Fachrechnen für den Verpackungsmittelmechaniker

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1 Fachrechnen für den Verpackungsmittelmechaniker Fachbezogene Mathematik für die Papier, Pappe und Kunststoffe verarbeitende Industrie HPV e.v., Berlin Redaktion: Jürgen Heinrichs Dieter Pusch

2 Hauptverband Papier- und Kunststoffverarbeitung (HPV) e.v. Chausseestraße, 05 Berlin Tel. 00/4788-0, Fax 00/ Homepage: Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechts ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. 7. unveränderte Auflage 009

3 Vorwort Das vorliegende Fachrechenbuch, das als Ergänzungsband zum Handbuch für den Verpackungsmittelmechaniker zu verstehen ist, beinhaltet eine kompakte Zusammenstellung von mathematischem Grundwissen sowie Formeln, Tabellen und Übungsaufgaben für den Bereich der Papier, Pappe und Kunststoffe verarbeitenden Industrie. Der erste Teil dieses Buches umfasst die allgemeinen mathematischen Sachgebiete, während der zweite Teil auf fachspezifische Gegebenheiten eingeht. Als Benutzer dieses Buches werden besonders Auszubildende und Studierende im Bereich der Papier- und Kunststoffverarbeitung angesprochen. Auch ist die Nutzung durch den Praktiker sinnvoll, um bestimmte Begriffe, Zusammenhänge und Informationen nachzuschlagen, mit denen er nicht ständig konfrontiert wird. Der Dank des Hauptverbandes gilt an dieser Stelle den Mitgliedern des Redaktionsteams, dem die inhaltliche Gestaltung oblegen hat, sowie allen übrigen, die zum Gelingen des Fachrechenbuches beigetragen haben. Wie bereits bei früheren Veröffentlichungen im Bereich der Berufsbildung betrachten wir dieses Werk nicht als endgültig, sondern rufen alle diejenigen auf, die Ergänzungswünsche oder Änderungswünsche haben, mit eigenen Beiträgen aktiv an der weiteren Vervollständigung des Werkes mitzuarbeiten. Die 7. Auflage erscheint unverändert nach dem Umzug des HPV nach Berlin. Berlin, im August 009 Hauptverband der Papier, Pappe und Kunststoffe verarbeitenden Industrie (HPV) e. V. Berufsbildungsausschuß

4 Inhaltsverzeichnis Inhalt.0 Erster Teil - Mathematische Grundlagen Übersicht über die Grundrechenarten Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung Definition abgeleiteter SI-Einheiten Umstellung auf die gesetzlichen Einheiten..... Beispiele Gegenüberstellung von Technischen Einheiten und SI-Einheiten Die Umwandlung gesetzlicher Einheiten.... Metrisches Maßsystem, Umrechnung von Längenmaßen Metrisches Maß Zollmaß Aufgaben Umrechnung von Längenmaßen und Teilmengen Aufgaben zur Umrechnung von Längenmaßen, Flächen und Volumen Potenzen, Wurzeln, Dekadisches-, Duales-, Hexadezimalsystem Potenzen Zehnerpotenzen Aufgaben zur Umwandlung von Einheiten Wurzeln Duales Zahlensystem Aufgaben zu Potenzen, Wurzeln und Dualzahlen Dekadisches-, Duales-, Hexadezimalsystem Rechnen mit Klammern Aufgaben zum Rechnen mit Klammern Rechnen mit Variablen (Buchstabenrechnen) Aufgaben zum Buchstabenrechnen (Rechnen mit Variablen) Bruchrechnen Aufgaben zum Bruchrechnen Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen Aufgaben zur Umwandlung von Brüchen und Dezimalzahlen....8 Dreisatz Einfacher Dreisatz Zusammengesetzter Dreisatz Aufgaben zum Dreisatz... 6 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite II

5 Inhaltsverzeichnis.9 Prozentrechnen Der Prozentwert wird gesucht Der Prozentsatz wird gesucht Der Grundwert wird gesucht Aufgaben zum Prozentrechnen Zinsrechnung Aufgaben zur Zinsrechnung Gleichungen und Verhältnisgleichung Verhältnisgleichungen Aufgaben zu Gleichungen Aufgaben zu Verhältnisgleichungen Flächen Aufgaben zu regelmäßigen Vierecken Aufgaben zu Dreieck und Trapez Aufgaben zu kreisförmigen Flächen Flächenbedarf und Verschnitt Aufgaben zu Flächenbedarf und Verschnitt Kreisumfang (gestreckte Längen) Aufgaben zu gestreckten Längen Körperberechnung Aufgaben zu Körpern Masse (Stoffmenge) Aufgaben zur Masse (Stoffmenge) Gewichtskraft, mechanische Arbeit und Leistung Gewichtskraft Aufgaben zur Gewichtskraft Mechanische Arbeit und Leistung Aufgaben zur mechanischen Arbeit und Leistung Winkel- und Zeitmaße Winkelgrößen Winkelmessung Rechnen mit Winkeln Aufgaben zum Rechnen mit Winkel- und Zeitmaßen Der Satz des Pythagoras Aufgaben zum Lehrsatz des Pythagoras Winkelfunktionen Aufgaben zu Winkelfunktionen... 7 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite III

6 Inhaltsverzeichnis.0 Zweiter Teil Fachbezogene Mathematik Papierberechnung Gewicht (Masse) des Papiers Beispiele zur Papierberechnung Errechnen des Gesamtgewichtes (Masse) Errechnen der Bogenzahl aus dem Gesamtgewicht Errechnen der flächenbezogenen Masse aus dem Gesamtgew Errechnen des Rollengewichtes (Rollenmasse) Errechnen der Rollenlänge Errechnen des Rollengewichtes (Masse) von Folien Dicke des Papiers Preise des Papiers Papier und Klima Aufgaben zur Papierberechnung DIN Formate Nutzenberechnung bei DIN Formaten Aufgaben zu DIN Formaten Nutzenberechnung Nutzenberechnung bei nicht genormten Formaten Nutzenberechnung bei Nutzung der Reststreifen Nutzenberechnung unter Berücksichtigung der Laufrichtung Aufgaben zur Nutzenberechnung Mischen von Lösungen Mischen von Lösungen aus zwei oder mehreren Mischungskomponenten Rechnen mit Mischungen Drehmoment und Hebelgesetz Hebel und Drehmoment Aufgaben zum zweiseitigen Hebel Aufgaben zu Hebel und Drehmoment Riementrieb und Geschwindigkeit Einfacher Riementrieb Mehrfacher Riementrieb Umfangsgeschwindigkeit, mittlere und gleichförmige Geschwindigkeit Mittlere Geschwindigkeit bei Kurbeltrieben Gleichförmige Geschwindigkeit Aufgaben zum Riementrieb und Geschwindigkeiten Zahnradtrieb Einfacher Zahnradtrieb Mehrfacher Zahnradtrieb Aufgaben zum Zahnradtrieb Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite IV

7 Inhaltsverzeichnis.8 Elektrotechnik Ohmsches Gesetz Aufgaben zum Ohmschen Gesetz Elektrische Leistung Aufgaben zur elektrischen Leistung Elektrische Arbeit Aufgaben zur elektrischen Arbeit Elektrischer Widerstand (Leiterwiderstand) Aufgaben zum elektrischen Widerstand (Leiterwiderstand) Reihenschaltung von Widerständen Aufgaben zur Reihenschaltung von Widerständen Parallelschaltung von Widerständen Aufgaben zur Parallelschaltung von Widerständen Wirkungsgrad Aufgaben zum Wirkungsgrad Dreiphasenwechselstrom Drehstrom (Leistungsberechnung) Aufgaben zu Drehstrom-Leistungsberechnung Mathematische Grundlagen der Pneumatik und Hydraulik Pneumatik Druckluftverbrauch Aufgaben zur Pneumatik Hydraulik Kolbenkräfte Aufgaben zur Hydraulik Lohn-, Leistungs-, Kostenrechnen Die Lohnerrechnung Kostenrechnen Übungsaufgaben zur Lohnberechnung Übungsaufgaben zum Leistungsrechnen Übungsaufgaben zum Kostenrechnen... 0 Notizen... Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite V

