Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge.

Transkript

1 Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge > Mathematik-Vorkurs > Mathematik-Werkstatt Die Mathematik-Werkstatt bietet allen Studierenden mehrmals pro Woche Hilfe in Mathematik an.

2 1 Grundrechenarten auf den ganzen Zahlen Definition 1.1 Mit N = {1, 2, 3,...} wird die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet, mit Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} die Menge der ganzen Zahlen. Begriffe: i) +, Addition, Summe ii) -, Subtraktion, Differenz iii), Multiplikation, Produkt iv), Division, Quotient Wichtig: Die Division durch Null ist verboten!!! Satz 1.2 Addition und Multiplikation erfüllen das Kommutativgesetz auf Z, d.h. für alle a,b Z gilt: a + b = b + a und a b = b a Bemerkung: Subtraktion und Division sind nicht kommutativ, d.h. in den meisten Fällen ist a b b a sowie a b b a. Vereinbarung: i) Sind keine Klammern gesetzt, so sind Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion durchzuführen (Punkt- vor Strichrechnung). ii) Rechenoperationen, die durch Klammern eingeschlossen sind, werden zuerst ausgeführt. iii) Innere Klammern sind zuerst aufzulösen.

3 Satz 1.3 Auf Z gilt das Distributivgesetz, d.h. für a,b,c Z gilt: a (b + c) = a b + a c. Bemerkung: Genauso gilt natürlich (b + c) a = b a + c a. 2 Rationale Zahlen Definition 2.1 Die Menge Q = { p : p Z, q Z, q 0} nennt man die q Menge der rationalen Zahlen. Dabei heißt jeweils p der Zähler und q der Nenner. Die rationalen Zahlen nennt man auch Brüche. Bemerkung: Der Bruchstrich in der Darstellung rationaler Zahlen symbolisiert eine Division. Bemerkung: i) Das Multiplizieren von Zähler und Nenner einer rationalen Zahl mit derselben ganzen Zahl a 0 nennt man Erweitern von Brüchen. Der Wert einer rationalen Zahl ändert sich dadurch nicht. D.h. p = a p für a 0, a Z. q a q ii) Enthalten umgekehrt Zähler und Nenner einer rationalen Zahl denselben Faktor a 0, so kann dieser gekürzt werden, ohne den Wert der rationalen Zahl zu verändern, also: a p a q = p q für a Z, a 0. iii) Aus i) ergibt sich, dass jede rationale Zahl unendlich viele Darstellungen besitzt. Daher ist es üblich so lange zu kürzen, bis p und q teilerfremd sind und schließlich das Vorzeichen vor den Bruch zu setzen, falls negativ. Das ergibt für rational Zahlen eine eindeutige Darstellung.

4 Definition 2.2 Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen a 0 und b 0 (kgv(a,b)) ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von a als auch von b geteilt wird. Satz 2.3 Die Addition zweier Brüche geschieht nun wie folgt: p 1 q 1 ± p 2 q 2 = p kgv (q 1 1,q 2 ) ±p q 1 2 kgv (q 1,q 2 ) q 2 kgv (q 1,q 2. ) Bem.: In der Praxis wird häufig auch wie folgt gerechnet: p 1 q 1 ± p 2 q 2 = p 1 q 2 ± p 2 q 1 q 1 q 2, anschließend wird dann gekürzt (falls nötig). Satz 2.4 Die Multiplikation zweier Brüche geschieht folgendermaßen: p 1 q 1 p2 q 2 = p 1 p 2 q 1 q 2. bil- Bem.: Das Produkt einer ganzen Zahl a und einer rationalen Zahl p q det man so: a p q = a p q, denn, da a = a 1 a p q = a 1 p q = a p 1 q = ap q.

5 Satz 2.5 Die Division zweier Brüche geschieht so: p 1 q 1 p 2 q 2 = p 1 q 1 q2 p 2. Es wird also mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Hinweis: Satz 2.6 Punkt- vor Strichrechnung, Kommutativgesetze (für Addition und Multiplikation) sowie das Distributivgesetz gelten auch auf der Menge der rationalen Zahlen Q. 3 Potenz-,Wurzel- und Prozentrechnung Definition 3.1 Mit R wird die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, die neben den rationalen Zahlen noch die irrationalen Zahlen enthält. Definition 3.2 Das Potenzieren ist eine abkürzende Schreibweise für die Multiplikation gleicher Faktoren. Für n N und x R setzt man: x n := x x... x }{{} n fach und nennt dies die n-te Potenz von x. Weiter setzt man (für x 0) x n := 1 x n sowie x 0 = 1. (Auch 0 0 = 1)

