Vorkurs: Mathematik für Informatiker
|
|
- Kristian Straub
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 1 Wintersemester 2017/18
2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
3 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Mengen Zahlenbereiche Rechnen mit Brüchen Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Rechengesetze Teil 2 Intervalle Grundlegende Rechengesetze Binomische Formeln Potenz-, Wurzel-, Exponential- & Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Das Summenzeichen 3 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
4 Inhaltsverzeichnis Teil 3 Polynome Gleichungen & Gleichungssysteme Logische Verknüpfungen, Quantoren & Bedingungen Beweistechniken Teil 4 Vektoren Geraden Wiederholungen 4 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
5 Kapitel I: Mengen 5 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
6 Kapitel I: Mengen Definition Eine Menge ist eine ungeordnete Ansammlung von Elementen: Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. Jedes Element ist genau einmal enthalten. Dürfen die Elemente mehrfach vorkommen, so spricht man von einer Multimenge. Enthält die Menge keine Elemente, so nennt man sie die leere Menge und bezeichnet sie mit. 6 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
7 Kapitel I: Mengen Endliche & unendliche Mengen I Enthält die Menge eine endliche Anzahl an Elementen, so spricht man von einer endlichen Menge. Analog: Enthält die Menge eine unendliche Anzahl an Elementen, so spricht man von einer unendlichen Menge. 7 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
8 Kapitel I: Mengen Endliche & unendliche Mengen II Beispiele für endliche Mengen: { } A = 1, 2, 3, 4 { } B = a, b, c { C = x N } 23 x 42 Beispiele für unendliche Mengen: { } D = 1, 2, 3,... { E = x Z } x ist gerade 8 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
9 Kapitel I: Mengen Elemente einer Menge Ist das Element a in der Menge A enthalten, so schreibt man: a A. Ist das Element a nicht in der Menge A enthalten, so schreibt man: a A. 9 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
10 Kapitel I: Mengen Mächtigkeit einer Menge Unter der Mächtigkeit M einer (endlichen) Menge M versteht man die Anzahl der in M enthaltenen Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge wird auch als Kardinalität bezeichnet. Für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge schreibt man häufig. Beispiele: { } A = 11, 13, 17, 19 A = 4 { } B =..., 4, 2, 0, 2, 4,... B = 10 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
11 Kapitel I: Mengen Vergleichen von Mengen I Mengen können miteinander verglichen werden. Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Es ist außerdem möglich, dass A und B identisch sind. Sprechweise: A ist eine Teilmenge von B. Gleichheit: A = B Die Mengen A und B sind identisch. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl A B als auch B A gilt. Sprechweise: A ist gleich B. 11 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
12 Kapitel I: Mengen Vergleichen von Mengen II strenge Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Die Mengen A und B sind jedoch nicht identisch. Jedes Element a A ist folglich in B enthalten, es gibt jedoch mindestens ein Element b B, dass nicht in der Menge A enthalten ist. Sprechweise: A ist eine echte Teilmenge von B. Trifft keine der genannten Eigenschaften zu, so sind die Mengen unvergleichbar. 12 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
13 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen I Vereinigung: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder in der Menge A, in der Menge B oder in beiden Mengen vorkommen: A B = {x } x A oder x B. Die Vereinigungsmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 oder x A 2 oder... oder x A n }. 13 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
14 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen II Schnitt: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen: { A B = x } x A und x B. Die Schnittmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 und x A 2 und... und x A n }. 14 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
15 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen III Exklusion: A \ B In der Menge A \ B sind alle Elemente enthalten, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B vorkommen: A \ B = {x } x A und x / B. Symmetrische Differenz: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder nur in der Menge A oder nur in der Menge B vorkommen: ( ) ( ) A B = A \ B B \ A. 15 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
16 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen IV Potenzmenge: P(A) Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen der Menge A. Enthält die Menge A insgesamt A = n Elemente, so enthält die Potenzmenge P(A) insgesamt P(A) = 2 n Elemente. 16 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