8 Erster Teil.Teil Mathematische Grundlagen Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

9 Teil Übersicht der Grundrechenarten. Übersicht der Grundrechenarten Rechenarten Addieren Begriffe a + b = c 8 + = 0 Summand plus Summand gleich ausgerechnete Summe Subtrahieren c - b = a 0 - = 8 Minuend minus Subtrahend gleich ausgerechnete Differenz Multiplizieren b + b + b + b + b = 5b = 5 Gleiche Summanden ergeben ein Produkt a b = c 5 = 0 Faktor mal Faktor gleich ausgerechnetes Produkt Dividieren c : b = a 0 : = 5 Dividend durch Divisor gleich ausgerechneter Quotient Potenzieren a a a = a = Gleiche Faktoren ergeben eine Potenz (Stufenzahl) a n = x = 8 Lies: a hoch n gleich x hoch gleich 8 Basis Exponent Potenzwert (Grundzahl) (Hochzahl) n x = a, weil a n = x Radizieren Logarithmieren 8 =, weil = 8 Lies: n - te Wurzel aus x gleich a. Wurzel aus 8 gleich Wurzelexponent Radikand Wurzelwert log a x = n, weil a n = x log 8 =, weil = 8 Lies: Logarithmus zur Basis a von x gleich n Logarithmus zur Basis von 8 gleich Basis Numerus Logarithmus Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

10 Teil Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung. Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung Durch das Gesetz über Einheiten im Meßwesen vom.juli 969 und der Ausführungsverordnung zum Gesetz über Einheiten im Meßwesen vom 6.Juni 970 wurde das Internationale Einheitensystem (SI) für die Bundesrepublik rechtsverbindlich. Übergangsfristen, die für bisher verwendete Einheiten eingeräumt wurden, sind abgelaufen. Deshalb werden in diesem Rechenbuch nur gesetzliche Einheiten verwendet. Es gibt 6 Basisgrößen und dazugehörige Basiseinheiten: Basisgröße Länge Masse Zeit elektrische Stromstärke thermodynamische Temperatur Lichtstärke Basiseinheit Meter Kilogramm Sekunde Ampere Kelvin Candela Kurzzeichen m kg s A K cd Aus den Basisgrößen wurden viele für den Maschinenbau wichtige Größen und Einheiten abgeleitet, z.b. Abgeleitete Größe Kraft Druck Energie (Arbeit) Leistung elektrische Spannung Einheit Newton Pascal Joule Watt Volt Kurzzeichen N Pa J W V Beziehung N= kgm/ s Pa= N/ m J= Nm W= J s V= A W Außerdem läßt das Gesetz auch Einheiten zu, die nicht Basiseinheiten und nicht direkt abgeleitete Einheiten sind. Es handelt sich um Einheiten, die sich aus einem bestimmten Zahlenwert Einheit ergeben, z.b. Größe Zeit Masse Druck Zeit Zeit Einheit Minute Tonne Bar Stunde Tag Kurzzeichen min t bar h d Beziehung min = 60 s t = 000 kg bar = h = 60 min d = 4h Pa h =600 s d = 86400s Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

11 Teil Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung.. Definition abgeleiteter SI-Einheiten Newton Pascal Joule Watt Kraft Druck Newton ist die Kraft, die der Masse kg die Beschleunigung von m/ s erteilt. N = kg m/ s Pascal ist der Druck, den die Kraft Newton senkrecht auf eine Fläche von m ausübt. Pa = N/m Joule ist die Arbeit (Energie), die verrichtet wird, wenn der Angriffspunkt der Kraft N in Richtung der Kraft um m verschoben wird. J = Nm = Ws Watt ist die Leistung, bei der in Sekunde die Arbeit Joule umgesetzt wird. W = J/s = Nm/s Die gesetzliche Einheit für die Kraft ist das Newton: Kraft = Masse Beschleunigung N = kg m/s = kg m/s Die gesetzliche Einheit für Druck ist das Pascal: Druck = Kraft durch Fläche Pa = N/m Bei Gasen und Flüssigkeiten ist es vorteilhafter, mit der zugelassenen Einheit bar zu rechnen: bar = 0 5 Pa = 0 5 N/m = 0 N/cm Arbeit, Energie, Wärmemenge Die gesetzliche Einheit für diese Größen ist das Joule: Joule = Kraft Länge J = N m = Nm Joule = Leistung Zeit J = W s = Ws Verknüpfung Leistung J = Nm = Ws = kg m /s Die gesetzliche Einheit für die Leistung ist das Watt: Watt = Arbeit durch Zeit = Wärmemenge durch Zeit W = Nm/s = J/s Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 0

12 Teil Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung.. Umstellung auf die gesetzlichen Einheiten Die Umstellung auf die gesetzlichen Einheiten kann in der Technik mit genügender Genauigkeit nach DIN 05 erfolgen: kp 0 N Für die bei der Umstellung sich ergebenden Näherungswerte darf das mathematische Zeichen (rund, etwa) nicht durch die Abkürzung ca. ersetzt werden. Das Gewicht im Handel und in der Wirtschaft ist ein Wägeergebnis und wird deshalb in g, kg, t angegeben. Das Gewicht, das die Masse in kg bezeichnet, wird wie bisher mit der Dichte errechnet. Dichte = ρ ( Roh ) Alle Lastgrößen werden in Masseeinheiten (g, kg, t) angegeben (z.b. Last, Eigenlast, Arbeitsgewicht, Bruchlast, Achslast). Alle Kraftgrößen werden in Krafteinheiten (N, kn...) angegeben (z.b. Kraft, Beanspruchung, Tragkraft, Auftriebskraft, Hubkraft u. dgl.). Es ist von Gewichtskraft zu sprechen, wenn Gewicht als Kraftgröße gemeint ist. Diese Größe wird in Krafteinheiten angegeben. Arbeit, Energie und Wärmemenge werden in der gleichen Einheit gemessen, somit wird eine Umrechnung überflüssig. Alle mit dem Luftdruck zusammenhängenden Größen (Flüssigkeiten, Gase, Dämpfe) sind in bar anzugeben. Dezimale, Vielfache oder dezimale Teile der Einheiten sind nur dann zu bilden, wenn dadurch praktisch brauchbare Zahlenwerte entstehen, z.b. 400 N =,4 0 N =,4 kn a) Winkeleinheiten (Grad, Minute, Sekunde), b) Zeiteinheiten (Tag, Stunde, Minute), aber für Sekunden besteht eine Ausnahme; c) bei Celsiusangaben in Grad Temperaturdifferenzen werden in Kelvin ausgedrückt, z.b. 90 C - 5 C = 7 C oder auch 7 K Bei Temperaturdifferenzen entspricht C = K. Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

13 Teil Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung.. Beispiele Bezeichnung früher heute Masse (Gewicht) Kraft Druck Spannung Leistung Temperatur Moment Druck kg kp at kp/mm PS 0 C kpm mws kp/m kg 0 N bar 0 N/mm 0,76 kw 7,5 K 0 Nm 0, bar 0 Pa = 0N / m..4 Gegenüberstellung von Technischen Einheiten und SI-Einheiten Technische Einheiten (früher) SI-Einheiten (heute) genauer Faktor Kraft kp 0 N kp dan p cn Druck, mechanische Spannung at bar ( bar = 0 5 Pa) atm,0 bar m WS 0, bar kp/m 0 Pa ( Pa = N/m ) kp/cm 0, N/mm kp/mm 0 N/mm Arbeit, Energie, Wärmemenge kpm 0 Nm ( Nm = J = Ws) kcal 4, kj kcal, Wh Leistung kpm/s 0 W ( W = J/s = Nm/s) PS 76 W 9, , , ,98067,05 0, , , , , ,8680,6 9, ,5 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

