2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der

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1 1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art der Definition ist nichts neues, man erinnere sich zum Beispiel an die Definition der Multiplitaktion: a n := a + a + a + :::+ a Im Prinzip kann man mit dieser Definition alles ausrechnen, es ist nur sehr mühsam. Berechne auf diese Weise von Hand: 33 = 5 2 = 2 5 = 16 3 = 2 Rechengesetze Mit Hilfe der Definition 1 kann man diverse Rechengesetze ableiten, die zum einen den Umgang mit Potenzen erleichtern können, zum anderen aber auch von mathematischem Interesse sind. So lassen sich aus ihnen die Rechengesetze der Logarithmen und Wurzeln ableiten. Hier zum Einstieg das erste Rechengesetz: a n a m = a n+m Zur Wesensart eines Mathematikers gehört, nicht nur irgendwelche Rechengesetze zu behaupten, sondern auch nachzuweisen, daß sie stimmen. Man nennt diesen Nachweis dann den Beweis des Rechengesetzes. Zum Beweis darf man natürlich nur die Definition 1 verwenden ( Beweisstück A ). Hier der Beweis: a n a m = a a a ::: a a a a ::: a m mal Zähl man jetzt die Anzahl der a's durch, so stellt man fest, daß hier n + ma's hintereinander stehen, die alle miteinander multipliziert werden. Nach der Definition 1 ist dies aber gerade = a n+m womit das erste Rechengesetz bewiesen wäre. Man beachte, daß dieses Rechengesetz eine Gleichheit besagt, und somit sowohl von links nach rechts, als auch von rechts nach links gelesen werden kann. Insbesondere gilt also auch: a n+m = a n a m Berechne einerseits von Hand und andererseits mit dem Rechengesetz, vergleiche die Ergebnisse: = = = = Kommen wir zum zweiten Rechengesetz: (a b) n = a n b n

2 2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der Beweis: a n b n =(a b) n (a b) n =(a b) ::: (a b) Wir haben es also mit einem großen Produkt zu tun, das aus n Klammern der Form a b besteht. Demzufolge taucht der Faktor a auf - in jeder der Klammern einmal - und der Faktor b ebenfalls. Da wir nun die Klammern auflösen dürfen - dies ist das Assoziativgesetz der Multiplikation - und ferner die Reihenfolge der a's und b's vertauschen dürfen, erhält man durch nach-vorne tauschen der a's und nach-hinten tauschen der b's folgenden Ausdruck: = a a a::: a b b b::: b was wir wieder mit der Definition umformen zu: = a n b n womit auch dieses Rechengesetz bewiesen wäre. Natürlich gilt wieder die oben formulierte Umkehrung durch Lesen der Gleichheit von rechts nach links. Berechne einerseits von Hand und andererseits mit Hilfe des Rechengesetzes: (2 5) 4 = (3 2) 4 = = = Und noch ein drittes Rechengesetz folgt: und der Beweis: (a m ) n = a m n (a m ) n =(a a a::: a) n = a a a::: a a a a::: a m mal m mal m mal ::: a a a::: a m mal insgesamt Der Ausdruck besteht also aus n Klammern zu je ma's, also insgesamt aus m n a's. Da man wieder wie oben die Klammern weglassen darf, ist dies also ein Produkt aus n ma's: = a a a ::: a = a m n m womit auch dieses Rechengesetz bewiesen ist. Berechne wieder einerseits von Hand und andererseits mit Hilfe des Rechengesetzes: (22 ) 5 = (3 3 ) 2 = (4 2 ) 3 = 3 1 0=