17 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen V Es seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B = (a, b) } a A und b B. Es seien A, B und C drei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B C = (a, b, c) } a A, b B und c C. Analog definiert man das kartesische Produkt für eine beliebige Anzahl von Mengen M 1,..., M n : M 1... M n = {(m 1,..., m n ) } m 1 M 1,..., m n M n. 17 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
18 Kapitel I: Mengen Operationen auf Mengen VI Beispiel: Es seien die Mengen A = { 1, 2, 3 } und B = { 2, 3, 4 } gegeben. Dann gilt: { } A B = 1, 2, 3, 4 { } A B = 2, 3 { } A \ B = 1 { } A B = 1, 4 { (1, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } A B = 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 3, 3, 3, 4 P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 }} 18 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
19 Kapitel I: Mengen Aufgaben Aufgabe I-1 Es seien die folgenden Mengen A = {5, 7, 9}, B = {5, 6, 7} und C = {1, 3, 5, 7, 9} gegeben. Bestimme: a) A B, A C, C \ A sowie A B b) A B C c) P(B) d) A B Aufgabe I-2 Bestimme die Mengen P( ) sowie P(P( ))! 19 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
20 Kapitel II: Zahlenbereiche 20 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
21 Kapitel II: Zahlenbereiche Natürliche Zahlen Man definiert die Menge { 1, 2, 3,... } als die Menge der natürlichen Zahlen und bezeichnet diese mit N. Achtung: Je nach Lehrbuch/Dozent wird die 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt oder nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt. Fragt deshalb am besten noch einmal nach. 21 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
22 Kapitel II: Zahlenbereiche Ganze Zahlen I Ausgehend von den bereits definierten natürlichen Zahlen N definiert man die Menge der ganzen Zahlen und bezeichnet diese mit Z: Für jede natürliche Zahl n N fügt man der Menge Z sowohl n als auch n hinzu. Außerdem fügt man der Menge Z die Zahl 0 hinzu. Es ergibt sich die folgende Menge Z: { } Z =..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
23 Kapitel II: Zahlenbereiche Ganze Zahlen II Frage: Gibt es mehr natürliche oder mehr ganze Zahlen? 23 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
24 Kapitel II: Zahlenbereiche Rationale Zahlen Den nächsten Zahlenbereich bilden die mit Q bezeichneten rationalen Zahlen. Diese sind wie folgt definiert: { m } Q = m, n Z mit n 0. n Die rationalen Zahlen stellen folglich die Menge aller Brüche dar, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. 24 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
25 Kapitel II: Zahlenbereiche Reelle Zahlen I Es gibt (unendlich viele) Zahlen, die nicht in der Menge der rationalen Zahlen enthalten sind. Um diese beschreiben zu können, werden die mit R bezeichneten reellen Zahlen eingeführt. Diese können als Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulicht werden. Wie diese genau definiert sind, wollen wir an dieser Stelle nicht besprechen. Beispiele: alle natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen die Kreiszahl π viele Wurzeln wie 2, 3, 5 oder c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
26 Kapitel II: Zahlenbereiche Reelle Zahlen II Die reellen Zahlen R können durch Axiome beschrieben werden: Die reellen Zahlen sind ein Körper. Die reellen Zahlen sind total geordnet, d.h., für alle a, b, c R gilt: Es gilt genau eine der Beziehungen a < b, a = b, b < a. Aus a < b und b < c folgt a < c. Aus a < b folgt a + c < b + c. Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc. Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d.h., jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum in R. 26 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
27 Kapitel II: Zahlenbereiche Irrationale Zahlen Reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind (z.b. 2, π oder e), werden irrationale Zahlen genannt und können mit R\Q bezeichnet werden. Einen Beweis, dass 2 eine irrationale Zahl ist, werden wir uns später im Kapitel über Beweistechniken näher ansehen. 27 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
28 Kapitel II: Zahlenbereiche Komplexe Zahlen Viele technische oder physikalische Vorgänge können im Bereich der reellen Zahlen R nicht beschrieben werden. Um dies dennoch zu ermöglichen, wurden die komplexen Zahlen C eingeführt. Diese definieren u.a. die Konstante i, die der folgenden Eigenschaft genügt: i 2 = 1. Damit ist es möglich, physikalische/technische Systeme mit mathematischen Mitteln exakt zu beschreiben. Komplexe Zahlen werden im Laufe des Studiums behandelt. 28 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
29 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen 29 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
30 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Kürzen I Im Folgenden seien a, b, c Z und es gelte c 0. Es ist möglich, gemeinsame Faktoren (ungleich 0), die sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs vorkommen, zu kürzen. Allgemein gilt: c a c b = a (für c 0). b Beispiele: = = a 2 b ab 2 = ab a ab b = 1 2 = 2 3 = a b 30 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