14 Teil Gesetzliche Einheiten und ihre Umwandlung..5 Die Umwandlung Gesetzlicher Einheiten Größe Formelzeichen Länge Weg Fläche Volumen l s A V SI - Einheit Zeichen Umrechnung in andere gesetzliche Einheiten Meter m m = 00 cm = 000 mm Quadratmeter m m = 0000 cm = mm = 0 6 mm Kubikmeter m m = 000 dm Zeit t Sekunde s dm = Liter s = min 60 Formel oder DIN - Norm Beispiel Kreisfläche A = r π d π A = 4 Beispiel Prismen V = A h Geschwindigkeit v Meter durch Sekunde m s m 60m = s min v = t s Beschleunigung Volumenstrom Umdrehungsfrequenz (Drehzahl) a Q n m Meter durch Sek. hoch zwei s Kubikmeter durch Sekunde Umdrehungen je Sekunde m s s Fallbeschleunigung (gerundet) m m g = 9,8 0 s s l Liter durch Minute min m l = s min 60 = s min V Q = t Q = v A Umdrehungen je Minute min Masse m Kilogramm kg m = V ρ DIN 05 Dichte ρ kg t/m DIN 06 kg durch Kubikmeter m kg/dm g/cm Kraft F Newton N Druck p N Newton durch Quadratmeter m Pascal Pa kg m F = m a N = s F G = m g Bar bar N m = 0,0000 bar = Pa N 5 N bar = 0 = 0 cm m Pa = 0 5 bar DIN 05 F p = A DIN 4 Temperatur(thermodynamische) (Celsiustemperatur) TΘ t,ϑ Kelvin K Celsius C Die Temperaturdifferenzen werden in K ausgedrückt. T = t + T 0 T 0 = 7,5 K Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

15 Teil Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnung von Längenmaßen. Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnung von Längenmaßen.. Metrisches Maß Die Länge ist eine Basisgröße und hat als Einheit das Meter mit dem Zeichen m. Kilometer Hektometer Dekameter Meter Dezimeter Zentimeter Millimeter Mikrometer km hm dam m dm cm mm µm 0,00 km = 0,0 hm = 0, dam = m = 0 dm = 00 cm = 000 mm = µm Beispiel : 4,8 km =? cm Lösung: km = 000 m = 4,8 km 000 m = 4800 m m = 00 cm = 4800 m 00 cm = cm Beispiel : 0 µm =? mm Lösung: µm = mm = 0 µm 000 = 0, mm.. Zollmaß inch = Zoll = 5,4 Millimeter Teilmaße des Zoll werden mit Brüchen angegeben, z.b. 5 5 inch = 5,4 mm inch = 5,4 mm = 5,875 mm 8 8 Verwendung in der Computertechnik 5 5 z.b. dpi = Bildpunkte bezogen auf inch inch = inch = 5,4 mm =,75 mm Aufgaben Einheiten umwandeln Subtrahiere in mm a) 4,8 cm in mm e) 4,08 mm in m a), cm b) 7,4 mm b),08 dm in mm f) 8679,5 µm in dm - 75 µm - 75 µm c) 0,08 m in mm g) 0,854 km in m d) 4 µm in mm h) 666, µm in cm c) 6, dm d) 64, mm µm - 7,5 µm Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

16 Teil Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnung von Längenmaßen Addiere in mm a), m b) 76 µm 0,5 mm cm 6,4 µm 4 cm 8, dm 0 µm + 44, cm +, mm Berechne in mm a) inch b) inch 4 c) inch 8 d) 5 inch..4 Umrechnung von Längenmaßen und Teillängen Metrisches Maßsystem Die Einheit ist das Meter. Die Unterteilung erfolgt nach dem Zehnersystem: m = 0 dm = 00 cm = 000 mm dm = 0 cm = 00 mm cm = 0 mm Folgerung Die Längenumrechnungen von Einheit zu Einheit ist 0, d.h. also: Zehnersprung je Stelleneinheit. Das Komma wandert dabei von Einheit zu Einheit um Stelle. m = m dm = 0, m cm = 0,0 m mm = 0,00 m Die Flächenumrechnung von Einheit zu Einheit ist 00, also: Hundertersprung je Stelleneinheit. Das Komma wandert dabei von Einheit zu Einheit um Stellen. m = m dm = 0,0 m cm = 0,000 m mm = 0,00000 m Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

17 Teil Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnung von Längenmaßen Die Volumenumrechnung von Einheit zu Einheit ist 000, d.h. also: Tausendersprung je Stelleneinheit: Das Komma wandert dabei von Einheit zu Einheit um Stellen. m = m dm = 0,00 m cm = 0,00000 m mm = 0, m Teillängen Bei der Umrechnung von Teillängen ist die Gesamtlänge = Summe der Teillängen l = l + l +...l n Beispiel Von einem,6m langen Flachstahl werden zwei Teillängen von 840 mm und 5 cm benötigt. Berechne die Restlänge in m. Gesucht: l in m Vorüberlegung: Gesamtlänge = Summe der Teillängen Gegeben: L =,6 m Lösung: L = l + l + l l = 840 mm l = L - l - l l = 5 cm l =,6 m - 0,84 m -,5 m l =,5 m..5 Aufgaben zur Umrechnung von Längenmaßen, Flächen und Volumen. Verwandle in cm: 0,6 dm; mm; 0,8 m;,7 dm; 0,0 m; 6,8 mm; 0,68 dm. Verwandle in dm:, m; 0,48 m;,4 mm; 8,6 cm; 7,88 mm;,08 m; 7,85 cm. Verwandle in mm:,4 cm; 6,8 m; 5,8 dm; 0, m; 6,76 cm; 0,685 m; 0,0045 dm 4. Verwandle in m:,84 dm; 76 cm; 0,5 mm; 7,8 cm;,4 dm; 48,5 mm; 0,85 cm 5. Addiere in mm:,4 m + 4 cm + 68, dm + 4, mm + 0,085 m +,485 cm + 0,05 dm 6. Addiere in cm:,4 m + 8 cm + 0, mm + 0,0 dm + 0,045 m + 0,00875 dm +, cm Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

18 Teil Metrisches Maßsystem, Zollmaße, Umrechnung von Längenmaßen 7. Subtrahiere in m: 86,4 m - 8, cm -,45 cm - 0,87 dm - 0,004 m - 0,08 dm 8. Addiere in dm : 9,8 cm + 0, m mm + 0, m +, cm + 0, mm 9. Addiere in cm,4 m + 0,78 dm + 60 mm + 0,084 dm + 0,05 m 0. Ein Quadratstahl von 40 mm Länge wird um 8 cm verkürzt. Wie lang wird das Reststück (in m)?. Zwei Rohrenden von 40 mm und 8, cm Länge werden stumpf voreinandergeschweißt. Berechne die Länge des geschweißten Rohres (in cm)!. Der Mittenabstand zweier Bohrungen mit den Durchmessern 44 und mm beträgt 8,5 mm. Wieviel Material bleibt zwischen den Bohrungen stehen?. Eine Achse von 7 mm Länge soll in drei voneinander gleichmäßigen Abständen fach gelagert werden. Wie groß wird ein Abstand? 4. In einen Flachstahl von 5,8 m Länge sind 6 Löcher zu bohren, die vom Ende und auch untereinander den gleichen Abstand haben. Wie groß ist er? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