3 3 NOCH MEHR RECHENREGELN 3 Es folgen einige gemischte Aufgaben, zum Teil mit Fallen, also aufpassen! 2 7 = = = = (diese Aufgabe KANN man mit den Potenzgesetzen rechnen) = (2 4) 2 = (2 + 4) 2 = (4 + 4) 2 = (4 + 4) 3 = (5 5) 2 = = = 18 3 = 3 Noch mehr Rechenregeln In diesem Abschnitt wollen wir aus den bisher gewonnenen Potenzgesetzen einige weitere ableiten, die die Division mit den Potenzen verknüpfen. Die Rechengesetze können ohne das lästige Zählen von Faktoren einfach aus den bisher bekannten Rechengesetzen abgeleitet werden. a m a n = am n und hier folgt wieder der Beweis, der diesmal ohne das Zählen von Faktoren auskommt. Stattdessen wird auf die obigen Rechengesetze zurückgegriffen: a m = a m+0 = a m+(n n) = a (m n)+n = a (m n) a n wobei wir verwendet haben, daß man durch Addition einer Null eine Zahl nicht verändert und n n Null ergibt. Ferner wurde im letzten Schritt das Rechengesetz aus 2. verwendet. Die auf diese Weise erhaltene Gleichung dividieren wir jetzt auf beiden Seiten durch a n,wobei man natürlich die Voraussetzung machen muß, daß a n nicht gleich null wird. Da a n ein n- faches Produkt der Zahl a ist und ein Produkt nur dann gleich null werden kann, wenn einer ihrer Faktoren gleich null ist, müßte dazu also a gleich null sein. Wir müssen also, damit dieser Schritt zulässig ist, a gleich null ausschließen. Für a ungleichnull ist diese Division aber zulässig, und man erhält nach Division durch a n auf beiden Seiten: a m a n = am n wie oben behauptet. Einige Aufgaben zu dem neuen Rechengesetz (es gilt auch wieder die Umkehrung): 25 3 = = = =

4 4 WIE MAN EINE ZAHL 5 MAL MIT SICH SELBST MULTIPLIZIERT 4 Entsprechend kann man auch das nächste Rechengesetz ableiten: a n = an und hier folgt der Beweis : b b n c n b n =(c b) n (nach den Rechengesetzen oben) Setzen wir jetzt für c = a=b ein, wobei natürlich wieder b nicht null sein darf, so ergibt sich: a n b n a = b b n b = a n da b=b = 1 und a 1 = a. Teilt man jetzt beide Seiten durch b n μ b n könnte höchstens null werden, falls b =0, was wir aber oben schon ausgeschlossen hatten μ so ergibt sich genau: a n = an b b n womit die Behauptung bewiesen wäre. Hier wieder einige Aufgaben zum Nachrechnen: = = 2 = = 4 Wie man eine Zahl 5 mal mit sich selbst multipliziert In diesem Kapitel werden wir den Begriff der Potenz, der bisher nur für positive Zahlen definiert ist, ausdehnen auf weitere Zahlen, so z.b. für die Null und für die negativen Zahlen. Ebenso können wir den Potenzbegriff ausdehnen auf die Bruchzahlen, mathematisch geht esauchnoch für reelle Zahlen - das ist aber für unsere Zwecke zu kompliziert. Man sollte sich an dieser Stelle klarmachen, daß diese Erweiterung wirklich explizit ausgeführt werden muß, die Definition 1 sagt schließlich nur, daß man für a n die Zahl a miteinander multiplizieren soll. Das geht natürlich nur für natürliche Zahlen μ wie soll man denn eine Zahl 5 mal mit sich selbst multiplizieren? Aber zuerst wird es etwas weniger spektakulär, zuerst behandeln wir die Null als Sonderfall: Sei b eine Zahl, nicht gleich null (das benötigen wir, das erste Gesetz in diesem Kapitel funktioniert sonst nicht), dann definieren wir: b 0 := 1 (nur für b ungleich null!) Man beachte hier wieder, das ist eine Definition! Man kann Definitionen nicht beweisen, nur plausibel machen. Wir werden die Erweiterung auf die Null natürlich so vornehmen wollen, daß die Rechengesetze von oben weiter gelten. Unter dieser Voraussetzung gilt dann: b 0 = b n n = bn b n =1 wobei n eine beliebige natürliche Zahl sein darf. Ferner haben wir b n = b n verwendet. Man beachte, daß dies kein Beweis ist μ unsere Rechenregel, die wir im zweiten Schritt verwendet haben, gilt eigentlich nur für positive Zahlen. Wir haben jedoch b 0 so definiert, daß diese Rechenregel jetzt weiter gelten soll. Für b =0funktioniert der letzte Schritt nicht μ hier würde man 0=0 berechnen müssen μ das