31 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Kürzen II Es dürfen ausschließlich gemeinsame Faktoren gekürzt werden, jedoch nicht Differenzen oder Summen. Diese müssen, sofern möglich, vor dem Kürzen in ein Produkt überführt werden. Beispiele: Merke: ac + 2bc cd ce c (a + 2b) = c (d e) = a + 2b d e a 2 + 2ab + b 2 (a + b)(a + b) (a + b) a 2 b 2 = = (a + b)(a b) (a b) Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen. 31 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
32 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Kürzen III Kürzen von 0 führt zu interessanten (und falschen!) Ergebnissen, wie das folgende Beispiel zeigt: = = = (10 10) = ( ) (10 10) 10 (10 10) = = c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
33 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Erweitern Im Folgenden seien a, b, c Z und es gelte c 0. Es ist möglich, den Zähler und den Nenner eines Bruchs mit demselben Faktor ungleich 0 zu multiplizieren ( den Bruch zu erweitern ), ohne den Wert des Bruchs zu verändern. Allgemein gilt: Beispiele: a 2 b a b = c a c b = = = ab2 a 2 ab 2 b (für c 0). = 2 6 = = a3 b 2 ab 3 33 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
34 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Addition & Subtraktion I Im Folgenden seien a, b, c, d Z und es gelte c 0 sowie d 0. Es können 2 mögliche Fälle auftreten: Fall 1: gleiche Nenner Die beiden Brüche haben denselben Nenner; es gilt: a c ± b c = a ± b c 34 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
35 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Addition & Subtraktion II Fall 2: verschiedene Nenner Die beiden Brüche haben nicht denselben Nenner, sie müssen vor der Addition/Subtraktion gleichnamig gemacht werden ( auf denselben Nenner gebracht werden ). Es gilt: a b ± c d = ad bd ± bc bd = ad ± bc bd Oft wird beim gleichnamig machen das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv ) der Nenner als gemeinsamer Nenner verwendet; selbstverständlich kann auch jedes andere gemeinsame Vielfache verwendet werden. 35 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
36 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Multiplikation Im Folgenden seien a, b, c, d Z und es gelte b 0 sowie d 0. Beim Multiplizieren zweier Brüche werden sowohl die Zähler als auch die Nenner der beiden Brüche miteinander multipliziert. Es gilt: a b c d = a c b d. 36 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
37 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Division Im Folgenden seien a, b, c, d Z und es gelte b 0, c 0 und d 0. Die Division von Brüchen wird auf die Multiplikation von Brüchen zurückgeführt. Hierzu wird der erste Bruch (der Divident) mit dem Umkehrwert (dem Reziproken) des zweiten Bruchs (dem Divisor) multipliziert. Es folgt a b : c d = a b d c = a d b c. 37 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
38 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Aufgaben Aufgabe III-1 Berechne die folgenden Werte. Gib die Ergebnisse in vollständig gekürzter Form an! a) b) c) d) ( 6 7 : 12 ) c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
39 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Aufgaben Aufgabe III-2 Gib die folgenden Ausdrücke in vollständig gekürzter Form an. a) 3x 5 2x 3 b) a 5 4a 4 c) (ab) 2 ( 6ab) 2 d) 10x 2 y 3 ( 2xy) 2 e) ( ab) 4 ab 4 f) a 3 b 7 (ab) 7 g) x 2 (ty) 3 xt 3 y h) a 3 (b 2 c) 5 (a 3 c) 2 39 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
40 Kapitel III: Rechnen mit Brüchen Aufgaben Aufgabe III-3 Vereinfache die folgenden Ausdrücke. Gib die Ergebnisse, sofern möglich, in vollständig gekürzter Form an! 3 a) 2a 2 4ab ab x b) x 2 xy y x 2 + xy x x 2 y 2 c) a 3b 5a a 2 1 a 2 6ab + 9b 2 d) 2x 3 5x : 4x x 2 40 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
41 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen 41 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
42 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Potenzen I Ist a R (eine reelle Zahl) und n N (eine natürliche Zahl), so definiert man die n-te Potenz von a wie folgt: a n = a a... a }{{} n Faktoren a n = 1 a n Ferner definiert man: a 0 = 1. Durch diese Definition ist ebenfalls der Fall abgedeckt, dass n Z gilt dass n also eine ganze Zahl ist. 42 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
43 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Potenzen II Wie zuvor sei a eine reelle Zahl und r = p q sei eine rationale Zahl. q Ohne Beweis setzen wir voraus, dass die q-te Wurzel a von a existiert. Dann definiert man: ( ) a r = a p q = q p. a 43 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
44 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Potenzen I Potenzen finden immer dann Anwendung, wenn ein exponentielles Wachstum beschrieben werden soll; bekannte Beispiele aus der Schule sind der Zinseszins oder Zerfallsprozesse. Aufgabe: Bei der Geburt ihres Kindes legen die Eltern einen Betrag von Euro auf einem Konto an. Der jährliche Zinssatz beträgt 3,5%. Wie viel Geld befindet sich nach einem, nach zwei bzw. nach 18 Jahren auf dem Konto? 44 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
