Differentialrechnung

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1 Dr. Heidemarie Borgwadt Differentialrechnung Springer Fachmedien Wiesbaden 1994 Ursprünglich erschienen bei Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden Lektorat: Annegret Dorn Satz: SATZPUNKT Ursula Ewert, Braunschweig Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN ISBN (ebook) DOI /

2 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Borgwadt, Heidemarie: Differentialrechnung / Dr. Heidemarie Borgwadt. - Wiesbaden: Gabler, 1994 (Gabler-Studientexte: Staatlich geprüfter Betriebswirt) ISBN

3 Hausarbeit des Studientextes Borgwadt, Differentialrechnung (100 Punkte) MK I So i kennzeichnen Sie bitte Ihre Lösungen 1. Gegeben ist die Funktion f: x -+ fix) = 3x2-2x + 4 Ermitteln Sie die Differenzenquotientenfunktion da von f. Untersuchen Sie die Funktion auf Differenzierbarkeit an einer beliebigen Stelle a ihrer Definitionsmenge. Geben Sie gegebenenfalls die erste Ableitung der Funktion an einer Stelle a an. 2. Gegeben ist die Funktion { X 2-3 f: x -+ fix) = 4 x-7 fürx :0;2 für 2 < x Ermitteln Sie die Differenzenquotientenfunktion da von f an der Stelle a = 2. Zeichnen Sie den Graph der Differenzenquotientenfunktion. Untersuchen Sie die Funktion f auf Differenzierbarkeit an der Stelle a = 2. Geben Sie die erste Ableitung von f an der Stelle a = 2 gegebenenfalls an. 3. Gegeben ist die Funktion für-1 :0; x fürx <-1 Ermitteln Sie die Differenzenquotientenfunktion da von f an der Stelle a = -1. Zeichnen Sie den Graph der Differenzenquotientenfunktion. Entscheiden Sie, ob die Funktion f an der Stelle a = -1 differenzierbar ist. Geben Sie gegebenenfalls die erste Ableitung von f an der Stelle a = -1 an. 4. Gegeben sind die Funktionen f: x -+ 3x4-2x 3, g: x -+ ~ (für X;t 0) und h: x -+ Jx - 2 (für x ~ 2) Ermitteln Sie die Bildungsvorschriften der Funktionen f + g, f * h, ~ und hof sowie der zugehörigen Ableitungsfunktionen. 5. In einem Unternehmen wird ein bestimmtes Erzeugnis produziert. In Abhängigkeit von den hergestellten Erzeugniseinheiten entstehen Kosten. Untersuchungen haben ergeben, daß für die Kostenfunktion K die folgende Zuordnungsvorschrift erfüllt ist: K: x -+ K(x) = ix3-3x x + 60 für x ~ 0 x in EE und K(x) in DM a) Ermitteln Sie die Zuordnungsvorschrift der Grenzkostenfunktion. b) Berechnen Sie die Grenzkosten bei einer Ausbringung von a = 6 (in EE) und a = 12 (in EE). Geben Sie eine betriebswirtschaftliche Interpretation der Ergebnisse. c) Ermitteln Sie die zu der Funktion K gehörige Funktion k der durchschnittlichen Kosten und die Funktion kvar der durchschnittlichen variablen Kosten. d) Berechnen Sie die kurzfristige Preisuntergrenze. Schätzen Sie die langfristige Preisuntergrenze mit einer Genauigkeit von einer Stelle nach dem Komma. (30 Punkte) (Bitte wenden)

4 6. Das in Aufgabe 5 untersuchte Unternehmen legte für eine Erzeugniseinheit einen konstanten Preis p = 20 DM/EE fest. Bei diesem Preis herrscht ein Gleichgewichtvon Angebot und Nachfrage. a) Ermitteln Sie die Zuordnungsvorschrift der Erlösfunktion. b) Die Gewinnfunktion besitzt somit die folgende Zuordnungsvorschrift: G: x --> G(x) = E(X)-K(x)=-i'x3 +3x 2 +2x-60 Bei welcher Ausbringung ist der Gewinn maximal? Geben Sie den maximalen Gewinn an. c) Bestimmen Sie näherungsweise die Ausbringungen, für die der Gewinn gleich Null ist. d) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Kostenfunktion K. Untersuchen Sie die Kostenfunktion K und die Gewinnfunktion G auf die Existenz von Wendepunkten. Geben Sie diese gegebenenfalls an. e) Skizzieren Sie die Graphen der Kosten-, der Erlös- und der Gewinnfunktion. (30 Punkte)

5 Inhaltsverzeichnis Verzeichnis der Rechenoperationen und Symbole Die Probleme der durchschnittlichen Steigung und der lokalen Steigung Lokale und durchschnittliche Steigungen von Straßen Durchschnittliche und momentane Geschwindigkeiten Der durchschnittliche Steuersatz und der lokale Steuersatz Berechnung eines Extremwertes Die lokale Steigung des Graphen einer Funktion und die Differenzierbarkeit einer Funktion Ableitungsfunktionen und Tangentenfunktionen Lokale Eigenschaften differenzierbarer Funktionen Ableitungsregeln Anwendungen der Differentialrechnung Der Grenzsteuersatz Grenzkosten, Grenzerlöse und Grenzgewinne Das Minimum der durchschnittlichen Kosten und der durchschnittlichen variablen Kosten Lösungen der Aufgaben zur Selbstüberprüfung Verzeichnis der Abbildungen Stichwortverzeichnis

6 Verzeichnis der Rechenoperationen und Symbole + Addition, gelesen "plus" Subtraktion, gelesen "minus" * Multiplikation, gelesen "mal" Division, gelesen "durch".;- Radizieren mit dem Wurzelexponenten 2, gelesen: "Quadratwurzel aus", "Wurzel aus" r Radizieren mit dem Wurzelexponenten nein, gelesen: "n-te Wurzel aus" an Potenzieren mit dem Exponenten n E IR, gelesen: "a hoch n" x E X x e Y x ist Element der Menge X x ist nicht Element der Menge Y a E {b, c, al : a ist Element der Menge mit den Elementen b, c, a f: x --> y Funktion Umkehrfunktion verkettete Funktion g mit f E' gdw. G G' P K K' Kvar k kvar IN IQ IR llx lly Erzeugniseinheiten Erlös Grenzerlös genau dann, wenn Gewinn Grenzgewinn Preis Kosten Grenzkosten variable Kosten durchschnittliche Kosten durchschnittliche variable Kosten Zahlenbereich der natürlichen Zahlen (ohne Null) Zahlenbereich der rationalen Zahlen Zahlenbereich der reellen Zahlen llx = x2 - xl Differenz von Argumenten lly = Y2 - Yl Differenz von Funktionswerten Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [tl' t21 Momentangeschwindigkeit im Zeitpunkt t

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =

a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) = 50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht

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