Überabzählbarkeit der reellen Zahlen

Transkript

1 Überabzählbarkeit der reellen Zahlen Mathematik M4 Dozentin: Dr. Regula Krapf Jan Lukas Schallenberg Matr. Nr.: November

2 Inhaltsverzeichnis 1 Dedekindsche Schnitte 3 2 Addition und Multiplikation Dedekindscher Schnitte 4 3 Additive Inverse 6 4 Körper 7 5 Vollständigkeit von R 8 6 Überabzählbarkeit der Menge R der reellen Zahlen 10 2

3 1 Dedekindsche Schnitte Es ist möglich reelle Zahlen mit Mengen von rationalen Zahlen, den Dedekindschen Schnitten, zu konstruieren. Definition: Ein Dedekindscher Schnitt ist eine Teilmenge α Q mit folgenden Eigenschaften: (D1) α Ø und α Q (D2) Falls p α und q Q mit q < p, so folgt q α (D3) α ist nach oben unbeschränkt, d.h. p α, q α mit p < q Beispiel 1: Man kann rationale Zahlen p Q in natürlicher Weise als Dedekindschen Schnitt auffassen. Dazu setzt man α p := {q Q q < p}. Jetzt muss gezeigt werden, dass a p ein Dedekindscher Schnitt ist. Dazu wird eine feste rationale Zahl p Q gewählt und bewiesen, dass a p die Eigenschaften D1 bis D3 erfüllt. D1 Für festes p Q gilt α p Ø, da Q nach unten unbeschränkt ist. Das bedeutet es gibt mindestens eine rationale Zahl q mit q < p. α p Q ist ebenfalls trivial, da Q nach oben und unbeschränkt ist und alle Elemente von α p kleiner als p sind. D2 Sei q α p und r < q für ein r Q. Dann folgt aufgrund der Transivität von < -Relation auch r < p wegen r < q und q < p. Aus r < p folgt jedoch r α p, womit D2 bewiesen ist. D3 Es sei q α p. Dann gilt q < p. Nun definiert man das arithmetische Mittel r := p+q p+q 2, welches sicher rational ist. Außerdem gilt q < 2 = p 2 + q 2 weil p > q. Zusätzlich gilt p+q 2 = p 2 + q 2 < p, da p > q. Man erhält also q < r < p. Hieraus folgt q < r α p. Beispiel 2: Es ist möglich 2 als Dedekindschen Schnitt darzustellen, obwohl 2 keine rationale Zahl ist. Sei α := {p Q p 2 < 2 p 2} 3

4 Um zu zeigen, dass es sich hierbei ebenfalls um einen Dedekindschen Schnitt handelt, muss man erneut die Eigenschaften D1 bis D3 beweisen. D1 Offensichtlich. D2 Sei q α und r < q für ein r Q. Dann folgt aufgrund der Transitivität der < -Relation auch r < 2 und q < 2. Aus r < 2 folgt jedoch r α, womit D2 bewiesen ist. D3 Sei p α, also p 2 < 2. Zu zeigen: Es existiert ein q α mit p < q. Wir setzen q = p + x und bestimmen x so, dass gilt p + x α. Daraus folgt (p + x) 2 < 2 p 2 + 2px + x 2 < 2. Also müssen wir x so wählen, dass 2px + x 2 < 2 p 2 gilt. Da x sehr klein sein soll, setzen wir x < p und somit 3px 2 p 2, da der Ausdruck 3px = 2px + px > 2px + x 2 ist. Wir wählen also x = 2 p2 p. 2 Addition und Multiplikation Dedekindscher Schnitte 2.1 Addition der Dedekindschen Schnitte Dazu definiert man zunächst die Addition der Dedekindschen Schnitte α, β R, wobei R die Menge aller dedekindschen Schnitte ist, durch α + β := {p + q α, β R p α, q β} und zeigt, dass alle Eigenschaften D1 bis D3 bezüglich der Addition von α und β gelten. Es gilt also: Lemma 1 Für α, β R gilt α + β R. Das bedeutet, es wird gezeigt, dass die Addition zweier Dedekindscher Schnitte α, β wieder ein Dedekindscher Schnitt ist. Seien α, β R. D1 α, β Ø Es gibt also ein p α und ein q β woraus folgt p + q α + β und daraus trivialerweise α + β Ø. Da α, β Q, gibt es r Q \ α und s Q \ β, also ist r + s Q \ (α + β). 4

