Potenzen, Wurzeln & Logarithmen

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1 Potenzen, Wurzeln & Logarithmen 4. Kapitel aus meinem ALGEBRA - Lehrgang Sprachprofil - Mittelstufe KSOe Ronald Balestra CH Zürich November 2011

2 Überblick über die bisherigen ALGEBRA - Themen: 1 Mengenlehre 1.1 Die Menge im mathematischen Sinne 1.2 Darstellungsformen 1.3 Teilmengen 1.4 Rechnen mit Mengen 1.5 Mengen im Koordinatensystem 1.6 Rechnen in Mengen 2 Termumformungen 2.1 Grundbegriffe 2.2 Einfache Termumformungen 2.3 Das Rechnen mit Polynomen 2.4 Das Rechnen mit Brüchen 3 Gleichungslehre 3.1 Aussagen, Aussageformen & Gleichungen 3.2 Das Lösen von Gleichungen 3.3 Lineare Gleichungen & deren Diskussion 3.4 Bruchgleichungen 3.5 Quadratische Gleichungen 3.6 Textaufgaben - ein Unterrichtspuzzle 3.7 Der Satz von Vieta 3.8 Kubische Gleichungen I

3 Inhaltsverzeichnis 4 Potenzen, Wurzeln & Logarithmen Das Rechnen mit Potenzen Begriffe & Potenzgesetze Die Einführung negativer Exponenten Die Einführung rationaler Exponenten Potenzgleichungen Der Logarithmus Die Logarithmengesetze Exponentialgleichungen Anwendungen Temperaturverlauf Barometrische Höhenformel II

4 4 Potenzen, Wurzeln & Logarithmen Wir wollen uns in diesem Kapitel die algebraischen Grundlagen und Fertigkeiten im Umgang mit Potenzen aneignen, welche uns den Zugang zu den Anwendungen, welche wir im anschliessenden ANALYSIS - Kapitel: Potenz- & Exponentialfunktionen besprechen werden, erleichtern und ermöglichen werden. Dazu werden wir unseren bisherigen Wurzelbegriff auf Potenzen mit rationalen Exponenten erweitern, zwei neue Gleichungstypen, die Potenzgleichungen und die Exponentialgleichungen kennenlernen und zur Lösung den Logarithmus und dessen Gesetze einführen. 4.1 Das Rechnen mit Potenzen Begriffe & Potenzgesetze Wir beginnen mit der folgenden Definition: Def.: a n :=... heisst Bem.: a ist die sog.... n ist der sog.... 1

5 und repetieren die Potenzgesetze, wobei wir voraussetzen, dass folgendes gilt: a, b R >0, n, m N 1. Gesetz a n a m = Bsp.: 2. Gesetz a n : a m = Bsp.: 3. Gesetz a n b n = Bsp.: 4. Gesetz a n : b n = Bsp.: 5. Gesetz (a n ) m = Bsp.: und wir definieren a 0 := a 1 := 2

6 4.1.2 Die Einführung negativer Exponenten Idee: Bsp.: Beachte: Die Potenzgesetze gelten auch für Potenzen mit negativen Exponenten: Bsp.: Die Einführung rationaler Exponenten Ziel: Bsp.: Beachte: Die Potenzgesetze gelten auch für Potenzen mit rationalen Exponenten. Bsp.: 3

7 Aus den Definitionen der Potenzen mit negativen und rationalen Exponenten folgt unmittelbar: a p q = a p q = Aufgaben : 1. Schreibe als Potenz: (a) 3 (b) (c) (d) Vereinfache: (a) (b) ( 6 x) 4 (c) ( ) (d) n 3 a (e) b 3 b 4 b 3 3. Beweise: q ap = ( q a) p Algebra-Aufgaben: Potenzen, Logarithmen & Wurzeln 1 4

8 4.2 Potenzgleichungen Das Lösen von Potenzgleichungen wollen wir mit Hilfe einiger Beispiele besprechen: Beispiel x = x = 9 3. x 6 = x 6 = 64 Zusammenfassend können wir festhalten: Ein letztes Beispiel hierzu: 4 2 x + 32 = 4 x Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr (mind. 1 Bsp aus Aufg 58) 5

9 4.3 Der Logarithmus Wir wollen den Logarithmus und seine Bedeutung an folgendem Beispiel besprechen: 10 x = 1000 x =... x = log 10 (1000) Def.: a x = b x := log a (b) für a R >0 a 1. Bem.: Sprechweise: Beispiel x = 625 x = 2. 6 x = 36 x = 3. a x = 5 x = 4. log 3 (9) =..., denn 5. log r (r 7 ) =..., denn 6. log a ( 3 a 4 ) = 7. log b ( 1 b 2 ) = 8. log s (1) = 9. log s (0) = 6

10 Aufgaben : Formuliere die zugehörige Potenzgleichung und bestimme x: 1. log x (8) = 3 2. log x (5) = 4 3. log x (6) = 0 4. log 6 (x) = log 6 x = 0 5. log 5 (x) = log 5 x = 4 6. log 0 (x) = log 0 x = 6 7. log 1 2 = x 8. log 2 1 = x 9. log 3 0 = x Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr

11 Die folgenden zwei Beziehungen können das Rechnen mit Logarithmen wesentlich vereinfachen: a log a (b) = b Beweis: log a (a x ) = x Beweis: Anwendungen : log = log = 3. 3 log 27 8 = 4. log 4 (4 3 ) = 5. log 4 (2 8 ) = 6. log 4 ( 1 8 ) = Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr

12 4.3.1 Die Logarithmengesetze Die Definition des Logarithmus und seine Anwendung bei der Lösung von Exponentialgleichungen (Gleichungen, wo die Lösungsvariable im Exponenten vorkommt; z.b.: 4 x = 2 x = ) haben wir schon kennen gelernt. Wir waren jedoch zur Bestimmung der Lösung auf schöne Zahlenbeispiele angewiesen. Mit Hilfe der Logarithmengesetze werden wir Rechenregeln kennenlernen, die uns erlauben, mit Logarithmen zu rechnen und beliebige Exponentialgleichungen zu lösen. Für die Beweise der Logarithmengesetze werden wir auf die Potenzgesetze und auf die folgenden uns schon bekannten Beziehungen zurückgreifen: log a (a x ) =... a log a (z) =... Die letzte Beziehung erlaubt uns jede positive reelle Zahl als eine Potenz bezüglich einer beliebigen positiven Basis darzustellen: Bsp.: 1. Die Produkteregel: log a (x y) = log a (x) + log a (y) Beweis: log a (x y) = log a (a log a (x) a log a (y) ) = log a (a log a (x)+log a (y) ) = log a (x) + log a (y) Bem.: 9

13 2. Die Quotientenregel: Vermutung: log a (x : y) =... Beweis: log a (x : y) = = = Bem.: 3. Die Potenzregel: Formuliere eine Vermutung und beweise sie. Bem.: Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr

14 Mit den neuen Regeln sind wir nun schon in der Lage einige Logarithmengleichungen zu lösen. Beispiel log 2 (9x + 5) log 2 (x) = 1 2. log 10 (2x + 3) + log 10 (1 x) log 10 (1 4x) = 0 Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr. 43, 44 11

15 Der Taschenrechner berechnet uns nur die Logarithmen zur Basis 10 log := log 10 und die natürlichen Logarithmen zur Basis e ln := log e, mit e = Euler schezahl Beispiel Berechne mit dem TR ln 2 = 2. ln e 3 = 3. ln 1 = 4. ln 1 = Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr Doch wie lässt sich mit dem TR log 2 3 berechnen? Wir brauchen eine weitere Regel, die Kettenregel, welche uns den Basiswechsel eines Logarithmus erlaubt: = a log a (x) x = = b log b (x) = =. Zusammengefasst können wir festhalten: 4. Die Kettenregel: Beispiel Berechne 1. log 2 3 = 2. log 7 49 = 12

16 Wir sind nun in der Lage die folgenden Beispiele ohne TR zu lösen: Beispiel Berechne/ löse ohne TR: 1. log 2 3 log 3 4 log 4 2 = 2. (a) log 3 8 = log 9 x (b) log = log x 15 Vermutung: Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr

17 4.3.2 Exponentialgleichungen Unsere mathematischen Kenntnisse wollen wir nun zum Lösen von Exponentialgleichungen verwenden: Beispiel x = x x+3 = 6 3. e 3x = x = 4 x x+5 3 4x = 100 Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr

18 ... und einmal mehr mit Hilfe einer Substitution lässt sich auch noch die folgende Exponentialgleichung lösen: Beispiel x x = 14 Aufg.: Deller/Gebauer/Zinn: Algebra 2 Nr

19 4.4 Anwendungen Temperaturverlauf Die Temperatur T [ 0 C] einer Kaffeetasse beträgt im Zeitpunkt t[min] T (t) = a e kt + b Es werden die folgenden Werte gemessen: T (0.5) = 85 0, T (4) = , T (7.5) = Berechne die Parameter a, b und c. 2. Wann ist der Kaffe 60 0 warm? 16

20 4.4.2 Barometrische Höhenformel Für den Verlauf des Luftdruckes gilt für Höhen bis zu 100km und bei konstanten Temperaturen die folgende Formel: p(h) = p 0 e h 7.99km mit p 0 = Luftdruck auf Meereshöhe bei 0 0 C = kpa. 1. Bestimme den Luftdruck in Zürich. 2. Bestimme den Luftdruck auf einer Höhe von m. 3. Wir gehen vom Luftdruck auf Meereshöhe aus. (a) Bestimme die Höhe, in welcher sich der Luftdruck halbiert. (b) Bestimme die Höhe, in welcher sich der Luftdruck auf 25% reduziert hat. 4. Wir gehen vom Luftdruck auf der Höhe von Zürich aus. (a) Bestimme die Höhe, in welcher sich der Luftdruck halbiert. (b) Bestimme die Höhe, in welcher sich der Luftdruck auf 25% reduziert hat. 17