a heißt Radikand Das (Quadrat-)Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. Das Quadrieren ist die Umkehrung des (Quadrat-)Wurzelziehens.

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1 1 Reelle Zahlen - Quadratwurzeln Wir kennen den Flächeninhalt A = 49 m 2 eines Quadrats und möchten seine Seitenlänge x berechnen Es ist also jene Zahl x zu ermitteln, die mit sich selbst multipliziert 49 ergibt. Man sagt auch, deren Quadrat 49 ist: x x = x 2 = 49 x = 7 Eine Zahl x 0 heißt Quadratwurzel einer Zahl a 0, wenn x 2 = a ist. x = a a heißt Radikand Lies: x ist die Quadratwurzel (kurz Wurzel) aus a. Für nicht negative Zahlen gilt: Das (Quadrat-)Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens. z z 2 z 2 = z (z 0) Das Quadrieren ist die Umkehrung des (Quadrat-)Wurzelziehens. Es gilt: Quadrieren z z 2 Wurzelziehen z z ( z) 2 = z (z 0) Löse ohne Taschenrechner! Begründe den Lösungsweg! a) ( 5) 2 = e) ( ) 2 = i) ( 20) 2 b) 6 2 = f) 11 2 = j) 20 2 = c) ( 6) 2 = g) d) 25 2 = h) ( 64) 2 = Schreibe jene Zahlen von 0 bis 200 auf, deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ist!

2 2 Quadratwurzeln als unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen Zahlen wie 2 nennen wir irrationale Zahlen. Irrationale Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Sie lassen sich nicht in Bruchform anschreiben. Prinzipiell können sie im Dezimalzahlsystem nur näherungsweise angegeben werden. Quadratzahlen Eine natürlich Zahl a heißt Quadratzahl, wenn sie das Quadrat einer natürlichen Zahl b ist. a = b 2 (a, b N) Zum Beispiel: 25 ist eine Quadratzahl, weil 5 2 = 25 ist; 24 ist keine Quadratzahl. Quadratzahlen sind: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 6, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln durch systematisches Probieren Die folgende Tabelle zeigt, wie man z.b. 8 ohne Wurzelziehen auf dem TR berechnen könnte. 1. Schritt 2 2 < 8 < 2 weil 4 < 8 < 9 daher 2 < 8 < 2. Schritt 2,8 2 < 8 < 2,9 2 weil 7,84 < 8 < 8,41 daher 2,8 < 8 < 2,9. Schritt 2,82 2 < 8 < 2,8 2 weil 7,9524 < 8 < 8,0089 daher 2,82 < 8 < 2,8 Durch systematisches Probieren kann man die irrationale Zahl 8 mit immer größerer Genauigkeit einschränken.

3 Berechne durch Einschränken (ganze Zahl, Zehntel, Hundertstel) bis zur Hundertstelstelle den Wert von 11! Berechne die Seitenlänge x eines Quadrats, das den gleichen Flächeninhalt wie ein rechtwinkeliges Dreieck mit der gegebenen Katheten a = 7,7 cm und b = 4,4 cm hat! Wie viel Kilometer müsste die Seitenlänge eines Quadrats haben, das den gleichen Flächeninhalt wie das Bundesland Kärnten (958,01 km 2 ) hat? Welche Seitenlänge hat ein Quadrat, das 1) den doppelten, 2) den dreifachen, ) den vierfachen Flächeninhalt eines gegebenen Quadrats mit der Seitenlänge a = 5 cm hat?

4 4 Ein rechteckiger Garten hat die Seitenlängen a = 55,0 m und b = 42,0 m. Welche Seitenlänge hat ein quadratischer Garten, der einen um 10% größeren Flächeninhalt hat? Von einem Quadrat ist die Länge der Diagonale gegeben. Berechne die Seitenlänge des Quadrats, wenn die Diagonale die Länge d = 18,0 cm hat. Rechnen mit Quadratwurzeln Grundrechnungsarten in Verbindung mit Quadratwurzeln 1) a + b a + b (a, b > 0) 2) a b a b (a > b > 0) ) a b = a b (a, b 0) 4) a b = a b (a 0, b > 0) Bei einer Summe (Differenz) darf man nicht getrennt Wurzelziehen; bei einem Produkt (Quotienten) schon. Berechne durch geschicktes Zerlegen des Radikanden in ein Produkt! Arbeite ohne TR! a) 2500 =

5 5 b) 8100 = c) = d) 900 = e) = f) = g) = h) = Ziehe die Wurzel! Arbeite ohne TR! a) = d) 6 64 = b) = e) = c) = f) = g) = Vereinfache! a) 4 a 2 = b) u 2 v 2 = c) c 2 25 = d) 9 x 2 v 2 = e) 5 25 a 2 =