5 D2 Zum Beweisen von D2 sei r α + β und s < r. Es gibt p α, q β mit r = p + q. Hieraus folgt s < p + q und somit p > s q. Wegen p α und der Gültigkeit der Eigenschaft D2 für den Dedekindschen Schnitt α gilt folglich s q α. Somit ist s = s q + q α + β D3 wobei s q α und q β gilt. Zum Beweis von D3 sei r = p + q α + β, gemäß D3 für α und β gibt es p α und q β mit p > p und q > q. Hieraus folgt p + q > p + q = r. Da p + q α + β gilt, ist die Eigenschaft D3 gezeigt. Nach diesem Beweis der Gültigkeit der einzelnen Eigenschaften bei der Addition der Dedekindschen Schnitte wird nun die Multiplikation der Dedekindschen Schnitte eingeführt. 2.2 Multiplikation der Dedekindschen Schnitte Für zwei Dedekinsche Schnitte α, β mit α, β α 0 sei ihr Produkt. Es gilt: αβ := {pq p α, q β} Lemma 2 Das Produkt von Dedekindschen Schnitten α, β R mit α, β α 0 ist wiederum ein Dedekindscher Schnitt Seien α, β R mit α, β α 0. D1 Es gilt α, β Ø. Daher gibt es Zahlen p α, q β, sodass pq αβ gilt. Also ist die Menge αβ nicht leer. Weiterhin gilt α, β Q und α, β Q. OBdA gibt es Zahlen r, s Q mit r, s 0 und r Q \ α und s Q \ β. Hieraus folgt rs Q \ αβ und somit gilt auch αβ Q. D2 Es sei r αβ und s < r mit s Q. Es gibt Elemente p α, q β mit r = pq. OBdA. können wir q > 0 annehmen. Hieraus folgt insbesondere s < pq und somit p > s q. Das bedeutet s q α. Somit ist s = s q q αβ wobei s q α und q β gilt. 5

6 D3 Zum Beweis der Eigenschaft D3 für das Produkt sei r = pq αβ mit p α, q β. Dann existieren, wegen Eigenschaft D3, Elemente p α, q β mit p < p, q < q. OBdA. kann man p, q > 0 annehmen. Also gilt r = pq < p q αβ Es zeigt, dass auch die Eigenschaft D3 für die Menge αβ erfüllt ist. Anschließend lässt sich also festellen, dass das Produkt der Dedekindschen Schnitte α, β selber ein Dedekindscher Schnitt ist, da alle Eigenschaften D1 bis D3 gezeigt worden sind. 3 Additive Inverse Zunächst beweist man, dass für jeden Dedekindschen Schnitt ein additives Inverses existiert. Dabei wird α an der 0 gespiegelt und es entsteht α := { p p α} Das Problem ist, dass α kein Dedekindscher Schnitt ist, es ist nach unten unbeschränkt anstelle nach oben. Deswegen betrachten wir die Menge a := Q\α = {q Q q p} = {q Q p α, q < p} = {q Q p α, q+p < 0} Lemma 3 Es gilt α + ( α) = 0 für alle α R. Dabei wird 0 mit dem Dedekindschen Schnitt α 0 identifiziert, mit α 0 := {q Q q < 0}. (i) Es gilt α + ( α) α 0 : Zum Beweis dieser Inklusion sei p + q α + ( α) mit p α, q α = Q \ α = Q \ { t t α}. Hieraus folgt offenbar p + q < 0 und somit α + ( α) α 0, da p α und q α beliebig gewählt worden war. (ii) Es gilt α 0 α + ( α): Sei r α 0. Dann gibt es ein p α mit p r = p + ( r) α und q = r p. Wir zeigen: q α, d.h. wir zeigen s α : q + s < 0. Es gilt q + s < q + (p r) = (r p) + (p r) = 0, dabei gilt die zweite Ungleichung, da p r größer als jedes Element von α ist. Somit folgt q + s < 0. Aus (i) und (ii) folgt die behauptete Indentität α 0 = α + ( α). 6