45 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Potenzen II Lösung: Es gilt, dass das Guthaben auf dem Konto jedes Jahr um 3,5% wächst. Der Betrag auf dem Konto wächst also jedes Jahr um den Faktor 1,035. Nach n Jahren hat sich der Betrag wie folgt verändert: Betrag = Euro 1, 035 n Es folgt: n Betrag in Euro , , , , c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
46 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-1 Berechne die folgenden Potenzen. (Ohne Taschenrechner!) a) 3 3 b) ( 7) 2 c) ( 5) 3 d) 2 4 e) ( 3 2) 2 f) (5 3) 2 46 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
47 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Wurzeln Es sei a eine positive reelle Zahl oder 0. Unter der n-ten Wurzel von a versteht man den (positiven) Wert n a, für den die folgende Eigenschaft gilt: ( n a ) n = a. Gibt es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung, so ist die Wurzel stets die positive Lösung. Häufig wird die Quadratwurzel verwendet. Anstelle von 2 a schreibt man typischerweise nur a. Beispiele: 2, 4, 3 8, 5 π 47 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
48 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-2 Vereinfache so weit wie möglich: a) 7 x + 2 8y 16x 4 y 11 b) c) 0, 1 0, 121 d) (a b)(a + b) 48 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
49 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen I Die Anwendung des Logarithmus, das Logarithmieren, ist eine weitere Umkehrung des Potenzierens. Mithilfe des Logarithmus lässt sich bestimmen, mit welchem Exponenten c man eine gegebene Basis a potenzieren muss, um den Wert b zu erhalten: log a b = c. Die beiden nachfolgenden Aussagen sind äquivalent: a c = b log a b = c. 49 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
50 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen II Beispiele für Logarithmen: log 2 8 = 3 log = 5 ln e 2 = 2 Typische Vertreter: binärer Logarithmus, logarithmus dualis: log 2, lb, ld natürlicher Logarithmus, logarithmus naturalis: log e, ln dekadischer Logarithmus: log c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
51 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Definition von Logarithmen III Frage: Sind Potenzen und Logarithmen nur eine mathematische Spielerei oder haben sie in der Natur eine praktische Relevanz? Antwort: Nein! Es ist keine mathematische Spielerei. Sie kommen in der Natur häufig vor (z.b. als logarithmische Spiralen). 51 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
52 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen I Schnitt einer Nautilus-Schale [Quelle: Wikipedia] 52 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
53 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen II Schnitt einer Nautilus-Schale [Quelle: Wikipedia] 53 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
54 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen III Tiefdruckwirbel über Island [Quelle: Wikipedia] 54 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
55 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Logarithmische Spiralen IV Whirlpool-Galaxie (NGC 5194/5195) [Quelle: Wikipedia] 55 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
56 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen I Aufgabe: Ernst gewinnt in einem Preisausschreiben Euro. Er entscheidet sich, das Geld anzulegen und bekommt jährlich 4% Zinsen. Nach wie vielen Jahren hat sich sein Geld verdoppelt? 56 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
57 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen II Lösung: Es gilt, die folgende Gleichung zu lösen: , 04 n = Hieraus ergibt sich direkt: 1, 04 n = 2 n = log 1, c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
58 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Umrechnen von Logarithmen Hier stößt man sofort auf das nächste Problem: Wie berechnet man den Logarithmus zur Basis 1,04? Die Lösung ist einfach, denn jeder Logarithmus lässt sich durch einen (anderen) Logarithmus mit einer beliebigen Basis darstellen. Es gilt die folgende allgemeine Formel: log b a = log c a log c b. 58 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
59 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen III Für unser Beispiel bedeutet dies: log 1,04 2 = ln 2 ln 1, 04 = 17, Das Vermögen von Ernst wird sich also in etwa 17,67 Jahren verdoppeln. 59 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
60 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen IV Ein alternativer Lösungsweg ist der folgende: , 04 n = , 04 n = 2 ln 1, 04 n = ln 2 n ln 1, 04 = ln 2 n = ln 2 ln 1, 04 = 17, c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
61 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Beispiel zu Logarithmen V Dasselbe für einen Zinssatz von 0,15%: , 0015 n = , 0015 n = 2 ln 1, 0015 n = ln 2 n ln 1, 0015 = ln 2 n = ln 2 ln 1, 0015 = 462, c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
62 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-3 Bestimme ohne Taschenrechner: a) r = log 8 64 b) log r 125 = 3 c) log 10 r = 3 d) log 2 r = 4 Aufgabe IV-4 Bestimme ohne Taschenrechner: a) r = log b) ln e 1 = r c) r = log 2 32 log log 2 8 d) r = log c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