19 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem.4 Potenzen, Wurzeln, Dekadisches -, Duales -, Hexadezimalsystem.4. Potenzen Werden gleiche Faktoren multipliziert, kann man dafür die abgekürzte Schreibweise der Potenz verwenden. Beispiel: Hochzahl oder Exponent = \ / Grundzahl oder Basis gleiche Faktoren Die Hochzahl (Exponent) einer Potenz gibt an, wie oft die Grundzahl (Basis) als Faktor anzuschreiben ist. Beispiele: = = = = 9 sprich: hoch oder zum Quadrat Rechnen mit Potenzen Regel: = = 7 sprich: hoch Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten kann man addieren oder subtrahieren. Beispiel: + = = 4 5 Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Beispiel: = + = 5 / \ / \ = 5 5 = 8 Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert. 5 Beispiel: = 5 = 5 = = = Brüche werden potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

20 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem.4. Zehnerpotenzen Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise Das Rechnen mit Zehnerpotenzen bietet besonders bei der Lösung technischer und physikalischer Aufgaben große Vorteile. Mit ihnen können sehr große und sehr kleine Zahlenwerte auf einfache Weise ausgedrückt werden. Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Vorsatzzeichen T G M k h da Zehnerpotenz Bedeutung Billionenfach Milliardenfach Millionenfach Tausendfach Hundertfach Zehnfach Beispiel Terawatt = TW = W Gigawatt = GW = W Megawatt = MW = W Kilowatt = kw = 000W Hektowatt = hw = 00W Dekawatt = daw = 0W Dezimale Teile Vorsatz Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Vorsatzzeichen d c m µ n p Zehnerpotenz Bedeutung Zehntel Hundertstel Tausendstel Millionstel Milliardstel Billionstel Beispiel Deziwatt = dw = 0, W Zentiwatt = cw = 0,0W Milliwatt = mw = 0,00 W Mikrowatt = µw = 0,00000 W Nanowatt = nw = 0, W Pikowatt = pw = 0, W Die Zahlen sind Potenzwerte von Potenzen mit der Basis 0 oder 0. Es lassen sich jedoch auch beliebige ganze oder gebrochene Zahlen als Zehnerpotenz mit Beizahl schreiben, wenn man sie in entsprechende Faktoren zerlegt. 6 Beispiele : = 8, = 8,5 0 0, = 9,6 = 9,6 = 9, Im ersten Beispiel wurde das Komma um 6 Stellen nach links verschoben und als Faktor die Potenz 0 6 beigefügt, im zweiten Beispiel wurde das Komma um 5 Stellen nach rechts verschoben und die Potenz 0 5 beigefügt. 0 5 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

21 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem Beispiel : Umwandlung durch Vorsätze a) 5 dm in m Lösung: 5 dm 0, m =,5 m b) 6, dan in N 6, dan 0 N = 6 N c) ma in A ma 0, 00 A = 0,0 A d) 4,6 kj in J 4,6 k 000 J = 4600 J Beispiel : Änderung der Vorsätze a) 5 µ in mm Lösung: 5 µm 0,00 mm = 0,05 mm b) 65 mg in g 65 mg 0,00 g = 0,065 g c) 60 W in kw 60 W 0,00 kw = 0,06 kw d) 84,6 kn in MN 84,6 kn 0,00 MN = 0, MN.4. Aufgaben zur Umwandlung von Einheiten. Verwandle a) 76 mg =? dag e) 750 mg =? cg b) 00 mw =? W f) 5 dag =? kg c) kw =? MW g) 6, Mg =? kg d) 0 mbar =? bar h),4 kn =? MN. Verwandle folgende Größen Die Nullen sollen entfallen Die Dezimalstellen sind zu beseitigen a) m e) 0,005 W b) 5000 N f) 0,00 kj c) 000 mbar g) 0,06 MN d) dan h) 0,00085 MJ. Verwandle die nachfolgenden Größen so daß die Zahlenwerte zwischen 0, und 000 liegen: Beispiel: 0,005 kw = 0, W = 5 Watt a) 8500 Pa e) 0,007 kg b) kj f) 0,0087 t N c) m g) 0,07 MW d) 7540 J h) 0,00000 kn 4. Verwandle m m a) 64 Ncm in Nm c) 90 in s min e) 45 kg in t b) 85 dan N in cm mm kg d) 56 t in Mg f) 4,5 in m cm g Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 0

22 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem.4.4 Wurzeln Die Umkehrung der Potenzrechnung ist das Wurzelziehen. Beispiel: Wurzelexponent 7 = Wurzelwert Radikand 7 heißt: Suche die positive Zahl, die dreimal als Faktor geschrieben den Radikand 7 ergibt. Beachte:. Wurzeln mit dem Exponenten heißen Quadratwurzeln.. Wurzeln mit dem Exponenten heißen Kubikwurzeln.. Der Wurzelexponent wird nicht geschrieben. 4. Werte von Quadrat- und Kubikwurzeln entnimmt man Tabellen oder dem Taschenrechner. Beispiele: 5 = 5; weil 5 = 5 8 = ; weil = = ; weil = 8 4 d = d; weil d d= d 9 + 7= 6 = 0-4= 6 = 4; 4; weil die Radikanten addiert werden weil die Radikanten subtrahiert werden 4 6= 44 = ; weil die Radikanten multipliziert werden 50 : = 5 = 5; weil die Radikanten dividiert werden.4.5 Duales Zahlensystem Das logische System eines Elektronenrechners oder einer numerischen Steuerung beschränkt sich meist bei der Darstellung aller Begriffe und Zahlen auf nur zwei ( lat.: bi ) Zeichen und heißt deshalb Binärsystem. Das wichtigste binäre Zahlensystem ist das Dualsystem mit den Zeichen 0 (keine Spannung) und (volle Spannung). Bewertet man die Stellen einer Dualzahl mit den Werten der Zweierpotenz, können damit beliebig große Dezimalzahlen dargestellt werden. Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

23 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem usw Stelle Beispiel einer Dualzahl usw Zweierpotenz usw Potenzwert Dezimalzahl des o.g. Beispiels = Aufgaben zu Potenzen, Wurzeln und Dualzahlen. Potenzen a) Berechne die Werte folgender Potenzen: ; ;4 ;5 ; ; ;4 ;5 ; 5 ; 4 ;5 5 ;4 4 ;0 ;0 4 ;0, ;0, b) Bilde Potenzen: 4 mm mm mm,5 cm cm 5 cm,5 m 4 m,5 m. Multiplikation und Division Berechne die Werte a) 5 5 c) 4 b) d) Quadratwurzeln a) b) c) d) 50cm =? e) =? 75cm =? f) 00 =? 7,dm =? g) 0, 07 =? 0,5m =? h) 0, 005 =? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

24 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem 4. Kubikwurzeln a) b) c) d) 5dm =? e) 0 0,65dm =? f) 0, 54 0,4dm =? g) ,86dm =? h) 0, 085 =? =? =? =? 5. Dualzahlen Verwandle folgende Dualzahlen in Dezimalzahlen a) 00 0 c) b) d) Dezimalzahlen Verwandle folgende Dezimalzahlen in Dualzahlen a) 5 c) 4 b) 8 d) Werkzeugcodierung 4 Bei Bearbeitungszentren müssen Werkzeuge gekennzeichnet sein. Werkzeughaltern werden Ringe aufgesetzt. Sie entsprechen den Stellen einer Dualzahl. 8. Codierung eines Schlüssels 5 4 Nr. Gesucht wird die Schlüsselnummer Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