5 4 WIE MAN EINE ZAHL 5 MAL MIT SICH SELBST MULTIPLIZIERT 5 gehtabernicht! Um einige mathematische Formeln leichter aufschreiben zu können, wird teilweise das Symbol 0 0 als eins gelesen (dies ist eigentlich nicht richtig) μ in anderen Formeln teilweise auch wieder als null. Dies ist reine Konventionssache μ eine korrekte Berechnung des Ausdruckes ist nicht möglich. Jetzt wie versprochen die negativen Zahlen: Wir definieren (n sei eine positive Zahl, also -n negativ, b nicht gleich null) : b n := 1 b n Hier wieder der Nachweis, daß diese Definition sinnvoll ist: Wir werden also wieder die Rechenregeln von oben verwenden. Hier die Rechnung: b n = b 0 n = b0 b n = 1 b n Hier beachte man, daß dies auch wieder nur eine Plausibilitätsbetrachtung ist μ unsere Rechenregeln gelten eigentlich nur für natürliche Zahlen. Jetzt folgt noch die Erweiterung auf gebrochene Exponenten μ wir verwenden dazu die letzte Rechenregel aus Kapitel 1. m ist wie gehabt natürliche Zahl, b positiv: b m 1 := mp b Hier wieder eine Plausibilitätsbetrachtung der oben erfolgten Definition μ wie gesagt ist dies kein Beweis! Die obige Gleichheit kann deshalb nicht aus unseren Rechenregeln abgeleitet werden, weil diese nur für natürliche Zahlen und nicht für Bruchzahlen gelten μ wir werden aber sinnvollerweise fordern, daß unsere Rechengesetze weiterhin gültig bleiben μ auch beim Rechnen mit Bruchzahlen: b m 1 m = b m 1 m = b 1 = b D.h., wenn wir b 1=m mit m potenzieren, so ergibt sich wieder b. Dies ist aber genau die Eigenschaft der Wurzel. Zum Vergleich hier nochmals die Definition der Wurzelfunktion: Sei b eine positive Zahl, m eine natürliche Zahl. Dann heißt eine positive Zahl c genau dann m-te Wurzel aus b, wenn c m wieder b ergibt. Hier in mathematischer Schreibweise: c = mp b () c m = b Man beachte folgende mathematische Spitzfindigkeit: Die Wurzeln μ und damit auch b 1=m μ sind nur definiert für positive Zahlen. Dies kommt folgendermaßen zustande: Ist b eine negative Zahl, so läßt sich hieraus sowieso keine gerade Wurzel ziehen, denn wie man es auch anstellt eine Zahl c zu finden, so daß c m = b ist, so kann doch c m nie die negative Zahl b ergeben. Das liegt daran, daß eine negative Zahl mit sich selbst multipliziert immer nur positive Zahlen ergibt; ebenso ergibt sich beim Multiplizieren von positiven Zahlen mit sich wieder nur positive Zahlen μ negative Zahlen lassen sich deshalb einfach durch Potenzieren mit einer geraden Potenz nicht erzeugen. Für ungerade Potenzen läßt sich für negative Zahlen b durchaus eine Zahl c finden, so daß c m = b wird, aber um nicht zwischen geraden und ungeraden Potenzen unterscheiden zu müssen, definiert man die Wurzel nur für positive Zahlen, ebenso das Potenzieren mit gebrochenen Exponenten. Die meisten Taschenrechner können zwar die dritte Wurzel aus negativen Zahlen ziehen, aber mathematisch ist dies nicht erlaubt. An dieser Stelle müßte man noch nachweisen, daß bei der Erweiterung der Potenzen auf gebrochene Exponenten die übrigen oben formulierten Rechengesetze weiterhin gültig bleiben. Diesen Nachweis wollen wir hier nicht erbringen, da man