7 4 Körper Im folgenden Kapitel wollen wir zeigen, dass die Dedekindschen Schnitte alle Körperaxiome erfüllen und somit zeigen, dass die Dedekindschen Schnitte einen Körper bilden. Satz 1 Die Menge R der Dedekindschen Schnitte mit der gezeigten definierten additiven und multiplikativen Verknüpfung ist ein Körper. Abgeschlossenheit: Die Abgeschlossenheit von R bzgl. der additiven und multiplikativen Verknüpfung wurde bereits in Lemma 1 und Lemma 2 gezeigt. Für alle α, β, γ R sind offenbar diese Rechenoperationen auch assoziativ. Es gilt nämlich (α + β) + γ = α + (β + γ) und (αβ)γ = α(βγ) Assoziativität: Zum Beweis der additiven Verknüpfung sei α, β, γ R. Dann gilt offenbar (α+β)+γ = {p+c p α+β, c γ} = {p 1 +p 2 +c p 1 α, p 2 β, c γ} = {p 1 + d p 1 α, d β + γ} = a + (β + γ) Die Gültigkeit des Assoziativgesetzes für die Multiplikation lässt sich völlig analog beweisen. Neutrales Element der Addition: Offenbar bezeichnet α 0 das neutrale Element von R bzgl. der Addition. Es gilt nämlich einerseits α 0 + α = {p + q p α 0, q α} = {p + q p < 0, q α} α (α R) Da wegen der Eigenschaft D2 die Addition einer negativen Zahl zu einem Element q des Dedekindschen Schnittes α R nicht aus diesem heraus führt. Anderseits gilt auch für alle α R α α 0 + α Zum Beweis dieser Inklusion sei α R und p α. Dann gibt es wegen der Eigenschaft D3 ein q α mit p < q; also gilt auch p q < 0 und somit p q α 0. Man erhält also p = p q + q, wobei p q α 0 und q α. Es folgt die Inklusion α α 0 + α. 7

8 Aus beiden Inklusionen ergibt sich die Identität für alle α R α 0 + α = α. Also ist α 0 das neutrale Element von R bzgl. der Addition. Inverses Element: Aus Lemma 3 folgt nun sofort, dass der Dedekinsche Schnitt α das zu α R inverse Element bzgl. der Addition ist. Kommutativität: Da sich auch das Kommutativgesetz α + β = β + α (α, β R) sich als triviale Folgerung aus dem für Q geltenden Kommutativgesetz ableiten lässt, ist nun bewiesen, dass die Menge R der Dedekindschen Schnitte eine additive Abelsche Gruppe bildet. Neutrales Element und inverses Element der Multiplikation: In weitgehend analoger Weise wie für die Addition, lässt sich auch zeigen, dass der Dedekindsche Schnitt α 1 = {p Q p < 1} das neutrale Element von R bzgl. der definierten Multiplikation für alle α R beschreibt. Daher existiert gleichzeitig das Inverse Element. Kommutativität: Es gilt offenbar auch das Kommutativgesetz αβ = βα für alle α, β R. Distributivität: Da offenbar auch das Distributivgesetz α(β + γ) = (αβ) + (αγ) gilt, sind sämtliche Körperaxiome für die Menge der Dedekindschen Schnitte für alle α, β, γ R erfüllt. 5 Vollständigkeit von R Es ist bekannt, dass 2 nicht in Q liegt, wir haben aber 2 als Dedekindschen Schnitt konstruiert. Daraus folgt, dass es in Q Lücken gibt. Diese Lücken werden gefüllt, indem wir R aus Q konstruieren. Dies führt zum Begriff der Vollständigkeit. Wir können Dedekindsche Schnitte in natürlicher Art und Weise anordnen, durch α β α β. Definition: Sei X R eine Menge von reellen Zahlen und α R eine Zahl, dann heißt α obere Schranke von X, falls x α für alle x X 8

9 Maximum von X, falls α eine obere Schranke von X ist mit α X. Die übliche Schreibweise lautet: Supremum von X, falls α = max X a = min{β β ist eine obere Schranke von X} Die übliche Schreibweise heißt in diesem Fall: α = sup X Das bedeutet, dass das Supremum die kleinste obere Schranke von X ist. X heißt nach oben beschränkt, sobald X eine obere Schranke besitzt. Beispiel 3: 1. Die Menge N hat weder Supremum noch ein Maximum, sie ist also unbeschränkt. 2. Das Intervall [ 1, 2] hat ein Maximum und es gilt max[ 1, 2] = Das Intervall [ 1, 2) hingegen hat kein Maximum, dafür jedoch ein Supremum und es gilt sup[ 1, 2) = 2. Beispiel 4: Als nächstes betrachten wir, wie schon in Beispiel 2, die Menge X := {p Q p 2 < 2 p 2} X ist in Q zwar beschränkt, allerdings besitzt X in Q kein Supremum. In R wissen wir existiert das Supremum sup X = 2. Der Unterschied zwischen Q und R liegt wie dieses Beispiel veranschaulicht darin, dass in R jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum besitzt im Gegensatz zu Q. Theorem 1 Die reellen Zahlen R sind vollständig, d.h. jede nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum. Wir betrachten eine nach oben beschränkte Teilmenge X Ø von R, das bedeutet, dass die Elemente von X Dedekindsche Schnitte sind. Wir setzen β := α = {p Q α X : p α} α X Nun beweisen wir, dass auch β ein Dedekindscher Schnitt ist. 9