25 Teil Potenzen, Wurzeln, Dekatisches-, Duales-, Hexadezimalsystem.4.8 Dekadisches -, Duales -, Hexadezimalsystem Numerische Steuerungen in der Fertigungstechnik Zahlensysteme Für die Bearbeitung der Adressen von Speicherzellen, Eingängen, Ausgängen, Zeiten, Merkern usw. durch eine speicherprogrammierbare Steuerung wird nicht das Dezimalsystem (Zehnersystem) sondern das Dualsystem (Zweiersystem) verwendet. Dualzahlen Das duale Zahlensystem hat nur die Ziffern 0 und, die technisch sehr leicht darstellbar und auswertbar sind. Die Stellenwerte einer Dualzahl sind die Potenzen von zwei. Um große Zahlenwerte übersichtlicher darzustellen, wird häufig der BCD-Code verwendet. (BCD - Binary Coded Dezimal) Beispiel: Die Umsetzung der Dezimalzahl 9 in einen 8 bit Code. Siehe Seite. Hexadezimalzahlen Das hexadezimale Zahlensystem hat 6 verschiedene Zeichen und zwar 0-9 und A-F. Die Stellenwerte einer Hexadezimalzahl sind die Potenzen von 6. Das hexadezimale Zahlensystem kann als abgekürzte Schreibweise des dualen Zahlensystems angesehen werden, da es mit wesentlich weniger Stellen bei der Darstellung von Zahlenwerten auskommt. Dezimalzahl Hexadezimalzahl Dualzahl A B 0 0 C D E F Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

26 Teil Rechnen mit Klammern.5 Rechnen mit Klammern Bei den Grundrechenarten unterscheidet man:. Strichrechnung + Addition - Subtraktion. Punktrechnung Multiplikation Division Sind beide Rechnungsarten in einer Aufgabe vermischt, gilt: Punktrechnung vor Strichrechnung. Beispiel: : 9 =? Lösung: = 6 Zusammenhängende Größen einer Aufgabe setzt man zwischen Klammern. Regel: Beispiel: Klammern kann man weglassen, wenn vor der Klammer ein + (4-5) - 6 =? + Zeichen steht. + (7-5) - 6 =? = = 64 Steht vor einer Klammer ein - Zeichen, kann man die Klammer 4 - (++4-7) + =? auflösen, wenn jedes Glied in der Klammer entgegengesetzte = 59 Vorzeichen erhält. Klammern werden mit einer Zahl multipliziert, indem man 4 (6+-7) =? entweder jedes Glied in der Klammer mit der Zahl multipliziert =? oder zuerst den Wert der Klammer errechnet und dann multipliziert. 4 ( ) = 48 Klammern werden durch eine Zahl dividiert, in dem man entweder (4-4+5) : 7 =? jedes Glied in der Klammer durch die Zahl dividiert oder zuerst 4 : 7-4 : : 7 =? den Wert der Klammer errechnet und dann teilt = 9 (6) : 7 = 9 Beim Multiplizieren und Dividieren ergeben gleiche Vorzeichen + - (6+4-44) =? und ungleiche Vorzeichen = + mal + ergibt + + mal - ergibt - mal - ergibt + Klammern werden miteinander multipliziert, indem man jedes (+7) (5-) =? Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer =? multipliziert = 60 Eckige Klammern schließen runde Klammern ein. Man rechnet [ - (+5 6) + 7] =? zuerst die runde Klammer. [ - + 7] =? [5] = 5 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

27 Teil Rechnen mit Klammern.5. Aufgaben zum Rechnen mit Klammern. Punkt- und Strichrechnungen a) =? f) 6 0 0, =? 0 b) , =? g) 7 : 5 -,5 :,6 + c) 48 : =? h) d) : ,4-9 0,4 =? i) e) 64 0, 6,6 0, 5, 7, + - =? j) 0 4. Rechnungen mit Klammern a) 8,5 + (5,5 -,5 + 6) -,5 =? b) (4-9) - (4-4 + ) - ( - 5) =? c) (, +,8-4,6) + (,4-5,8) - (4,4-6,6) =? d) 4,7 - (,6-7, 4 +,5,5) -,4 : 4 +,95 =?. Multiplikation und Division von Klammern a) (4 -, ) =? b) (8 + 9) - 4 ( - 5) =? c) (5-6) ( + ) =? d) 5 : (9 - ) - 6 : (0-6) =? e) (0 + 7 ) : 8 + (9,5-5,5) : 0,5 =? f) : ( -,5 + 7,5 5) + 6,5 =? 4. Rechnung mit mehreren Klammern a) ( + ) (4-9) =? b) (9-4) ( + 4-8) : =? c) 4 - (5 + ) (7-4,5 +,5) + 4 =? 64 (08 9) 5 (+ 4,5 5) =? d) [ ] [ ] e) 76 + [ 7 (5 4+ )(4+ 8 ) ] f) - [ (6+ ) ]: [( 5 0 9),5] - ( ) =? 5. Klammerrechnungen + =? ,5 =?,5 5 0, 6 7+ =? 0, =? 4 0,5 a) 4 + (5-4) =? e) (64-7) : (5-6) =? b) 6 + (8 - ) =? f) (65-4) : =? c) (4-5) + 5 (6-4) =? g) (4 -,5) =? d) (64 ) - (88-6,5) =? h) 78 : - ( : -,5) =? 4,6 =? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

28 Teil Rechnen mit Variablen.6 Rechnen mit Variablen ( Termen ) Beim Rechnen mit Variablen (Termen) unterscheidet man:. Zahlen ; 0; ; ½;.... Variable a; b; c;... Für das Rechnen mit Variablen gelten die selben Regeln wie für das Rechnen mit Zahlen. Beispiel: Bilderrahmen Breite: 50 cm Höhe : 90 cm gesucht: Gesamtlänge l des Bilderrahmens Lösung: Gesamtlänge = x Höhe + x Breite l =. h +. b l =. 90 cm cm l = 80 cm + 00 cm l = 80 cm. Variable stehen häufig mit den reellen Zahlen:. b Zahl Variable. Auf das Malzeichen zwischen reeller Zahl und. b = b Variable wird meist verzichtet:. Steht eine Variable ohne reelle Zahl, so muß b = b man sich die reelle Zahl dazudenken: Rechnen mit Variablen ( Termen ) : Regeln Gleichnamige Variable kann man addieren oder subtrahieren, indem man die reelle Zahl addiert oder subtrahiert. Ungleichnamige Variable dürfen nicht addiert oder subtrahiert werden. Beispiel: a + a = a b + 5b = 8b 9c - c = 6c a + 5b - 4b - a = a + b Ausdrücke mit Variablen kann man multiplizieren, a. 4b = ab indem man die Zahlen multipliziert und die a. 9c. b = 54abc Variablen als Faktor dazuschreibt. a. 7a = a. a = a Die Reihenfolge der Faktoren darf vertauscht 5. 4b. a = 60ab werden. Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

29 Teil Rechnen mit Variablen Klammerausdrücke mit Variablen werden nach (a + 4b) = a + b den Regeln, die in Kapitel.5 aufgestellt sind, (-) (c - 5b) = -6c + 0b = 0b - 6c berechnet. (4a + b) (a - 4b) = a - 6ab + 6ab - 8b Variablen kann man dividieren, indem man die a : 4b = a = 4b a b = a - 0ab - 8b reellen Zahlen und Variablen kürzt. abc abc : 4abc = = a 4abc.6. Aufgaben zum Buchstabenrechnen (Rechnen mit Variablen). Eine Firma fertigt rechteckige Rahmen in Größen. Größe Länge Breite [mm] a) Stelle eine Formel für die notwendige Werkstofflänge auf. b) Berechne den Materialbedarf für die Rahmengrößen und.. Bei der Wareneingangskontrolle werden Kisten mit je 5 Teilen und Kisten mit je 85 Teilen, jeder Kiste Teile zur Überprüfung entnommen. Stelle eine Formel auf um die Reststückzahl zu berechnen.. Im Magazin soll der Ölvorrat überprüft werden. In der Liste werden Fässer mit je 0 Liter Öl und 4 Büchsen mit je,5 Liter geführt. Stelle eine Formel auf für den Gesamtvorrat unter Benutzung der allgemeinen Zahlen: n und m für die Fässer und Büchsen a und b für die Ölmenge in Litern 4. Bei Sägezuschnitten ist die Schnittbreite des Sägeblattes zu berücksichtigen. Gesucht wird die Formel für die Gesamtlänge bei 4 Zuschnitten, und die Werkstofflänge, wenn ein Zuschnitt a = mm die Sägeblattbreite s =,5 mm betragen. 5. Addition und Subtraktion von Termen a) 4a+5b+a b) 6,4r+5,8s+74s+7,9r+0,6s c) 8a+5a-7a+b d) c+6a-4b+(8b-8a) e) 6b-a-(8a+ b) f) 4b+b+6c-(c+b) Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