63 Kapitel IV: Wurzeln, Potenzen & Logarithmen Aufgaben Aufgabe IV-5 Die Halbwertszeit von Radium 88 beträgt 1600 Jahre. Wie lange dauert es, bis 10g zu 1,25g zerfallen sind? Erstelle zunächst eine entsprechende Funktionsgleichung. 63 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
64 Kapitel V: Rechengesetze 64 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
65 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Brüche a b ± c ad ± bc = d bd a b c d = a c b d a b : c d = a b d c = a d b c a b = c a (c 0) c b 65 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
66 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Potenzen I a n a m = a m+n a n a m = an m a n b n = (a b) n a n ( a ) n b n = b (a m ) n = a m n 66 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
67 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Potenzen II 67 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
68 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Potenzen III Missachtung der Anwendbarkeit der jeweiligen Potenzgesetze kann zu interessanten Ergebnissen führen: ( = = 4 9 ) = ( ) ( ) 2 9 = ( ) 2 9 = = ( ) ( = 5 9 ) = = 5 68 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
69 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Wurzeln I a b = a b a a = b b ( a ) m = a m a m 2 = a m a m 2 = 1 a m 69 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
70 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Wurzeln II n a n b = n a b n a n b = n a b ( n a ) m = n a m m n a = m n a a m n = n a m a m n = 1 n a m 70 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
71 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Wurzeln III 71 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
72 Kapitel V: Rechengesetze Rechenregeln für Logarithmen log a (n m) = log a n + log a m ( n ) log a = log m a n log a m log a (n m ) = m log a n log a ( m n ) = 1 m log a n log a n = log b n log b a log a n = log a b log b n 72 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
73 Kapitel V: Rechengesetze Aufgaben Aufgabe V-1 Vereinfache die folgenden Terme: a) a 7 a 4 b) 5x 4x 6 c) ( 3z 4 ) ( 3z 5 ) d) 20x 5 ( x 3 ) x 2 Aufgabe V-2 Vereinfache die folgenden Terme: a) a 3x a 2x b) c) 3x 0 y 2 d) x 2 b x b a 2 x b 6+y a 6 x b 73 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
74 Kapitel V: Rechengesetze Aufgaben Aufgabe V-3 Vereinfache die folgenden Terme: 3 a) x 3 6 x b) x 9 c) 7 a 10 : 4 a 5 Aufgabe V-4 Vereinfache die folgenden Terme: ( a ) a) log 2b ( ) 3 c) log a 2 log a + 2 log ( ) 1 7 a e) log ( a 3) ( ) + log b log ( ab 2) b) ( a 2 c + ac log c ) ab b d) ( a 2 b 1 ) c log ac 3 b 74 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18
Vorkurs: Diskrete Mathematik Teil I. 27. September 2010
Vorkurs: Diskrete Mathematik Teil I 27. September 2010 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 Inhaltsverzeichnis Teil I Mengen Zahlenbereiche Bruchrechnung Wurzeln, Potenzen & Logarithmen
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Wintersemester 2012/13 Teil 1 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Jennifer Maier jennifer.maier@math.uni-hamburg.de Marcel Morisse morisse@informatik.uni-hamburg.de
MehrTutorium: Diskrete Mathematik
Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Kapitel I: Mengen Aufgabe
MehrWirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen
Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.
MehrWirtschafts- und Finanzmathematik
Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17 Organisation Termine, Personen, Räume Gliederung 1 Grundlegende
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrMATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016
MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrZahlen 25 = = 0.08
2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10
Mehr2 ZAHLEN UND VARIABLE
Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse Wintersemester 2014/15 Aufgaben I-1. Es seien die folgenden Mengen A = {5,7,9}, B = {5,6,7} und C = {1,3,5,7,9} gegeben.
MehrPotenzen, Wurzeln, Logarithmen
KAPITEL 3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 3.1 Funktionen und Umkehrfunktionen.............. 70 3.2 Wurzeln............................ 72 3.3 Warum ist a 2 + b 2 a + b?................. 73 3.4 Potenzfunktion........................
MehrReelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen
9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrMathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch
Mathematikvorkurs Fachbereich I Sommersemester 2017 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Dienstag Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen-
MehrEine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen.
1. Grundlagen Damit wir uns im Gebiet der Zahlen orientieren können, müssen wir uns einer gemeinsam festgelegten Sprache bedienen. In diesem ersten Kapitel erhalten Sie einen kurzen Abriss über die gängigsten
MehrZahlen und elementares Rechnen
und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
Mehr3 Zahlen und Arithmetik
In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren
Mehr1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel.
