es seien die Mengen A = { 1, 2, 3 } und B = { 2, 3, 4 } gegeben. Dann gilt: { } A B = 1, 2, 3, 4 { } A B = 2, 3 { } A \ B = 1 { } A B = 1, 4 P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 }} 17 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

18 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen VI Es seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B = (a, b) } a A und b B. Es seien A, B und C drei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B C = (a, b, c) } a A, b B und c C. Analog definiert man das kartesische Produkt für eine beliebige Anzahl von Mengen M 1,..., M n : M 1... M n = {(m 1,..., m n ) } m 1 M 1,..., m n M n. 18 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

19 Kapitel I: Mengen Aufgaben Aufgabe I-1 Es seien die folgenden Mengen A = {5, 7, 9}, B = {5, 6, 7} und C = {1, 3, 5, 7, 9} gegeben. Bestimme: a) A B, A C, C \ A sowie A B b) A B C c) P(B) d) A B Aufgabe I-2 Bestimme die Mengen P( ) sowie P(P( ))! 19 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

20 Kapitel II: Zahlenbereiche 20 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

21 Kapitel II: Zahlenbereiche Natürliche Zahlen Man definiert die Menge { 1, 2, 3,... } als die Menge der natürlichen Zahlen und bezeichnet diese mit N. Achtung: Je nach Lehrbuch/Dozent wird die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt oder nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Fragt deshalb am besten noch einmal nach. 21 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

22 Kapitel II: Zahlenbereiche Ganze Zahlen I Ausgehend von den bereits definierten natürlichen Zahlen N definiert man die Menge der ganzen Zahlen und bezeichnet diese mit Z: Für jede natürliche Zahl n N fügt man der Menge Z sowohl n als auch n hinzu. Außerdem fügt man der Menge Z die Zahl 0 hinzu. Es ergibt sich die folgende Menge Z: { } Z =..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

23 Kapitel II: Zahlenbereiche Ganze Zahlen II Frage: Gibt es mehr natürliche oder mehr ganze Zahlen? 23 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

24 Kapitel II: Zahlenbereiche Rationale Zahlen Den nächsten Zahlenbereich bilden die mit Q bezeichneten rationalen Zahlen. Diese sind wie folgt definiert: { m } Q = m, n Z mit n 0. n Die rationalen Zahlen stellen folglich die Menge aller Brüche dar, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. 24 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

25 Kapitel II: Zahlenbereiche Reelle Zahlen Es gibt (unendlich viele) Zahlen, die nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten sind. Um diese beschreiben zu können, werden die mit R bezeichneten reellen Zahlen eingeführt. Diese können als Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulicht werden. Wie diese genau definiert sind, wollen wir an dieser Stelle nicht besprechen. Beispiele: alle natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen die Kreiszahl π viele Wurzeln wie 2, 3, 5 oder c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

26 Kapitel II: Zahlenbereiche Irrationale Zahlen Reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind (z.b. 2, π oder e), werden irrationale Zahlen genannt und können mit R\Q bezeichnet werden. Einen Beweis, dass 2 eine irrationale Zahl ist, werden wir uns später im Kapitel über Beweistechniken näher ansehen. 26 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

27 Kapitel II: Zahlenbereiche Komplexe Zahlen Viele technische oder physikalische Vorgänge können im Bereich der reellen Zahlen R nicht beschrieben werden. Um dies dennoch zu ermöglichen, wurden die komplexen Zahlen C eingeführt. Diese definieren u.a. die Konstante i, die der folgenden Eigenschaft genügt: i 2 = 1. Damit ist es möglich, physikalische/technische Systeme mit mathematischen Mitteln exakt zu beschreiben. Komplexe Zahlen werden im Laufe des Studiums behandelt. 27 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

28 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen 28 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

29 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Kürzen I Im Folgenden seien a, b, c Z und es gelte c 0. Es ist möglich, gemeinsame Faktoren (ungleich 0), die sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs vorkommen, zu kürzen. Allgemein gilt: c a c b = a (für c 0). b Beispiele: = = a 2 b ab 2 = ab a ab b = 1 2 = 2 3 = a b 29 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