6 6 Vereinfache durch partielles Wurzelziehen! a) 27 = b) 50 = c) 128 = d) 1000 = e) 800 = f) 500 = g) 2000 = h) 5a 2 b 2 = i) 6x 2 y 2 = j) 18u 2 v 4 = k) 8r 2 s 4 = l) 2ab 2 = m) 49xy 2 = Graphisches Darstellen von Quadratwurzeln Darstellung mit Hilfe der Diagonale im Quadrat Wurzeln (als Streckenlängen), bei denen sich der Radikand als Summe zweier gleicher Quadratzahlen schreiben lässt, können mit Hilfe der Diagonale von Quadraten dargestellt werden.

7 7 Konstruiere analog 18 : Darstellung mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken Die Radikanden vieler Wurzeln können als Summe von Quadratzahlen = ( 5) 2

8 8 oder als Differenz von Quadratzahlen 2 + ( 7) 2 = 4 2 ( 7) 2 = Thaleskreis geschrieben werden. Damit lassen sich die zu diesen irrationalen Zahlen gehörigen Streckenlängen konstruktiv ermitteln. Konstruiere analog a) 5 b) 11

9 9 Die Länge einer Quadratseite ist 8 cm. Wie lang ist die Diagonale dieses Quadrats? Die Länge der Diagonale eines Quadrats ist 72 cm. Wie lang ist die Seitenlänge dieses Quadrats? Zerlege folgende Zahlen in eine Summe von zwei Quadratzahlen! a) 1 b) 41 c) 52 Zerlege folgende Zahlen in eine Differenz von Quadratzahlen! a) 5 b) 20 c) 27

10 10 Pythagoräische Schnecke Mit der pythagoräischen Schnecke können wir theoretisch alle Quadratwurzeln natürlicher Zahlen als Streckenlängen konstruieren. Konstruiere selbst eine pythagoräische Schnecke:

11 11 Kubikwurzeln Das Volumen des Würfels beträgt rund 729 dm. Wie bestimmt man seine Kantenlänge? Da V = x x x = x ist, müssen wir eine Zahl x ermitteln, deren. Potenz gleich 729 ist. Eine solche Zahl heißt Kubikwurzel aus 729. Statt Kubikwurzel sagt man auch dritte Wurzel. Wir schreiben x = 729. Eine Zahl x 0 heißt Kubikwurzel einer Zahl a 0, wenn x = a ist. x = a x = a (a, x 0) Eine natürliche Zahl a heißt Kubikzahl, wenn sie die. Potenz einer natürlichen Zahl b ist. Berechne ohne TR! a) ( 2) = a = b (a, b N) b) = c) ( 100) = d) 5 = e) ( a ) 2 = f) ( 64) 2 = g) ( a 2 ) = Setze ein! x ,68 0,027 0,125 x 2 1,5 0,0,

12 12 Wie groß ist die Kantenlänge eines Würfels, wenn dieser 50 kg wiegt? a) Würfel ist aus Kupfer (ρ = 8900 kg/m ) b) Würfel ist aus Silber (ρ = kg/m ) Überblick über die Zahlenbereiche Zu den bisher bekannten Zahlenmengen (Zahlenbereichen), wie natürliche Zahlen N, ganze Zahlen Z und rationale Zahlen Q kommen nun die irrationalen Zahlen hinzu. Für irrationale Zahlen verwenden wir das Zeichen I. Das Zeichen I für irrationale Zahlen ist frei erfunden und kein offiziell gültiges Normzeichen. Die Zahlbereichserweiterungen bewirken, dass wir immer mehr Rechenoperationen ohne Einschränkung durchführen können. Zahlenmengen Natürliche Zahlen N = [0, 1, 2, }} Ganze Zahlen Z = {,, 2, 1, 0, 1, 2,, } Rationale Zahlen Q (Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen) z.b , 1, 4, 21 4, 2,17,,052, Mögliche Rechenoperationen Addition und Multiplikation sind uneingeschränkt ausführbar. Hingegen: 5 7 =?, 1 : 12 =? Addition, Multiplikation und Subtraktion sind uneingeschränkt ausführbar. Hingegen: 15 : 8 =?, 2 =? 1 Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Divisor 0) sind uneingeschränkt ausführbar.

13 1 Reelle Zahlen Die Menge Q der rationalen Zahlen und die Menge I der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge R der reellen Zahlen. Wir sagen die Menge R der reellen Zahlen ist die Vereinigungsmenge der rationalen Zahlen Q und der irrationalen Zahlen I. Wir schreiben R = Q I Überblick Zahlenmengen: Es gilt: N Z Q R.. ist Teilmenge von