1.Rationale und irrationale Zahlen 1.1Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl 5 = 5; denn 5 = 5 und 5 > 0 r > 0 (geschrieben r ) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat r ergibt.
MehrFunktionen einer Variablen
Funktionen einer Variablen 1 Zahlen 1.1 Zahlmengen Im täglichen Gebrauch trifft man vor allem auf die natürlichen Zahlen N = {1,2,3,...}. Gelegentlich wird auch die Bezeichnung N 0 = {0,1,2,...} benutzt.
MehrVorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge.
Vorkurs Mathematik 17.08.-28.08.15 Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge E-mail: karsten.runge@hs-bochum.de www.hs-bochum.de\imt > Mathematik-Vorkurs > Mathematik-Werkstatt Die Mathematik-Werkstatt bietet
MehrVorkurs Mathematik 1
Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume
MehrWiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)
Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln des Rechnens 1.1 Zahlbereiche......... Zahlen N {1, 2, 3,...}......... Zahlen Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}......... Zahlen Q { a b a Z, b N}.........
MehrDefinition: Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das n-fache Produkt von a mit sich selbst
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Definition: Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das n-fache Produkt von a mit sich selbst Man schreibt a n = b Dabei heißt a die Basis,
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de April 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik April 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and
MehrRationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik
Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p lösen
Mehr2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der
1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art
MehrPotenzen - Wurzeln - Logarithmen
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl
MehrVorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG
Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty
Mehr1 Das Problem, welches zum Logarithmus führt
1 Das Problem, welches zum Logarithmus führt Gegeben sei die folgende Gleichung: a = x n Um nun die Basis hier x) auszurechnen, muss man die n-te Wurzel aus a ziehen: a = x n n ) n a = x Soweit sollte
Mehr01. Zahlen und Ungleichungen
01. Zahlen und Ungleichungen Die natürlichen Zahlen bilden die grundlegendste Zahlenmenge, die durch das einfache Zählen 1, 2, 3,... entsteht. N := {1, 2, 3, 4,...} (bzw. N 0 := {0, 1, 2, 3, 4,...}) Dabei
Mehr1 Mengen und Mengenoperationen
1 Mengen und Mengenoperationen Man kann verschiedene Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu Mengen zusammenfassen. In der Mathematik kann man z.b. Zahlen zu Mengen zusammenfassen. Die Zahlen 0; 1; 2;
MehrTerme und Gleichungen
Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,
MehrBrückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014
egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs
MehrÜbersicht über wichtige und häufig benötigte mathematische Operationen
Bruchrechnung Übersicht über wichtige und häufig benötigte mathematische Operationen Addition/Subtraktion von (ungleichnamigen) Brüchen: Brüche erweitern, sodass die Nenner gleichnamig sind, indem Zähler
MehrDas Rechnen mit Logarithmen
Das Rechnen mit Logarithmen -E Mathematik, Vorkurs Spezielle Logarithmen Der natürliche Logarithmus ist von besonderer Bedeutung in den Anwendungen: Basiszahl ist die Eulersche Zahl e: log e x ln x gelesen:
Mehrx A, x / A x ist (nicht) Element von A. A B, A B A ist (nicht) Teilmenge von B. A B, A B A ist (nicht) echte Teilmenge von B.
SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten
MehrSBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Grundkurs 1
SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Grundkurs 1 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das
MehrMathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie
Mathematik 1 für Informatik Inhalt Grundbegrie Mengen, speziell Zahlenmengen Aussagenlogik, Beweistechniken Funktionen, Relationen Kombinatorik Abzählverfahren Binomialkoezienten Komplexität von Algorithmen
Mehr1 Mengen. 1.1 Definition
1 Mengen 1.1 Definition Eine Menge M ist nach dem Begründer der Mengenlehre Georg Cantor eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen(verschiedenen) Elementen. Eine Menge lässt sich durch verschiedene
MehrMengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)
Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem
Mehr4. Funktionen und Relationen
Bestimmung der Umkehrfunktionen c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. y = x 3 y = x y = x y = (x+1)/2 y = x 1/3 y = 2x 1 Seite 27
MehrTermumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter
Termumformungen 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 11. Oktober 2009 Überblick über die bisherigen ALGEBRA
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen)
WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Mengen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16
MehrBrüche, Polynome, Terme
KAPITEL 1 Brüche, Polynome, Terme 1.1 Zahlen............................. 1 1. Lineare Gleichung....................... 3 1.3 Quadratische Gleichung................... 6 1.4 Polynomdivision........................
MehrINHALTSVERZEICHNIS. Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht. A. Grundbegriffe der Mengenlehre. 1.