30 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Kürzen II Es dürfen ausschließlich gemeinsame Faktoren gekürzt werden, jedoch nicht Differenzen oder Summen. Diese müssen, sofern möglich, vor dem Kürzen in ein Produkt überführt werden. Beispiele: Merke: ac + 2bc cd ce c (a + 2b) = c (d e) = a + 2b d e a 2 + 2ab + b 2 (a + b)(a + b) (a + b) a 2 b 2 = = (a + b)(a b) (a b) Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen. 30 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

31 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Kürzen III Kürzen von 0 führt zu interessanten (und falschen!) Ergebnissen, wie das folgende Beispiel zeigt: = = = (10 10) = ( ) (10 10) 10 (10 10) = = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

32 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Erweitern Im Folgenden seien a, b, c Z und es gelte c 0. Es ist möglich, den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit demselben Faktor ungleich 0 zu multiplizieren ( den Bruch zu erweitern ), ohne den Wert des Bruchs zu verändern. Allgemein gilt: Beispiele: a 2 b a b = c a c b = = = ab2 a 2 ab 2 b (für c 0). = 2 6 = = a3 b 2 ab 3 32 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

33 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Addition & Subtraktion I Im Folgenden seien a, b, c, d Z und es gelte c 0 sowie d 0. Es können 2 mögliche Fälle auftreten: Fall 1: gleiche Nenner Die beiden Brüche haben denselben Nenner; es gilt: a c + b c = a + b c a c b c = a b c 33 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

34 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Addition & Subtraktion II Fall 2: verschiedene Nenner Die beiden Brüche haben nicht denselben Nenner, sie müssen vor der Addition/Subtraktion gleichnamig gemacht werden ( auf denselben Nenner gebracht werden ). Es gilt: a b + c d = ad bd + bc bd a b c d = ad bd bc bd = ad + bc bd = ad bc bd Oft wird beim gleichnamig machen das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv ) der Nenner als gemeinsamer Nenner verwendet; selbstverständlich kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache verwendet werden. 34 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

35 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Multiplikation Im Folgenden seien a, b, c, d Z und es gelte b 0 sowie d 0. Beim Multiplizieren zweier Brüche werden sowohl die Zähler als auch die Nenner der beiden Brüche miteinander multipliziert. Es gilt: a b c d = a c b d. 35 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

36 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Division Im Folgenden seien a, b, c, d Z und es gelte b 0, c 0 und d 0. Die Division von Brüchen wird auf die Multiplikation von Brüchen zurückgeführt. Hierzu wird der erste Bruch (der Divident) mit dem Umkehrwert (dem Reziproken) des zweiten Bruchs (dem Divisor) multipliziert. Es folgt a b : c d = a b d c = a d b c. 36 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

37 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Aufgaben Aufgabe III-1 Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse in vollständig gekürzter Form an! a) b) c) d) ( 6 7 : 12 ) c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

38 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Aufgaben Aufgabe III-2 Gib die folgenden Ausdrücke in vollständig gekürzter Form an. a) 3x 5 2x 3 b) a 5 4a 4 c) (ab) 2 ( 6ab) 2 d) 10x 2 y 3 ( 2xy) 2 e) ( ab) 4 ab 4 f) a 3 b 7 (ab) 7 g) x 2 (ty) 3 xt 3 y h) a 3 (b 2 c) 5 (a 3 c) 2 38 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

39 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Aufgaben Aufgabe III-3 Vereinfache die folgenden Ausdrücke. Gib die Ergebnisse, sofern möglich, in vollständig gekürzter Form an! 3 a) 2a 2 4ab ab x b) x 2 xy y x 2 + xy x x 2 y 2 c) a 3b 5a a 2 1 a 2 6ab + 9b 2 d) 2x 3 5x : 4x x 2 39 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

40 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen 40 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

