Zahlen und Mengen 1.8

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1 Zahlen und Mengen.8 0 N - Z Q R _ ist als Bruch eine rationale Zahl Q und R als negative Zahl gehört zu Z, Q und R. π ist irrational und gehört daher nur zu R. 0 ist eine natürliche Zahl und gehört daher zu N, Z, Q und R..9 Hinweis: Die Ausführungen auf den Seiten 6 bis 9 des Lehrbuchs sind mit eigenen Worten zusammenzufassen..0 a) A = {,,, 7,,, 8, 9,,, } B = {,} C = {, 9, } D = {7, } E = {,,, 6, 9, 0, } b) F ist eine Teilmenge der Schüler/innen, die den römisch katholischen Religionsunterricht besuchen.. N Z Q R e ( ) 0, 6 000,. a) {,,,,, 6, 7, 8, 9,,,,, 6, 7, 8,9} b) {70, 7, 76, 77, 78, 79, 770, 78, 79} {}. a) A = {0,, 6, 9,...} b) B = {, 9, 9, 9,...}. a) A = {,,,,, 6}; B = {,, } B A b) A = {, 6, 7, 8,...}; B = {6, 7, 8,...} B A B A e ist irrational, daher nur in R. ( ) = 9 ist eine natürliche Zahl, daher auch in allen anderen Mengen. 0, ist eine rationale Zahl, daher auch in R. Periodische Zahlen sind rational, daher auch in R. ist eine rationale Zahl, daher auch in R..6 a) Menge aller Autos Menge aller Fahrzeuge Zu den Fahrzeugen zählen nicht nur Autos, sondern auch Motorräder, Räder, Traktoren usw.... b) Menge aller gleichseitigen Dreiecke Menge aller Dreiecke Gleichseitige Dreiecke sind ein Teil aller möglichen Dreiecke. Menge aller natürlichen Zahlen Menge aller ganzen Zahlen Die natürlichen Zahlen sind in der Menge der ganzen Zahlen enthalten..7 a) A = {0,,, } = {x N x } b) B = {,,,,, 6} = {x Z + x < 7} C = {, 0,, 0, } = {x x = n; n {,,,, }}.8 a) Es sind alle Vielfachen von damit gemeint. b) Es sind alle ganzen Zahlen zwischen und 0 beschrieben, und 0 inklusive.

2 .9..9 a) [ ; [ b) [,; ] ]; 6] d) ] 7; ] e) ] ;,[ f) ]; [ - 0 0, , a) {x R x 6} b) {x R < x < 8,9} {x R 7 < x,} d) {x R 0 x <,7} e) {x R, < x < 0,}. a) A = {,, 0,, } b) B = {... 7, 6,,, 6, 7...} C = {... 7, 6,,, 6, 7...} a) Für a < 0; der Betrag einer negativen Zahl ist eine positive Zahl, daher größer als die Zahl selbst. b) Der Betrag einer negativen Zahl ist größer als die Zahl. Der Betrag von null bzw. von einer positiven Zahl ist gleich groß wie die Zahl. Die Aussage ist daher für keine Zahl richtig. Sind a und b beide positiv, beide negativ, eine von beiden null oder beide null, dann gilt a + b = a + b. In allen anderen Fällen ist a + b eine Differenz, und daher kleiner als die Summe a + b der beiden positiven Zahlen a, b.. Die Aussage ist wahr. Sind a und b negative Zahlen, so bedeutet a < b, dass a zum Nullpunkt mehr Abstand hat als b. Der Betrag einer ganzen Zahl ist aber deren Abstand vom Nullpunkt, also a > b..7 a) Gegenzahlen b) gleich gleich.8 a), + b), , d) 799, e), f), a) Negativ. Der Betrag der negativen Zahl ist größer als die Summe der positiven Zahlen. b) = 0. Der Betrag der Summe der negativen Zahlen ist gleich groß wie die positive Zahl. Negativ. Der Betrag der Summe aus den negativen Zahlen ist größer als die positive Zahl. d) Positiv. Der Betrag der Summe der negativen Zahlen ist kleiner als die positive Zahl. e) Negativ, alle Zahlen sind negativ. f) Positiv. Die Summe der positiven Zahlen ist größer als der Betrag der negativen Zahl..0 a) b) 7 0. a) und 0 b) 9 und und 0. a), weil + ( ) = b) +, weil 0 (+) = +0, weil 0 (+0) = 0