INHALTSVERZEICHNIS 10 13 14 Mathematische Zeichen Formelzeichen Verwendung der Begriffe Masse und Gewicht A. Grundbegriffe der Mengenlehre 15 16 17 17 20 21 22 25 28 33 35 36 36 44 46 49 50 52 53 56 56
MehrZahlen und elementares Rechnen (Teil 1)
und elementares Rechnen (Teil 1) Dr. Christian Serpé Universität Münster 6. September 2010 Dr. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen (Teil 1) 6. September 2010 1 / 40 Gliederung
MehrDie Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.
1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu
MehrMathematik. FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli Kontakt und weitere Infos:
FOS 11. Jahrgangsstufe (technisch) c 2003, Thomas Barmetler Stand: 23. Juli 2004 Kontakt und weitere Infos: www.schule.barmetler.de Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung 5 1.1 Bruchrechnen.............................
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen
MehrWeitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen
Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x +...
MehrFachbereich I Management, Controlling, Health Care. Mathematikvorkurs. Wintersemester 2017/2018. Elizaveta Buch
Fachbereich I Management, Controlling, Health Care Mathematikvorkurs Wintersemester 2017/2018 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Prozentrechnung Dienstag Binomische
MehrDie Umkehrung des Potenzierens ist das Logarithmieren.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Logarithmieren. Gilt a x = b, a,b > 0, a 1, so heißt x der Logarithmus von b zur Basis a. Bezeichnung: x = log a (b). Manchmal lassen wir die Angabe der Basis auch
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
Mehr2 Rationale und reelle Zahlen
2 Rationale und reelle Zahlen 2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K,0,1,+, mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1 (K, 0, +
Mehrb liegt zwischen a und c.
2 DIE ANORDNUNGSAXIOME 5 (2.4) a, b, c R : (a < b 0 < c) ac < bc Monotoniegesetz der Multiplikation Bezeichnungen a > b : b < a (> wird gelesen: größer als ) a b : a < b oder a = b a b : a > b oder a =
Mehr1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale
Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen
MehrCorinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:
2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik Von Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim 10., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis
MehrMengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:
Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen
MehrTerme und Formeln Grundoperationen
Terme und Formeln Grundoperationen Die Vollständige Anleitung zur Algebra vom Mathematiker Leonhard Euler (*1707 in Basel, 1783 in Petersburg) prägte den Unterricht und die Lehrmittel für lange Zeit. Euler
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Betriebswirtschaft International Business Dresden 05 . Mengen
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik Eine Einführung mit Beispielen und Übungsaufgaben von Prof. Dr. Karl Bosch 14., korrigierte Auflage Oldenbourg Verlag München Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mengenlehre 1 1.1
MehrKapitel 3. Reelle Zahlen. Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Kapitel 3 Reelle Zahlen Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Division durch Null ist nicht erlaubt! 3.1 Ergänzungen
Mehr2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St ]
7 2. Reelle und komplexe Zahlen [Sch-St 6.4-6.5] 2.1 Körperstruktur und Anordnung von R [Kö 2.1-2.2] Für (beliebige) reelle Zahlen a, b, c R gelten die folgenden (algebraischen) Körperaxiome: (K1) a +
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Logarithmen Wie löst man die Gleichung a x = b nach x auf? (dabei soll gelten a, b > 0 und a 1) Neues
Mehr2 Rationale und reelle Zahlen
2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist
MehrMathematik-1, Wintersemester Vorlesungsplan, Übungen, Hausaufgaben
Mathematik-1, Wintersemester 2014-15 Vorlesungsplan, Übungen, Hausaufgaben Vorlesungen: Lubov Vassilevskaya Übungen: Dr. Wilhelm Mons, Lubov Vassilevskaya http://www.math-grain.de/ Inhaltsverzeichnis 1.
MehrGrundkurs Mathematik I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2016/2017 Grundkurs Mathematik I Vorlesung 19 Kommutative Ringe Wir erfassen die in der letzten Vorlesung etablierten algebraischen Eigenschaften der ganzen Zahlen mit
Mehr2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).
17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Mehr= T 2. Lösungsmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereiches D G, die die Gleichung zu einer Wahre Aussage machen.