41 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Potenzen I Ist a R (eine reelle Zahl) und n N (eine natürliche Zahl), so definiert man die n-te Potenz von a wie folgt: a n = a a... a }{{} n Faktoren a n = 1 a n Ferner definiert man: a 0 = 1. Durch diese Definition ist ebenfalls der Fall abgedeckt, dass n Z gilt dass n also eine ganze Zahl ist. 41 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

42 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Potenzen II Wie zuvor sei a eine reelle Zahl und r = p q sei eine rationale Zahl. q Ohne Beweis setzen wir voraus, dass die q-te Wurzel a von a existiert. Dann definiert man: ( ) a r = a p q = q p. a 42 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

43 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Potenzen I Potenzen finden immer dann Anwendung, wenn ein exponentielles Wachstum beschrieben werden soll; bekannte Beispiele aus der Schule sind der Zinseszins oder Zerfallsprozesse. Aufgabe: Bei der Geburt ihres Kindes legen die Eltern einen Betrag von Euro auf einem Konto an. Der jährliche Zinssatz beträgt 3,5%. Wie viel Geld befindet sich nach einem, nach zwei bzw. nach 18 Jahren auf dem Konto? 43 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

44 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Potenzen II Lösung: Es gilt, dass das Guthaben auf dem Konto jedes Jahr um 3,5% wächst. Der Betrag auf dem Konto wächst also jedes Jahr um den Faktor 1,035. Nach n Jahren hat sich der Betrag wie folgt verändert: Betrag = Euro 1, 035 n Es folgt: n Betrag in Euro , , , , c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

45 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-1 Berechne die folgenden Potenzen. (Ohne Taschenrechner!) a) 3 3 b) ( 7) 2 c) ( 5) 3 d) 2 4 e) ( 3 2) 2 f) (5 3) 2 45 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

46 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Wurzeln Es sei a eine positive reelle Zahl oder 0. Unter der n-ten Wurzel von a versteht man den (positiven) Wert n a, für den die folgende Eigenschaft gilt: ( n a ) n = a. Gibt es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung, so ist die Wurzel stets die positive Lösung. Häufig wird die Quadratwurzel verwendet. Anstelle von 2 a schreibt man typischerweise nur a. Beispiele: 2, 4, 3 8, 5 π 46 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

47 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-2 Vereinfache so weit wie möglich: a) 7 x 6 y + 3 x 4 y 11 b) c) 0, 1 0, 121 d) (a b)(a + b) 47 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

48 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen I Die Anwendung des Logarithmus, das Logarithmieren, ist eine weitere Umkehrung des Potenzierens. Mithilfe des Logarithmus lässt sich bestimmen, mit welchem Exponenten c man eine gegebene Basis a potenzieren muss, um den Wert b zu erhalten: log a b = c. Die beiden nachfolgenden Aussagen sind äquivalent: a c = b log a b = c. 48 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

49 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen II Beispiele für Logarithmen: log 2 8 = 3 log = 5 ln e 2 = 2 Typische Vertreter: binärer Logarithmus, logarithmus dualis: log 2, lb, ld natürlicher Logarithmus, logarithmus naturalis: log e, ln dekadischer Logarithmus: log c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

50 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen III Frage: Sind Potenzen und Logarithmen nur eine mathematische Spielerei oder haben sie in der Natur eine praktische Relevanz? Antwort: Nein! Es ist keine mathematische Spielerei. Sie kommen in der Natur häufig vor (z.b. als logarithmische Spiralen). 50 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

51 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen I Schnitt einer Nautilus-Schale [Quelle: Wikipedia] 51 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

52 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen II Schnitt einer Nautilus-Schale [Quelle: Wikipedia] 52 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

53 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen III Tiefdruckwirbel über Island [Quelle: Wikipedia] 53 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

54 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen IV Whirlpool-Galaxie (NGC 5194/5195) [Quelle: Wikipedia] 54 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

55 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen I Aufgabe: Ernst gewinnt in einem Preisausschreiben Euro. Er entscheidet sich, das Geld anzulegen und bekommt jährlich 4% Zinsen. Nach wie vielen Jahren hat sich sein Geld verdoppelt? 55 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