10 D1 Offensichtlich gilt β Ø, da X Ø und α Ø für jedes α X. Als nächstes ist zu zeigen, dass β Q gilt. Aufgrund der Tatsache, dass die Menge X nach oben beschränkt ist, existiert eine rationale Zahl q Q mit p < q für alle p β. Somit ist q Q \ β. D2 D3 Sei p β und p < q, dann existiert ein α X mit p α. Da allerdings α ein Dedekindscher Schnitt ist und somit D2 erfüllt, folgt q α β. Sei p β, dann existiert ein α X mit p α. Da α ein Dedekindscher Schnitt ist gibt es ein q α für das gilt: p < q. Da α β, folgt q β. Nach dem Beweisen der Eigenschaften D1 bis D3, wissen wir nun, dass β R. Da allerdings α β für alle α X gilt, muss β eine obere Schranke für X sein. Als nächstes gilt es zu zeigen, dass β die kleinste obere Schranke von X ist. Dazu nehmen wir an γ sei eine weitere obere Schranke von X mit γ < β also ist γ echte Teilmenge von β (γ β). Dann gäbe es ein p β \ γ. Nach Definition von β gibt es allerdings ein α X mit p α. Also folgt α γ. Somit ist bewiesen, dass R keine Lücken enthält. 6 Überabzählbarkeit der Menge R der reellen Zahlen In diesem Kapitel wird gezeigt, dass die Menge R der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Satz 1 Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Es ist bereits bekannt, dass jede Teilmenge N einer abzählbaren Menge M = {m 1, m 2, m 3,...} höchstens abzählbar ist. Das bedeutet, wenn wir die Menge R der reellen Zahlen betrachten und eine Teilmenge von R finden, welche nicht abzählbar ist, wissen wir, dass generell die Menge R der reellen Zahlen nicht abzählbar ist. Daher betrachten wir nun die Teilmenge von R, gegeben durch das Intervall [0, 1) aller reellen Zahlen r mit 0 r < 1. Wir nehmen an, dass die Menge [0, 1) abzählbar und eine Aufzählung {r 1, r 2,.., r n } ist. Als nächstes betrachten wir jedes r n als die eindeutige nicht-endende Dezimalentwicklung (also in eine unendliche Folge von Nullen am Ende): r n = 0, a n1, a n2, a n3,... 10

11 Mit α ni {0, 1,.., 9} für alle n und i. Als nächstes wird das unendliche Schema betrachtet: Nun betrachten wir die reelle Zahl Mit y n = r 1 = 0, a 11 a 12 a 13,... r 2 = 0, a 21 a 22 a 23, r n = 0, a n1 a n2 a n3,... y = 0, y 0 y 1 y 2... { 0, x nn {1, 2,.., 9} 1, x nn = 0 Dann gilt immer y n x nn, das heißt y x n für alle natürlichen Zahlen n. Hieraus folgt, dass y nicht auf der Liste aller Zahlen in [0, 1) erscheint und das ist ein Widerspruch. Satz 2 Die Menge R 2 aller geordneten Paare von reellen Zahlen (die reelle Ebene) hat dieselbe Größe wie R. Hierbei wird ebenfalls das Intervall [0, 1) betrachtet. Wenn der Satz für ein Intervall aus den reellen Zahlen gilt, dann gilt dies auch für die gesamte Menge der reellen Zahlen. Wir wollen zeigen, dass die Menge aller Paare (x, y) mit 0 < x, y 1 bijektiv auf das Intervall (0, 1] abgebildet werden kann. Dazu wird das Paar (x, y) betrachtet und x, y ihrer eindeutigen undendlichen Dezimaldarstellung wie in dem Beispiel zugeschrieben. x = 0, y = 0, Die Ziffern von x und y wurden, wie unschwer zu erkennen, in Gruppen aufgeschrieben; die Gruppen sind so angeordnet, dass alle Ziffern zusammen geschrieben werden, bis die erste Ziffer 0 erscheint. Wir assoziieren zu (x, y) die Zahl z (0, 1] indem wir die erste x-gruppe hinschreiben, danach die erste y-gruppe, dann die zweite x-gruppe, usw. In unserem Beispiel erhalten wir nun: z = 0, Weder x noch y enthalten ab einem gewissen Punkt nur noch Nullen, daher ist der Ausdruck für z wieder eine nicht-endende Dezimaldarstellung. Umgekehrt ist es möglich aus z das Urbild (x, y) abzulesen. 11

12 Literatur [AZH15] Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M ; Hofmann, Karl H.: BUCH der Beweise. Bd. 4. Springer, 2015 Das [Kra17] Krapf, Regula: Skript: Elementarmathematik vom höheren Standpunkt