6 5 DIE UMKEHRFUNKTIONEN: WURZEL UND LOGARITHMUS 6 daran nicht viel erkennen kann. Man beachte aber, daß wir alle neuen Definitionen so getroffen haben, daß sie im Einklang mit einer Erweiterung der bisherigen Rechengesetze stehen. Es ist also nicht verwunderlich, daß die Potenzgesetze auch für gebrochene Exponenten gelten. Wir haben bisher nur Rechenregeln für negative ganze Exponenten und Exponenten der Form 1 m, m natürliche Zahl, formuliert. Es fehlt noch die Ableitung weiterer Regeln für allgemeine Brüche. Dies kann man selbst erledigen: Man beweise in gleicher Weise wie in Kapitel 2 die folgenden Aussagen: ffl Sei p q eine positive rationale Zahl, also ein Bruch größer als null, dann gilt: b pq = qp b p Man geht für den Beweis wie folgt vor: Man schreibt zuerst p=q als p (1=q) und verwendet dann die Potenzgesetze aus Kapitel 2. ffl Sei -p/q eine negative rationale Zahl, dann gilt: b pq = 1 qp b p Der Beweis dieser Aussage funktioniert wieder analog: man schreibt wieder p=q als p (1=q) und verwendet die Potenzgesetze. Man berechne mit Hilfe der Potenzgesetze und den oben abgeleiteten Rechenregeln folgende Ausdrücke: = = 5 2 = = = = = (auf zwei Weisen ausrechnen!) = = 5 Die Umkehrfunktionen: Wurzel und Logarithmus Für alle bekannten Rechenoperationen existieren entsprechende Umkehroperationen, die die jeweilige Operation wieder rückgängig machen. Für die Addition ist dies die Subtraktion, für die Multiplikation die Division. Hier ein Beispiel für die Umkehroperationen: 5.1 Umkehrung der Addition Zu der Zahl a wird eine unbekannte Zahl b addiert, man erhält auf diese Weise eine weitere Zahl, nennen wir sie c. Wie können wir nun mit Hilfe der Kenntnis der Zahlen b und c wieder a berechnen? Hier noch einmal die mathematische Formulierung des Problems, mitsamt der Lösung: a + b = c ) a = c b

7 5 DIE UMKEHRFUNKTIONEN: WURZEL UND LOGARITHMUS 7 Durch Subtraktion der Zahl b von c erhält man also a zurück. Genauso kann man auch aus c den anderen Summanden b rekonstruieren, wenn man zusätzlich a kennt. Auch dies wird durch die Subtraktion erledigt: b = c a Die Subtraktion erlaubt also, sowohl a als auch b zu erzeugen. Der Grund, warum die Frage nach a und b beide auf gleiche Art durch die Subtraktion beantwortet wird, ist der, daß die Addition kommutativ ist, d.h. die Reihenfolge der Addition kann vertauscht werden μ a und b sind gleichberechtigt. Deshalb sieht die Antwort auf die Frage nach a und b auch ähnlich aus. 5.2 Umkehrung der Multiplikation Ganz analog verhält es sich mit der Multiplikation: Ihre Umkehrung ist die Division, und sie ist wie die Addition kommutativ. Ist wie oben a b = c so können wir a aus b und c rekonstruieren und ganz analog b aus a und c: a = c b b = c a auch hier beachte man, daß sich a und b ganz ähnlich rekonstruieren lassen, was an der Kommutativität der Multiplikation, also der Gleichberechtigung von a und b liegt. 