56 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen II Lösung: Es gilt, die folgende Gleichung zu lösen: , 04 n = Hieraus ergibt sich direkt: 1, 04 n = 2 n = log 1, c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

57 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Umrechnen von Logarithmen Hier stößt man sofort auf das nächste Problem: Wie berechnet man den Logarithmus zur Basis 1,04? Die Lösung ist einfach, denn jeder Logarithmus lässt sich durch einen (anderen) Logarithmus mit einer beliebigen Basis darstellen. Es gilt die folgende allgemeine Formel: log b a = log c a log c b. 57 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

58 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen III Für unser Beispiel bedeutet dies: log 1,04 2 = ln 2 ln 1, 04 = 17, Das Vermögen von Ernst wird sich also in etwa 17,67 Jahren verdoppeln. 58 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

59 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen IV Ein alternativer Lösungsweg ist der folgende: , 04 n = , 04 n = 2 ln 1, 04 n = ln 2 n ln 1, 04 = ln 2 n = ln 2 ln 1, 04 = 17, c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

60 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen V Dasselbe für einen Zinssatz von 0,15%: , 0015 n = , 0015 n = 2 ln 1, 0015 n = ln 2 n ln 1, 0015 = ln 2 n = ln 2 ln 1, 0015 = 462, c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

61 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-3 Bestimme ohne Taschenrechner: a) r = log 8 64 b) log r 125 = 3 c) log 10 r = 3 d) log 2 r = 4 Aufgabe IV-4 Bestimme ohne Taschenrechner: a) r = log b) ln e 1 = r c) r = log 2 32 log log 2 8 d) r = log c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

62 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-5 Die Halbwertszeit von Radium 88 beträgt 1600 Jahre. Wie lange dauert es, bis 10g zu 1,25g zerfallen sind? Erstelle zunächst eine entsprechende Funktionsgleichung. 62 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

63 Kapitel V: Rechengesetze 63 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

64 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Brüche a b + c d = ad + bc bd a b c ad bc = d bd a b c d = a c b d a b : c d = a b d c = a d b c a b = c a (c 0) c b 64 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

65 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Potenzen I a n a m = a m+n a n a m = an m a n b n = (a b) n a n ( a ) n b n = b (a m ) n = a m n 65 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

66 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Potenzen II 66 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

67 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Wurzeln I a b = a b a a = b b ( a ) m = a m a m 2 = a m a m 2 = 1 a m 67 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

68 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Wurzeln II n a n b = n a b n a n b = n a b ( n a ) m = n a m m n a = m n a a m n = n a m a m n = 1 n a m 68 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

69 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Wurzeln III 69 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

70 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Logarithmen log a (n m) = log a n + log a m ( n ) log a = log m a n log a m log a (n m ) = m log a n log a ( m n ) = 1 m log a n log a n = log b n log b a log a n = log a b log b n 70 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

71 Kapitel V: Rechengesetze Aufgaben Aufgabe V-1 Vereinfache die folgenden Terme: a) a 7 a 4 b) 5x 4x 6 c) ( 3z 4 ) ( 3z 5 ) d) 20x 5 ( x 3 ) x 2 Aufgabe V-2 Vereinfache die folgenden Terme: a) a 3x a 2x b) c) 3x 0 y 2 d) x 2 b x b a 2 x b 6+y a 6 x b 71 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

72 Kapitel V: Rechengesetze Aufgaben Aufgabe V-3 Vereinfache die folgenden Terme: 3 a) x 3 6 x b) x 9 c) 7 a 10 : 4 a 5 Aufgabe V-4 Vereinfache die folgenden Terme: ( a ) a) log 2b ( ) 3 c) log a 2 log a + 2 log ( ) 1 7 a e) log ( a 3) ( ) + log b log ( ab 2) b) ( a 2 c + ac log c ) ab b d) ( a 2 b 1 ) c log ac 3 b 72 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17