2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen

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1 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit (a + b) N und (a b) N. Für Addition und Multiplikation gilt - das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz): a + b = b + a a b = b a, - das Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) und - das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c. 1

2 2.1 Natürliche Zahlen N Für N existiert eine Ordnungsrelation, d.h. für a, b N gilt entweder a größer b : a > b oder a kleiner b : a < b oder a gleich b : a = b. Die natürlichen Zahlen N können auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Oft wird N um die Null erweitert. Man erhält die Menge N 0 : N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4,... }. Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) von N ist unendlich ( geschrieben: #N = ); außerdem gilt: N = {1, 2, 3, 4,... } ist per definitionem abzählbar unendlich. 2

3 2.2 Ganze Zahlen Z N ist nicht abgeschlossen bezüglich der Subtraktion. Erweiterung von N auf die Menge der ganzen Zahlen Z Z = {., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,.}. N ist eine Teilmenge von Z : N Z. Die ganzen Zahlen liegen auf einer Zahlengerade. Mächtigkeit von Z : Z ist ebenfalls abzählbar unendlich, d.h. obwohl N Z ist, sind N und Z gleich mächtig. Folgende Gegenüberstellung zeigt, dass Z abgezählt werden kann: N Z

4 2.3 Rationale Zahlen Q Z ist nicht abgeschlossen bezüglich der Division. Erweiterung auf die Menge der Rationalen Zahlen Q. Rationale Zahlen werden durch Division von ganzen Zahlen dargestellt: Q = { a a Z ; b Z \ {0} }. b (da Division durch Null ist nicht definiert) Q ist eine Obermenge von Z: Z Q. Wenn a und b einen gemeinsamen Teiler haben, kann man a/b durch diesen Teiler dividieren, ohne dass sich der Wert von a/b verändert (Kürzen eines Bruchs). 4

5 2.3 Rationale Zahlen Q Besondere Bedeutung haben die Brüche mit den Nennern 10, 100, 1000, (Dezimalbrüche). Eine aus Dezimalbrüchen zusammengesetzte Zahl nennt man Dezimalzahl: 3,14159 = Rationale Zahlen können entweder als Dezimalzahlen mit endlich vielen Ziffern, z.b. 1 2 = 0,5 ; 3 8 = 0,375; oder als Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern, die sich periodisch wiederholen, z.b = 0,33333 = 0,3 7 = 0, = 0, dargestellt werden. 5

6 2.3 Rationale Zahlen Q Rationale Zahlen liegen dicht auf der Zahlengerade, d.h. zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele rationale Zahlen. Aber: Die Zahlengerade wird nicht vollständig von Q bedeckt. 6

7 2.4 Reelle Zahlen R Zahlreiche Probleme können nicht in Q gelöst werden. Beispiel: Länge der Diagonalen in einem Einheitsquadrat (Kantenlänge a = 1): x 2 = 2 (Satz von Pythagoras) x Q Einführung der irrationalen Zahlen I: Eine irrationale Zahl kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen mit unendlich vielen Ziffern, die sich nicht periodisch wiederholen. Beispiele für irrationale Zahlen: 2 = 1, π = 3, e = 2,

8 2.4 Reelle Zahlen R Die Gesamtheit der rationalen und irrationalen Zahlen bildet die Menge der reellen Zahlen R. R ist eine Obermenge von Q: Q R. R entspricht den Punkten auf der Zahlengerade, d.h. jede reelle Zahl entspricht genau einem Punkt auf der Geraden und jeder Punkt entspricht genau einer reellen Zahl (siehe Bijektivität ). 8

9 2.4 Reelle Zahlen R Mächtigkeit von R : R kann nicht abgezählt werden. Man sagt, R ist überabzählbar. R bildet eine algebraische Struktur, die als Körper bezeichnet wird. Eine Menge bildet einen Körper, wenn zwei zweistellige Verknüpfungen (üblicherweise Addition und Multiplikation) definiert sind und die sogenannten Körperaxiome erfüllt sind. Die Körperaxiome werden im folgenden am Beispiel der reellen Zahlen vorgestellt (a, b, c R). 9

10 Exkurs 1: Körperaxiome 1.) Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation Für R gilt: a + b R und a b R 2.) Das Kommutativgesetz gilt für Addition und Multiplikation Für R gilt: a + b = b + a und a b = b a 3.) Das Assoziativgesetz gilt für Addition und Multiplikation Für R gilt: (a+b) + c = a + (b+c) und (a b) c = a (b c) 4.) Das Distributivgesetz gilt Für R gilt: a (b+c) = a b + a c 5.) Es gibt genau ein Neutralelement (Einheitselement) bezüglich der Addition: Für R ist dies 0. a + 0 = 0 + a = a 6.) Es gibt genau ein Neutralelement (Einheitselement) bezüglich der Multiplikation: Für R ist dies 1: a 1 = 1 a = a 10

11 Körperaxiome 7.) Es gibt für jedes a bezüglich der Addition genau ein inverses Element (Bei der Verknüpfung eines Elementes mit seinem Inversen ergibt sich das Neutralelement). Für R ist dies (-a): a + (-a) = -a + a = 0. 8.) Es gibt für jedes a 0 bezüglich der Multiplikation genau ein inverses Element Für R ist dies a -1 = 1 a : a a -1 = a -1 a = 1 Bemerkung: Q bildet ebenfalls einen Körper, N und Z hingegen nicht (o.b.d.a.). 11

12 2.5 Rechnen mit reellen Zahlen Ungleichung In R gibt es eine Ordnungsrelation, d.h. es gilt für a, b, c R: entweder a größer b : a > b oder a kleiner b : a < b oder a gleich b : a = b. Desweiteren gilt: a < b und b < c => a < c a < b => a + c < b + c a < b und c > 0 => a c < b c a < b und c < 0 => a c > b c a > 0 => -a < 0 a 0 => a² > 0 a > 0 => 1 a > 0 0 < a < b => 0 < 1 < 1 b a 0 < a < b => 0 < a < b 12

13 2.5.2 Betrag von reellen Zahlen Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der Null. Für a R gilt: a = + a für a 0, a = - a für a 0. Beispiel: a = x - 3: a = x - 3 für x 3 0 x 3 a = -x + 3 für x 3 < 0 x < 3 13

14 2.5.3 Intervalle Für a, b R mit a < b bezeichnet man [a, b] = { x R a x b } als das abgeschlossene Intervall (a, b) = { x R a < x < b } als das offene Intervall (Eine andere Schreibweise verwendet ]a; b[ für ein offenes Intervall) [a; b) = { x R a x < b } als das nach rechts offene Intervall. (a; b] = { x R a < x b } als das nach links offene Intervall. Unbeschränkte Intervalle haben nach einer Seite keine Grenze. Beispiele:. [a; ) = { x R a x } (- ; a) = { x R x < a } 14

15 2.5.4 Rechnen mit der Null R ist (wie alle anderen Zahlenmengen, die wir behandeln) nullteilerfrei. D.h. ein Produkt aus mehreren Faktoren wird genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist: a b = 0 => a = 0 v b = 0. Des weiteren gilt für a R und a 0 a 0 = 0 a + 0 = a 0 a = 0 a 0 = 1 a 0 = 1 = an a n = a n-n = a 0 = 1 0! = 1 Nicht definiert sind: 0 0, 0 0, a 0. 15

16 Exkurs 2: Fakultät n! wird als n-fakultät bezeichnet. n! ist das Produkt aller natürlicher Zahlen kleiner gleich n: 0! = 1 1! = 1 2! = 1 2 = 2 3! = = 6 n! = n 16