5.3 Umkehrung der Potenzierung Bei der Potenzierung wird alles leider etwas komplizierter μ die Potenzierung ist leider nicht mehr kommutativ in den beiden Zahlen a und b, d.h. im allgemeinen gilt nicht, daß a b = b a Man berechne, um dies nachzuprüfen, einmal folgende Ausdrücke: 23 = 3 2 = 5 3 = 3 5 = Wir brauchen also, wie nach diesen Betrachtungen nicht weiter verwunderlich, nicht eine, sondern zwei Umkehrfunktionen der Potenzierung, und zwar eine Umkehrung, die ffl bei gegebenen Ergebnis c = a b und bei Kenntnis von b die Zahl a rekonstruiert, und eine weitere, die ffl bei gegebenen Ergebnis c = a b und bei Kenntnis von a die Zahl b rekonstruiert. Kommen wir erst einmal zu der ersten Umkehrfunktion: Die Zahlen a, b und c seien gegeben wie oben, wir werden weiterhin noch a>0 voraussetzen müssen, sonst läßt sich keine eindeutige Umkehrung angeben: Man beachte z.b., daß sowohl 3 2 als auch ( 3) 2 die Zahl 9 ergeben und sich somit aus der Kenntnis des Ergebnisses 9 und des Exponenten 2 sich nicht sagen läßt, ob diese 9 durch Quadrieren einer 3 oder einer 3 erzeugt wurde. Wissen wir aber im voraus, daß die Zahl a, die Basis, positiv war, so muß natürlich die Antwort dann 3 sein.

8 6 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 8 Im folgenden stellen wir einfach mal eine Behauptung über die Umkehrung auf: a b = c () c 1 b = a Wir beweisen dies, indem wir nachweisen, daß c 1=b wirklich wieder a ergibt. Wir setzen dazu c = a b einfach ein: c 1 1 b = a b b = a b 1b = a b b = a 1 = a Die Behauptung stimmt also. Insbesondere für natürliche Zahlen b ist also die Umkehrung von a b nach der Definition der Wurzel oben: a b = c () bp c = a Die Umkehrung der Potenzierung μ besser: eine Umkehrung μ ist für natürliche Exponenten die Wurzel, im allgemeinen aber auch eine Potenzierung. Kommen wir jetzt zur zweiten Umkehrung, die bei gegebenem Ergebnis c und Kenntnis der Basis a den Exponenten b rekonstruiert. Diese Umkehrung bekommt einen neuen Namen, nämlich Logarithmus. Er läßt sich leider nicht mehr so schön als Potenz schreiben wie die Wurzel, sondern bekommt ein eigenes Symbol. Wie üblich müssen wir wieder a > 0 und somit c > 0 voraussetzen, sonst klappt das alles nicht, siehe dazu das Beispiel oben. Hier die Definition: a b = c () log a c = b Man liest den Ausdruck log a c als Logarithmus zur Basis a von c. Im allgemeinen ist die Berechnung des Logarithmus nicht leicht μ sie erfolgt über Tabellenwerke oder über einen Taschenrechner μ aber für einige Spezialfälle läßt er sich angeben. Man muß dazu natürlich die Potenzen einiger Zahlen im Kopf haben. Hier noch einmal die Wirkungsweise des Logarithmus: log a c = b bedeutet: a b ergibt c. So ist also log 2 64 = 6, denn 2 6 =64. Berechne folgende Logarithmen, damit man sich an die hierbei üblicherweise auftretende Gehirnverknotung gewöhnt: log = log = log 5 25 = log = log = log 2 32 = 6 Rechenregeln für Logarithmen Die bekannten Rechenregeln für die Potenzrechnung übertragen sich natürlich auf den Logarithmus, für den man dann entsprechende Rechenregeln ableiten kann. Zuerst aber einige ganz elementare Rechenregeln, die sich aus der Definition des Logarithmus ergeben: log a a b = b Wieso gilt diese Rechenregel? log a rekonstruiert bei Anwendung auf eine Zahl den Exponenten, zu dem a potenziert werden muß, damit b entsteht. Nun muß aber gerade a mit b potenziert werden, damit a b entsteht. Somit gilt also log a a b = b. Man holt also mit Hilfe des Logarithmus den Exponenten b herunter. Ebenfalls folgt aus der Definition des Logarithmus: a log a b = b