3 ..9. A ist richtig: Subtrahiert man von einer Zahl (Minuend) eine größere Zahl (Subtrahend), ist das Ergebnis immer kleiner null, also negativ. Das gilt sowohl für positive als auch für negative Minuenden bzw. Subtrahenden.. a) b) 60 6 d) 9 e) 6 f) g) 0 h) 6 i).6 a) b) d) a) N Z Q b) N Z Q N Z Q N Z Q N Z Q d) N Z Q N Z Q a) b) d) 8.9 a) b).0 a) k ist ein Vielfaches von b) k ist ein Vielfaches von 7. 6 cm. a) b) 7 d),8. a) d) _ b) 6. a) _ b) _.6 a).7 a) 0 b) _ 00 = 0 b) _ 7_ d) 9 e) _ 8 d) 7 0 e) _ 88 _ passt nicht dazu. Alle anderen Zahlen sind wegen passt nicht dazu. Alle anderen Zahlen sind wegen = _ = 0 = 0 = f) 7_ 8 0 = 0 =, = _ 00 = _ = 0, gleich. 0 = 7.8 a) b) 9 60 d) 8.9 a) 00 b) gleich.

4 Minuten. a). a) _ a) 7 b) b) 0.7 a) 7_ b) 9.8 a) 0 b) 9 _ b) 68 0 d) 7_.9 A und D sind richtig. A: Richtig; den Zähler eines Bruchs z_ n auf _ z + n a zu vergrößern kann als Addition z_ n + a_ n aufgefasst werden. Das Ergebnis der Addition ist größer als die einzelnen Summanden. B: Falsch; ein Bruch kann als Division aufgefasst werden. Den Nenner zu vergrößern bedeutet, den Divisor zu vergrößern. Bleibt der Dividend gleich, wird der Quotient kleiner. C: Falsch; eine ganze Zahl kann als Bruch mit Nenner eins aufgefasst werden, wodurch zwei Brüche miteinander zu multiplizieren sind. Es wird daher nur der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Nenner wird mit eins multipliziert. D: Richtig; die ganze Zahl wird als Bruch mit Nenner eins aufgefasst. Davon ist der Kehrwert zu bilden, wodurch die Zahl im Nenner auftritt. Beim anschließenden Multiplizieren der beiden Brüche wird daher der Nenner mit der Zahl multipliziert ist größer als, Vergrößern des Nenners um eins ergibt einen größeren Bruch als 7 Vermindern des Zählers um eins. Der Zähler ist kleiner oder gleich dem Nenner. ist größer als, Vergrößern des Nenners um eins ergibt einen kleineren Bruch als Vermindern des Zählers um eins. Der Zähler ist um zwei oder mehr größer als der Nenner. ist gleich groß wie, Vergrößern des Nenners um eins ergibt einen gleich großen Bruch wie Vermindern des Zählers um eins. Der Zähler ist um eins größer als der Nenner..6 Rechnet man mit 7_ 7, so erhält man das Ergebnis _ = 6,7. Rechnet man mit der gerundeten Dezimalzahl, dann ergibt sich: 6,697. Der Unterschied beträgt 0,0 = _.6 ) _ + = 7.6 ) + _ = 7 ) _ + = _ ) _ + _ 00. = ) + _ = ) + _ = ) + _ + = ) + _ + = 9.66 a) 0 b) d) a) 0 = 0,0 b) 0 = = 0,00000 d) 0 6 = a) 0 = 00 b) 0 = = 0,000 d) 0 = a) 0 8 = b) 0 = 0, = 0, d) 0 0 = 6