30 Teil Rechnen mit Variablen 6. Multiplikation von Termen a) (-) (a-) d) 4 b(a-+4c) b) (+4)(6a-b+c) e) (-5x)(n-6c) c) (4 a-b+c)(-0,) f) (-a) ( x-) 7. Multiplikation und Addition von Termen a) 6x(a+4b) =? d) (6x+n)4-x =? b) n(a-b) =? e) (7,a-x)0,-6x =? c) 0,0(x-n+4c) =? f) (0,b-c)5-b =? 8. Multiplikation von Summen a) (x-) (a+4) =? d) (x-)(n-4) =? b) (n-5) (n+) =? e) (x-)(y-6) =? c) (x+4) (x-5) =? f) (0,x-)(0,5y+) =? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

31 Teil Bruchrechnen.7 Bruchrechnen Brüche Ein Bruch besteht aus Zähler, Nenner und Bruchstrich, z.b. Name Beispiel Erklärung echter Bruch Zähler kleiner als Nenner unechter gemischte Bruch Zahl 8 5 Zähler größer als Nenner Ergebnis eines unechten Bruchs gleichnamige Brüche alle Nenner sind gleich ungleichnamige Brüche die Nenner sind unterschiedlich Scheinbruch 5 Nenner ist gleich Regel: Beispiel: Beim Erweitern ist der Zähler und der Nenner eines Bruches mit Erweitern mit 6 derselben Zahl zu multiplizieren. 6 6 = = 6 Der Wert des Bruches ändert sich nicht. Beim Kürzen ist der Zähler und der Nenner eines Bruches durch Kürzen durch : 6 dieselbe Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich nicht. = = : 6 Gleichnamige Brüche kann man addieren bzw. subtrahieren indem man die Zähler addiert bzw. subtrahiert. Der Nenner bleibt unverändert. Ungleichnamige Brüche kann man erst addieren bzw. subtrahieren, wenn sie durch einen Hauptnenner gleichnamig geworden sind. Im Hauptnenner müssen alle Einzelnenner aufgehen. Die Zähler werden mit dem Vielfachen, wie die Nenner in den Hauptnenner aufgehen, multipliziert = = = = = = = = = Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 0

32 Teil Bruchrechnen Ermitteln des Hauptnenners durch Zerlegung in Primfaktoren. Aufgabe: Suche den gemeinsamen Nenner von 4, 9, 6,, 64, 44 Erklärung: 4 = 9 = 6 = = 7 64 = 44 = 7 = 4.0 Die Zahl 4.0 läßt sich durch 4, 9, 6,, 64, 44 teilen und geht glatt auf. Erklärung 6 6 Brüche kann man multiplizieren, indem man Zähler mit Zähler 6= = = = 4 4 und Nenner mit Nenner multipliziert. Eine ganze Zahl wird als Scheinbruch eingesetzt und eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch verwandelt. 6 = 5 6 = 5 = 4 Brüche kann man dividieren, indem man den Bruch im : = = 4 Zähler mit dem Kehrwert des Bruchs im Nenner multipliziert. Eine ganze Zahl wird als Scheinbruch eingesetzt und eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch verwandelt. : 6 = 6 = 9 Es ist ratsam, die Zahlen so weit wie möglich zu kürzen. Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

33 Teil Bruchrechnen.7. Aufgaben zum Bruchrechnen. Umwandlung von Brüchen a) Verwandle in gemischte Zahlen ; ; ; ; b) Verwandle in unechte Brüche: ;8 ; ;0 ; Erweitern a) mit : ; 4 ; ; 7 5 b) mit 7: ; ; ; c) mit 9: ; 6 ; ; d) mit 5: ; ;4 ; Kürze folgende Brüche a) 5 ; 45 6 ; b) 7 ; ; 6 c) 48 ; ; d) 04 ; 4 8 ; Addition 7 5 a) + =? b) + + =? c) =? d) + + =? Subtraktion a) =? b) 4 =? c) =? d) =? Addition und Subtraktion a) + =? b) + =? c) + + =? d) 5 + =? Multiplikation 8. Division a) mit : ; ; ; b) mit 7: ; ;5 ; a) durch 5: ; ; ; c) mit : ; ; ; d) mit : ; ;4 ;7 b) durch 9: 5 ; ; ; Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

34 Teil Bruchrechnen.7. Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen 5 = wie oft ist die 8 in der 5 enthalten? 8 5 = 0,65 = Dezimalzahl = 5 : 8 = 0,65 8 Aufgabe: Für eine Arbeit braucht man 7 4 Stunden. Wieviel Minuten sind das? Lösung: 4 : 7 = 0,574 Stunden 0,574 Std. 60 = 4,8 Minuten 0,8 Min 60 = 7 Sekunden = 4 Minuten und 7 Sekunden Aufgabe: Lösung: Für eine Arbeit braucht man 7 Stunden. Wieviel Stunden und Minuten sind das? 4 7 = 7,75 Stunden 4 7 Stunden = 7 Stunden 0, 75 Std. = 0, = 45 Minuten 7, 75 Std. sind 7 Std Minuten.7. Aufgaben zur Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen 5. 8, 9 + 0, (, 4 +,5 4 ). Für eine Arbeit braucht man Stunden. Wieviel Minuten sind das? 4. Für eine Arbeit werden 6,5 Stunden kalkuliert. Wieviel Stunden und Minuten sind das? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite

35 Teil Dreisatz.8 Dreisatz.8. Einfacher Dreisatz Der Dreisatz setzt sich aus Sätzen zusammen (Einfacher Dreisatz). ) Einem Angabe- oder Aussagesatz ) Einem Fragesatz ) Dem Lösungssatz Merke:. Das, wonach gefragt wird, steht am Schluß des Satzes. Was hinten über dem gefragten Wert x steht, steht oben immer auf dem Bruchstrich.. Der Schluß der Vielfalt zur Einheit führt zum Teilen, der Schluß von der Einheit zur Vielfalt führt zum Malnehmen.. Mit geradem oder ungeradem Verhältnis. Gerades Verhältnis, direkter Dreisatz Aufgabe: 5 Maschinen gleichen Typs verbrauchen in einer bestimmten Zeit kwh. Wieviel kwh verbrauchen 8 Maschinen?. Satz = 5 Maschinen verbrauchen kwh. Satz = 8 Maschinen verbrauchen x kwh 8. Satz = =,6 kwh (gerades Verhältnis) 5 Umgekehrtes Verhältnis, indirekter Dreisatz Aufgabe: gleichartige Maschinen schaffen 500 Bogen in Stunden. Wieviel Maschinen müssen bereit stehen, um 9000 Bogen in 40 Stunden zu verarbeiten? 500 Bogen Stunden Maschinen 9000 Bogen 40 Stunden x Maschinen 9000 = 4 Maschinen (ungerades Verhältnis) Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