Gleichungen Eine Gleichung ist eine Aussage, in der die Gleichheit zweier Terme durch Mathematische Symbol ausgedrückt wird. Dies wird durch das Gleichheitssymbol = symbolisiert G : = T 2 Definitionsmenge
MehrMathematische Einführung
und euklidische Geometrie 13.04.2011 Motivation Warum braucht man eine mathematische Einführung? Die Physik ist in der Sprache der Mathematik formuliert. Mathematische Methoden essentiell zur Lösung von
MehrDa diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die
MehrMatrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte
Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung
MehrInhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS Einleitung: Zur Verwendung dieses Buches 12 Kapitel 1 Primzahlen, ggt, kgv, Dreisatz Test 1 Aufgaben 1 20 15 Lösungen und Erklärungen zum Test 1 17 E1 Vielfache, Teiler, Primfaktorzerlegung
MehrDie natürlichen Zahlen
Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}. Damit kann man, beginnend mit der leeren Menge Ø, eine unendliche
MehrVorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion
Vorkurs Mathematik und Informatik Mengen, natürliche Zahlen, Induktion Saskia Klaus 07.10.016 1 Motivation In den ersten beiden Vorträgen des Vorkurses haben wir gesehen, wie man aus schon bekannten Wahrheiten
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
Mehr1.2 Rechnen mit Termen II
1.2 Rechnen mit Termen II Inhaltsverzeichnis 1 Ziele 2 2 Potenzen, bei denen der Exponent negativ oder 0 ist 2 3 Potenzregeln 3 4 Terme mit Wurzelausdrücken 4 5 Wurzelgesetze 4 6 Distributivgesetz 5 7
MehrMathematik. Subtraktion (Minuend Subtrahend = Differenz) Division (Dividend / Divisor = Quotient)
Inhalt: Mathematik 2.2003 2003 by Reto Da Forno Termumformungen - Operationsstufen Seite 1 - Gesetze Seite 1 - Addition + Subtraktion Seite 2 - Potenzen Seite 2 - Polynomdivision Seite 3 - Ausklammern
MehrExponentielles Wachstum und Logarithmus
Eigenschaften der Exponentialfunktionen Die Funktion nennt man Exponentialfunktion mit der Basis a. Ist neben der Potenz noch ein Faktor im Funktionsterm vorhanden, spricht man von einer allgemeinen Exponentialfunktion:
MehrPotenzen, Wurzeln & Logarithmen
Potenzen, Wurzeln & Logarithmen 4. Kapitel aus meinem ALGEBRA - Lehrgang Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch 22. November 2011 Überblick über die bisherigen
MehrDefinitions- und Formelübersicht Mathematik
Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar
Mehr2.3 Logarithmus. b). a n = b n = log a. b für a,b 0 ( : gesprochen genau dann bedeutet, dass beide Definitionen gleichwertig sind) Oder log a
2.3 Logarithmus Bsp. Seite 84 mitte: Wie lange muss man Fr. 10 000.- zu 5,1% anlegen, um Fr. 16 000.- zu erhalten? Lösen Sie die Zinseszinsformel nach q n auf Aus q n erfolgt die Berechnung von n mittels
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2016 / 2017 Carsten Krupp BBA und IBS Vorkurs Mathematik - Wintersemester 2016 / 2017 Seite 1 Literaturhinweise Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer,
Mehr2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen
25.05.20 2.4 Eponential - und Logarithmus - Funktionen Mit Hilfe der Potenz a t definiert man eine weitere Funktionsart, indem man statt der Basis den Eponenten durch die Variable ersetzt: Für a ε R >
MehrPropädeutikum Mathematik
Propädeutikum Mathematik Wintersemester 2017/2018 Carsten Krupp Betriebswirtschaftslehre (BBA) und International Business Studies (IBS)) Vorkurs Mathematik - Wintersemester 2017/2018 Seite 1 Literaturhinweise
MehrInhaltsverzeichnis Mathematik
1. Mengenlehre 1.1 Begriff der Menge 1.2 Beziehungen zwischen Mengen 1.3 Verknüpfungen von Mengen (Mengenoperationen) 1.4 Übungen 1.5 Übungen (alte BM-Prüfungen) 1.6 Zahlenmengen 1.7 Grundmenge (Bezugsmenge)
Mehr8 Dezimalzahlen und Fehlerfortpflanzung
7 Dezimalzahlen und Fehlerfortpflanzung 29 8 Dezimalzahlen und Fehlerfortpflanzung Lernziele: Konzepte: Dezimalzahlen und Runden Methoden: spezielle Umrechungen Kompetenzen: Einschätzen von Fehlerfortpflanzungen
MehrFH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.
FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f
MehrMengen und Relationen
KAPITEL 1 Mengen und Relationen 1.1. Mengenlehre Georg Cantor (3.3.1845 6.1.1918: Cantor ist der Vater der modernen Mengenlehre, er definierte 1895: DEFINITION 1.1.1. Unter einer Menge verstehen wir jede
MehrInhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion
Mehr