5 .7 a) 00 b) 0,007 0,06 d) 0,97 e) f),6 g) 0,0098 h) 0.7 a),7 0 b), 0 6,78 0 d) 7, 0.7 a) b) d).7 a) b) 0, a), 0 =, 0. Fehler: Statt mit 0 wurde die Zahl mit 0 multipliziert. b),08 0 = 0,8 ist richtig = 0,7 ist richtig. d) 0,006 0 = 0,6 ist richtig. e) 0,878 0 = 0, Fehler: Statt mit 0 wurde mit 0 multipliziert. f) 0,0 0 = 0,0000 ist richtig..77 C); _ 70 = 00 unterscheidet sich von den anderen um den Faktor a) =, 0 7 b) =, = 8, a) ( 0 ) = 0 = 0,000 Beim Quadrieren von 0 wurde die Hochzahl quadriert anstatt mit zwei multipliziert. b) (6 0 ) : ( 0 ) = (6 : ) (0 : 0 ) = 0 = 0, Beim Umformen auf Zehnerpotenzschreibweise wurden keine Klammern gesetzt..80 a) Tausend b) Billionen 7, Tausend d) 0, Tausendstel e), Millionen f),0 Milliarden g) Millionstel h) 9 Milliardstel.8 a),6 0 m b),7 0 m,6 0 km d) 8 0 mm e) 6,6 0 m f) 0 mm.8 a) 6, 0 m b) 0 cm, 0 m d),8 0 0 mm e),6 0 m f),7 0 mm.8 a), 0 m b),9 0 hl,9 0 l d),7 0 cm e), 0 mm f), 0 7 dl.8 a) 0 g b), 0 t, 0 dag d), 0 g e) 0 ng f) 7 0 g.86 a), cm =, 0 mm =, 0 dm =, 0 m b),0 0 mm =,0 0 cm =,0 μm =,0 0 nm.87 a) 9,6 0 kw b), 0 μa 7,86 0 kv d) 0 Pa e) 8, F f) 0 MJ g) 7,8 0 ahz h),0 0 0 mω i), 0 0 kg j), 0 GN.89 a) 00 m/s b) 00 l/min, km/h d) hl/h e),8 hl/s f) 60 m /h g) 0 kg/m h) 000 kg/m i) kg/m j),0 0 6 Ws.90 a) 0, m (0 cm) ; 0, m = 0, (0 cm) = 0, 0 cm = 000 cm = 0, m Es wird nur die Einheit quadriert, nicht der Wert 0,. b) cm 0 m ; cm = (0 m) = 0 m = 0,000 m = cm Werden Einheitsvorsilben durch Zehnerpotenzen ersetzt, muss beim Potenzieren die Zehnerpotenz ebenfalls potenziert werden. 7

6 .9..9 prozentueller Fehler Kibi 0 k 0,... % Mebi 0 M 0 6,6... % Gibi 0 G 0 9 6, % Tebi 0 T 0 9,00... %.9 Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca km/s. Für die Durchquerung des Sonnensystems benötigt das Licht ca Sekunden, das entspricht ca., Stunden..9 a) Peters Schwester:,7 mm, das ist zu klein für einen Menschen,,7 0 km; Peters kleiner Bruder:, m, das ist zu groß für einen Menschen, 0, 0 mm b) 70 l 70 cm d) km, das ist viel zu groß für die Wohnfläche eines Reihenhauses, 0, cm e) 960 m, das ist weniger als km, 9,6 0 km.9 ca. 0 7 Moleküle.9 [,8 0 7 m; 7,8 0 7 m].96, 0 Sekunden Tropfen ergeben 0 Cent und somit 00 Lagen zu je,67 mm. Das ergibt gesamt eine Höhe von,7 m, also wohl etwas zu hoch!.0 a) % = 0 b) 0 % = 00 0 % = 00 d) 6, % = 6 e) % = 0 f) % = 0 g) 0, % = h), % =.0 a) 8 b) 9, km 800 km d) 7,6 mg e), h f) 8 km/h g) 0,00 l h) 0,00 km i) 06,.0 a) % b) 0 % % d) %.0 a) 0,9 b), 0,97 d) e) 0,8 f) 0,7.0, G = G + 0, G = G + 0 % von G. Daher ist G, richtig gerechnet , ,67.09 a) 8,9 6 % 8 % b) 7 Personen Stück; mindestens Stück bzw. höchstens Stück. um weniger als 00. B ist richtig, denn (990 0,8), 967,7 A und C sind daher falsch. D ist falsch, denn in dieser Rechnung kann die Klammer weggelassen und die Multiplikation vertauscht werden. Das hat auf das Ergebnis keinen Einfluss. Es ist also egal, ob zuerst erhöht und dann vermindert wird oder umgekehrt. 8