36 Teil Dreisatz.8. Zusammengesetzter Dreisatz Er ist aus zwei oder mehr einfachen geraden oder ungeraden Dreisätzen zusammengesetzt. Die Entwicklung erfolgt wie beim einfachen Dreisatz. Beispiel: Um 5000 m Erde zu bewegen, benötigen 5 Maschinen 48 Arbeitsstunden. Wieviel Arbeitsstunden brauchen 6 Maschinen für einen Auftrag über 000 m? Lösung: Ansatz: Auflösen in einfachen Dreisatz Bruchsatz: 5 Maschinen bewegen 5000 m in 48 Stunden 5 Ma m - 48 Std. 6 Maschinen bewegen 000 m in x Stunden 6 Ma m - x Std Der zusammengesetzte Dreisatz wird in einfache Dreisätze aufgelöst. Jeder einfache Dreisatz wird für sich entwickelt und im gemeinsamen Bruchsatz ausgerechnet. Erster einfacher Dreisatz:. 5 Maschinen benötigen 48 Stunden 48.. Maschine benötigt x Stunden. (mehr oder weniger Std. als 5 Maschinen? Mehr) Maschinen benötigen? Stunden (mehr oder weniger Std. als Maschine? Weniger) Zweiter einfacher Dreisatz:. in 48 Stunden für m benötigt man? Stunden (mehr oder weniger Std. als 5000 m? Weniger) für 000 m benötigt man? Stunden (mehr oder weniger Std. als für m? Mehr) Ausrechnung = = 8 = 84 = 6 Arbeitsstunden = 6 Stunden, 0Minuten Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 5

37 Teil Dreisatz.8. Aufgaben zum Dreisatz. Für die Abwicklung eines Auftrages müssen 5 Personen Tage mit jeweils 8 Stunden Arbeitszeit eingesetzt werden. Wie viele Personen müssen eingesetzt werden, um den Auftrag in,5 Stunden abzuwickeln?. In einer Papiersackfabrik kontrollieren 6 Frauen Ventilsäcke auf einwandfreien Verschluß. Sie benötigen dafür 8 Stunden. In welcher Zeit werden Ventilsäcke von 9 Frauen kontrolliert?. Sie liefern an einen Kunden Verpackungen und berechnen sie mit Der Kunde schickt 500 Verpackungen wegen fehlerhafter Verklebung zurück und erhält eine Gutschrift für diese fehlerhaften Verpackungen. a) Wieviel werden ihm gutgeschrieben? 4. Durch Arbeitszeitverkürzung bei vollem Lohnausgleich erhöht sich der Stundenlohn von,00 auf,5. Die neue Arbeitszeit beträgt 5 Stunden. Um wieviel Stunden je Woche hat sich die Arbeitszeit verkürzt? 5. 8 Frauen machen an einem Tag ( 8 Std. ) Faltschachteln versandfertig. Wie viele Frauen müssen eingesetzt werden, wenn für Faltschachteln nur Stunden Zeit zur Verfügung stehen? 6. Welche durchschnittliche Leistung je Stunde hat eine Stanzmaschine, wenn eine Auflage von Bogen in 78 Stunden verarbeitet wurde, wobei 6 Stunden auf das Einrichten entfielen? 7. Zwei Autoplatinen (Stanzmaschinen) stanzen gemeinsam Bogen. Maschine A leistet 000 Stanzungen / h, Maschine B 500 Stanzungen / h. Nach wieviel Stunden Stanzzeit ist der Auftrag erledigt? (Die Stundenzahl ist auf volle Stunden aufzurunden) 8. Ein Kranwagen kostet bei 8stündigem Einsatz 480, zuzüglich 5 / Std. für den Kranführer. Bei kürzerer Nutzungszeit werden zusätzlich 40 für An- und Abfahrt berechnet. Wieviel sind zu zahlen, wenn der Kranwagen a), b) 5, c) 7,5, d) 8 Std. eingesetzt wird? 9. Für 0 Lampen beträgt die monatliche Stromrechnung bei täglich 7stündiger Brenndauer 5. Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn 4 Lampen täglich 9 Std. brennen? Nutzen mit dem Format 0 4 cm sollen aus 8000 Bogen im Format cm geschnitten werden. Wie teuer sind die Bogen, wenn 00 Bogen gleicher Qualität, aber im Format 6 86 cm 7,0 kosten? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 6

38 Teil Prozentrechnen.9 Prozentrechnen Prozent - von Hundert Rechnung % (v.h.) lat. Cento. Beim Prozentrechnen geht es um vier Dinge.. Grundwert = g kann, Bogen usw. sein.. Prozentwert = w kann ein Prozentbetrag sein. Prozentsatz = p Prozentrechnung ist eine Rechnung (Bruchrechnung) mit Nenner z.b. 5 % = Der Prozentwert wird gesucht Der Prozentwert wird auch Hundertwert genannt. Man streicht vom Grundwert zwei Stellen ab und nimmt mit dem Prozentsatz mal: Prozentwert = Grundwert 00 Prozentsatz Aufgabe: Eine Fabrik erhält eine Rechnung über 50,00. Dazu kommen 6 % MWSt. Wie hoch ist der Betrag der Rechnung? Lösung: Rechnung 50,00 6 % MWSt. Mehrwertsteuerbetrag w= g p 00 50,00 6 w = = 56,00 Mehrwertsteuer 00 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 7

39 Teil Prozentrechnen.9. Der Prozentsatz wird gesucht Der Prozentsatz wird auch Hundertsatz genannt. Man nimmt den Prozentwert mit 00 mal und teilt dann durch den Grundwert. Prozentsatz = Prozentwert 00 Grundwert Aufgabe : Lösung: Bei der Durchsicht von 500 Bogen wurden 65 Stück als Makulatur aussortiert. Wieviel Prozent sind das? w p = = =,5 % g Der Grundwert wird gesucht Man nimmt den Prozentwert mit 00 mal und teilt durch den Prozentsatz: Grundwert = Prozentwert 00 Prozentsatz Aufgabe: Ein Verpackungsmittelmechaniker erhielt netto 07,9 im Monat. Seine Abzüge betrugen: 5,5 % Lohnsteuer, Kirchensteuer (8 % der Lohnsteuer), 0, % Sozialversicherungsbeiträge. Wie hoch war sein Bruttolohn? Lösung: 5,5 % Lohnsteuer +,4 % Kirchensteuer (8 % von 5,5 % Lohnsteuer) + 0, % Sozialversicherung = 7,04 % Abzüge 00 % - 7,04 % = 6,96 % Nettolohn g = w 00 07,9 00 = p 6,96 = 6,6 Der Bruttolohn des Verpackungsmittelmechanikers beträgt 6,6. Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 8