9 6 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 9 Der Beweis dieser Aussage ist etwas schwieriger: Wir nennen vorläufig das Ergebnis der Berechnung log a b = c. Von c wissen wir, aus der Definition des Logarithmus, daß a c = b ist. Nun potenzieren wir aber gerade a mit dieser Zahl c, was deshalb gerade b ergibt. Mit diesen elementaren Regeln lassen sich nun aus den Rechengesetzen aus 2. die Rechenregeln des Logarithmus gewinnen: log a (m n) = log a m + log a n Zum Beweis dieser Beziehung verwenden wir die zweite der oben abgeleiteten Formeln: m n = a log a m a log a n = a log a m+log a n wobei wir im zweiten Schritt eines der Potenzgesetze verwendet haben. Im weiteren Verlauf der Rechnung werden wir die erste der hier abgeleiteten Formeln verwenden, indem wir auf beide Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden. Da die Zahlen rechts und links des Gleichheitszeichens identisch sind, sind es dann ebenso die Logarithmen: log a (m n) = log a a log a m+log a n = log a m + log a n Hierbei wurde im letzten Schritt die benannte Formel verwendet. Ganz analog leiten wir folgende Formel ab: log a m n = log a m log a n Wir beginnen wieder mit dem Ausdruck m=n und verwenden ie Potenzgesetze: m n = aloga m a log a n = alog a m log a n und wenden nun auf beide Seiten wieder den Logarithmus an: log a m n = log a alog a m log a n = log a m log a n womit auch diese Beziehung bewiesen wäre. Diese beiden Rechenregeln lassen schon eine Wesenheit des Logarithmus erkennen: Die höheren Verknüpfungen und = werden durch den Logarithmus zu + und. Man berechne auf diese Weise folgende Logarithmen: log log 2 32 = log log 2 16 = log 3 27 log 3 9= log log = Jetzt verbraten wir noch das letzte Potenzgesetz: log a b = log c b log c a Zum Beweis beginnen wir mit den Formeln am Anfang des Kapitels: b = a log a b und a = c log c a und jetzt setzen wir die rechte Formel für a in die linke Formel für b ein: b = c log c a log a b = c log c a log a b wobei im zweiten Schritt das bisher noch nicht verwendete Potenzgesetz benutzt wurde. Jetzt wird auf beide Seiten der Logarithmus zur Basis c angewendet: log c b = log c c log c a log a b = log c a log a b

10 6 RECHENREGELN FÜR LOGARITHMEN 10 teilt man jetzt auf beiden Seiten durch log c a, so ergibt sich schließlich die oben zitierte Formel: log c b log c a = log a b Diese Formel erlaubt es, den Logarithmus zu einer beliebigen Basis auszurechnen, falls nur der Logarithmus zur Basis a bekannt ist. So bieten die meisten Taschenrechner nur den Logarithmus zur Basis 10 oder zur Basis e an. (Die Zahl e ist etwa 2; :::). Für die speziellen Basen 10, e oder 2 gibt es noch eine spezielle Notation: log 10 =: lg log e =: ln log 2 =: lb Mit Hilfe des letzten Rechengesetzes kann man jetzt auf dem Taschenrechner den Logarithmus zu einer beliebigen Basis a berechnet werden: log a b = ln b ln a Auf diese Weise kann also auch z.b. der Logarithmus zur Basis 17 berechnet werden, obwohl auf dem Taschenrechner dafür keine Taste vorgesehen ist. Man berechne mit einem Taschenrechner folgende Logarithmen: log 5 10 = log = log 7 70 = log =