6 Satz 3.3 Für x, y R\{0} sowie n, m Z gelten: i) x n+m = x n x m, x n m = x n x m = xn ; x m ii) (x n ) m = x n m = (x m ) n und iii) (xy) n = x n y n. Satz 3.4 (Binomische Formeln) Für a, b R gilt: i) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ii) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 iii) (a + b) (a b) = a 2 b 2 Beweis: Definition 3.5 (Wurzel) Die n-te Wurzel (n N) aus einer nicht-negativen Zahl a ist die nichtnegative Zahl b, für die gilt b n = a. Man schreibt b = n a. Dabei heißt a Radikand, b der Wurzelwert und n Wurzelexponent. Definition 3.6 Der Betrag einer reellen Zahl x wird folgendermaßen definiert: x, falls x 0 x := x,falls x < 0 Bem. und Definition 3.7 Für n, m N und a > 0 ist definiert: a m n := n a m und a m n := 1 a m n = 1 n a m

7 Bem.: Für ungerade Wurzelexponenten n ist die Definition von Wurzeln aus negativen Zahlen durchaus sinnvoll, z.b. 3 8 = 2, da ( 2) 3 = 8. Allerdings gelten dann die Potenzgesetze wie in Satz 3.3 nicht mehr. Satz 3.8 Für a, b > 0 und n, m N gelten: i) n a n b = n ab, ii) n a : n b = n a b iii) m n a = n m a, iv) n a m = ( n a) m Zudem gelten für rational Exponenten die selben Potenzgesetze wie in Satz 3.3, also etwa: i) a p 1 q1 a p 2 q2 = a p 1 q1 + p 2 q2 ii) (a p 1 q1 ) p 2 q2 = a p 1 p 2 q 1 q 2 usw. wie in Satz 3.3 Bew: Bem.: Wenn x 0, kann man auch für r R die Potenz x r bilden, wofür die gleichen Potenzgesetze wie in Satz 3.3 bzw. Satz 3.7 gelten.

8 Zur Prozentrechnung: 1 Prozent entspricht vom Ganzen. Definition 3.9 Als Grundwert g bezeichnet man diejenige Größe, die 100% (dem Ganzen) entspricht. Der Prozentsatz wird mit p bezeichnet und die Größe, welche p% von g entspricht, nennt man den Prozentwert w. Es gilt folgende Beziehung: p 100 = w g. i) 135 Studenten nehmen an einer Klausur teil, 45 bestehen sie. Wie Hoch ist die Durchfallquote? ii) Im Schlussverkauf kostet eine Hose nach Reduzierung um 25% noch 65 Euro. Wie teuer war die Hose ursprünglich? iii) Tim und Peter verkaufen zwei Tage lang auf dem Flohmarkt. Am ersten Tag nehmen sie 147 Euro ein, am zweiten 70% mehr als am ersten. Wieviel haben sie insgesamt eingenommen? 4 Vergleichen, Ordnen, Runden Zwei rationale Zahlen mit dem gleichen Nenner lassen sich schnell vergleichen, so ist z.b. 4 > 3. Wie kann man aber rationale Zahlen mit unterschiedlichen 7 7 Nennern vergleichen? Vergleiche mit 13 17! Satz 4.1 Zum Vergleichen rationaler Zahlen kann man diese jeweils erweitern/kürzen, bis sie den gleichen Nenner haben. Anschließend vergleicht man lediglich die Zähler mit einander.

9 Vergleiche 1 4 und 1 5. Definition 4.2 Oft gibt man von einer Dezimalzahl nicht alle Stellen der Dezimaldarstellung an sondern nur eine begrenzte Anzahl. Diesen Vorgang nennt man Rundung. Rundungsregeln: (Kaufmännisches Runden) i) Ist die erste weggelassene Ziffer aus der Menge {0,1,2,3,4} so bleibt die letzte geschriebene Ziffer unverändert (abrunden). ii) Ist die erste weggelassene Ziffer aus der Menge {5,6,7,8,9}, so wird die letzte geschriebene Ziffer um eins erhöht(aufrunden).

10 5 Das Summen- und das Produktzeichen