40 Teil Prozentrechnen.9.4 Aufgaben zum Prozentrechnen. Eine Arbeit soll in h ausgeführt sein. Hinzu kommen 8 % für unvermeidbaren Aufenthalt. Nach welcher Zeit ist die Arbeit fertig?. Wieviel Zeit braucht man insgesamt für verschiedene Aufträge, wenn für den mittleren 8 h, für den größten 6 / % mehr und für den kleineren Auftrag 6 / % weniger Zeit gebraucht werden?. Eine Graufarbe besteht aus Teilen Gelb, Teilen Rot, 4 Teilen Blau, 7 Teile Weiß. Errechne die Anteile in Prozent. 4. Ein Auftrag muß mit genau Exemplaren ausgeliefert werden. Wie viele Zuschnitte muß der Verpackungsmittelmechaniker an der Maschine bekommen, wenn mit einem Abfall von 0 % der an die Maschine gebrachten Zuschnitte gerechnet wird? 5. Ein Verpackungsmittelmechaniker erhielt in einem Monat 476. Seine Abzüge betrugen 0 %. Der Monat hatte Arbeitstage mit jeweils 8stündiger Arbeitszeit. Im Lohn enthalten waren aber noch 8 Überstunden, für die ein Überstundenzuschlag von 5 % gezahlt wurde. Wie hoch war der Stundenlohn? 6. Ein Arbeitgeber führt monatlich für einen Verpackungsmittelmechaniker folgende Beiträge ab: 64, Lohnsteuer,,4 Kirchensteuer, 7,4 Krankenversicherung, 60,0 Rentenversicherung, 59,79 Arbeitslosenversicherung und 0,87 Unfallversicherung (Berufsgenossenschaft). Der Verpackungsmittelmechaniker erhielt 859,09 monatlich ausbezahlt. a) Berechne den Bruttomonatslohn des Verpackungsmittelmechanikers. b) Wie hoch war der monatliche Anteil des Arbeitgebers an den Abgaben? (siehe Seite 6) c) Errechne wieviel Prozent der Lohnsteuersatz ausmachte. 7. Wie hoch die Konzentration eines Stärkeleims (in Prozent), der aus 50 kg Stärke und 00 Liter Wasser hergestellt (Zusatzstoffe sollen hier nicht berücksichtigt werden) und anschließend mit 50 Liter Wasser verdünnt wurde? 8. Eine einfache Klebearbeit soll im Leistungslohn durchgeführt werden. Der Stundenlohn für eine Arbeiterin beträgt 7,64. Der Leistungslohn ist so errechnet worden, daß 0 % über dem Stundenlohn erzielt werden können. Welche Stückleistung je Stunde müßte dafür erbracht werden, wenn für 000 Klebestücke,69 gezahlt würden? 9. Ein Verpackungsmittelmechaniker erhielt einen Bruttowochenlohn von 45 (5 Stunden). Darin enthalten war eine 5prozentige Leistungszulage. Wie hoch war sein Bruttostundenlohn ohne Leistungszulage? 0. Ein Betrieb kalkuliert einen Auftrag mit 5 und liegt damit um 6,4 % günstiger als eine andere Firma. Wieviel hatte diese verlangt?. Wie hoch ist die Auflage, wenn der Verpackungsmittelmechaniker an der Autoplatine einschließlich 6 % Zuschuß 7400 Bogen erhält? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 9

41 Teil Zinsrechnung.9.5 Zinsrechnung Zinsrechnungen sind Prozentrechnungen, bei denen die Zeit berücksichtigt werden muß. Zinsen sind Prozentwerte, die für geliehenes Geld (Kapital = Grundwert) nach vereinbartem Zinssatz (Prozentsatz) pro Jahr zusätzlich zu zahlen sind. Zinsformel: Z = K p t 00 Z = Zinsen in K = Kapital (geliehenes Geld) in p = Zinssatz in Prozent t = Zeit in Jahren ( Monat = 0 Tage, Jahr = 60 Tage) Beispiel: Welchen Betrag hat ein Sparer von der Sparkasse zu erhalten, wenn er bei ihr 4800 zu 4 % 8 Monate und 4 Tage stehen hatte? Z = K p t 00 = t = = 64 Tage = Jahr Zeit auf Jahr bezogen 60 = 40,80 Zinsen K+Z = ,80 = 4940,80 Endbetrag, der auszuzahlen ist.9.6 Aufgaben zur Zinsrechnung. Wieviel Zinsen bringt eine Sparanlage von 600 bei einem Zinssatz von 4 % in einem Jahr?. Auf welchen Betrag ist ein Kapital von 600 bei 6 % Verzinsung in 9 Monaten angestiegen?. Welches Kapital bringt monatlich 450 Zinsen, wenn der Zinssatz 8 % beträgt? 4. Welches Kapital wächst in einem Jahr bei einem Zinssatz von 5 % auf 759 an? 5. Ein Schuldner hat nach 8 Monaten seine Schuld einschließlich der vereinbarten 6,5 % Zinsen mit 878 getilgt. Wie hoch war der entliehene Betrag? 6. Zu welchem Zinssatz waren 400 ausgeliehen, wenn dieser Betrag nach einem Jahr auf 604 anwuchs? 7. Zu wieviel Prozent müssen 4800 ausgeliehen werden, wenn sie die gleichen Zinsen bringen sollen wie 5400 zu 6 %? 8. Wieviel Tage waren 700 zu 5 % ausgeliehen, wenn am Rückzahlungstag 00 Zinsen fällig waren? Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 40

42 Teil Gleichungen.0 Gleichungen Regeln:. Die Unbekannte muß allein auf einer Gleichungsseite stehen.. Bei einer Gleichung muß immer auf jeder Gleichungsseite gleich viel verändert werden.. Die Unbekannte muss im Zähler stehen. Merke: Strichrechnung: + und - Summengleichung Punktrechnung: und : Faktorengleichung Erklärung: Bei Seitentausch in der Summengleichung wird aus + ein und aus ein + Bei Seitentausch in der Faktorengleichung wird aus ein : und aus : ein Aus einer Subtraktion (-) wird durch Vertauschen der Seiten x 7 = +7 eine Addition (+) x = + 7 x = 0 Aus einer Multiplikation ( ) wird durch Vertauschen der Seiten 5x = 5 :5 eine Division (:) x = 5 5 x = 5 Aus einer Division (:) wird durch Vertauschen der Seiten x 5 = 5 5 eine Multiplikation ( ) x = 5 5 x = 75 Durch Vertauschen der Seiten wird aus einer Addition (+) 6x + = 5 - eine Subtraktion (-) und aus einer Multiplikation ( ) eine 6x = 5 - Division (:) 6x = :6 x = : 6 x = Die Unbekannte im Nenner x = x Aus einer Division (:) wird eine Multiplikation ( ) und daraus = x erneut eine Division (:). Das Ergebnis wird gekürzt. x = : x = = 4 Punkt- vor Strichrechnung x+ = x + = - Aus einer Division (:) wird eine Multiplikation ( ) und aus x = 6 - einer Addition (+) wird eine Subtraktion (-) x = 4 Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 4

43 Teil Gleichungen.0. Verhältnisgleichungen Verhältnis Verhältnisgleichung = Quotient zweier Größen = Proportion. Verhältnisse Durch ein Verhältnis werden Zahlen oder Größen miteinander verglichen. Das Verhältnis ist auf möglichst kleine Zahlen zu kürzen. Schreibweise: Teilungsform oder Bruchform, z.b. : = Merke: Verhältnisse werden wie Brüche gekürzt oder erweitert.. Gleiche Verhältnisse: Wir erhalten gleiche Verhältnisse, wenn sich gleiche Größen im gleichen Verhältnis ändern, z.b. Arbeitszeit zum Lohn, Längenvergleich. Merke: Je mehr - desto mehr oder je weniger - desto weniger. Ungleiche Verhältnisse: Wir erhalten ungleiche Verhältnisse, wenn sich gleiche Größen im umgekehrten Verhältnis ändern, z.b. Geschwindigkeit zur Zeit. Merke: Je mehr - desto weniger oder je weniger - desto mehr 4. Verhältnisgleichung: Nach Klären und Bilden der Verhältnisse erfolgt das Gleichsetzen. Hinweis: Verhältnisgleichungen sind Proportionen, z.b. : = :4 oder Fachrechnen für Verpackungsmittelmechaniker Seite 4 = Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder = 4 Eine Verhältnisgleichung besteht aus zwei gleichen Verhältnissen. 5. Zusammenfassung Kläre die Verhältnisart, bilde das Verhältnis: Je mehr - desto mehr = gleiche Verhältnisse Je mehr - desto weniger = ungleiche Verhältnisse 6. Beispiel: Die Höchstgeschwindigkeit von PKW und PKW verhalten sich wie :. Welche Fahrzeit benötigt der PKW, wenn der PKW die gleiche Strecke in min zurücklegt? Gesucht: t in min Gegeben: v : v = : Vorüberlegung: Je schneller...desto geringer: ungleiches Verhältnis! Lösung: v v t t = = = t t = min = 4 min 4