7 ... Der Preis P eines Produkts ist der um die Mehrwertsteuer erhöhte Grundwert G. Bei 0 % Mehrwertsteuer gilt daher P =, G. Werden vom Verkaufspreis 6,67 % abgezogen, ist der Preis P der Grundwert. Es werden daher 8, % des Preises berechnet. Bezogen auf den Grundwert G ergibt das 0,8 P = 0,8, G = 0, G, also 99,996 % von G. Es wird sogar ein wenig mehr als die Mehrwertsteuer abgezogen. Um die Mehrwertsteuer abzuziehen müsste die Gleichung P =, G auf G = P, umgeformt werden, also der Preis mit dem Faktor, = 0,8 multipliziert werden. Wegen 0,8 = 0,6 entspricht das einer Reduzierung des Preises um exakt 6,6 %.. a) 9 b) a) 9 b).6 a) b) ist Teiler von a) kgv:, ggt: 6 b) kgv: 0, ggt: kgv: 60, ggt: 0 d) kgv: 60, ggt:.9 a) ggt(, 6) = ; kgv(, 6) = 7; 7 = 6 = 86 ggt(, 0) = 0; kgv(, 0) = 60; 0 60 = 0 = 00 b) Der ggt enthält alle Primfaktoren zu ihrer kleinsten Potenz, das kgv enthält alle Primfaktoren zu ihrer größten Potenz. Wenn man nun beide multipliziert, besteht das Produkt aus den Primfaktoren sowohl zu ihrer kleinsten als auch ihrer größten Potenz. Damit ist dieses Produkt gleich dem Produkt der beiden Zahlen..0 a) {x R, x 7} b) {x R < x } {x R x < } d) {x R < x < }, a) 0, b) 0, 0,7 d) 0,7 e) 0, f) 0,0 g) 0, h) 0,09. a) _ b) 0 _ 0 d) 00 e) _ 0 f) 0 g) h)

8 ..7. a) 8 b) 7 7. a) 7 b) 8 9 d) 0 d) 6 e) 6 f) 8 g) h) _. a) ohne TR: Umwandeln in einen unechten Bruch _ 9 _ 7 = 7 = mit TR: Eingabe des gemischten Bruches als Binom notwendig: _ ( + _ 7 ) = b) ohne TR: Umwandeln in einen unechten Bruch 7 7 _ = 7 mit TR: Eingabe des gemischten Bruches als Binom notwendig: ( + _ 7 ) _ = 7 Ohne TR: Umwandlung in einen unechten Bruch _ = mit TR: Eingabe des gemischten Bruches als Binom notwendig: ( + _ ) ( + _ ) = Gemischte Brüche führen in einer Rechnung häufig zu Rechenfehlern. Man vermeidet sie, indem man sie immer sofort in unechte Brüche umwandelt. Empfehlenswert auch beim Rechnen mit Taschenrechnern!.6 a) _ b) _.7 Der Taschenrechner kostet in beiden Geschäften 7,..8 DVDs: 80, Pullover: 9,80.9 a) 000 b) d) 7.0 a) 00 b) 0,08 0,06 d) 0,000. a), 0 =, 0 b),6 0 = 6 0 7,9 0 = 79 0 d), 0 = 0 6. a) 0 b) d) 0 9. a) 0 = 0,0 b) 0 = = 0,0 d) 0 = 0. a) 0 0 = b) 0 8 = 0, = d) 0 8 = a) 0 = 00 b) 0 = 0, = 0, d) 0 = a), 0 b) 0.7 a) Die angegebene Größe kann nicht stimmen. Die Tanzfläche mit km würde 00 Fußballfeldern entsprechen. b) 000 m wurden irrtümlich auf km umgerechnet ( km = m ). 0

9 .8.8 a) in einer Minute: ca.,8 0 7 km in einem Tag: ca.,6 0 0 km in einem Jahr: ca. 9, 0 km b) ca. 0 km ca.,9 0 9 km