Weitere Eigenschaften

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1 Weitere Eigenschaften Erklärung der Subtraktion: x y := x + ( y) (5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = b a. Beweis: (a) Zunächst ist x = b a eine Lösung, denn a + x = a + (b a) = (a + ( a)) + b = 0 + b = b. (b) Sei umgekehrt a + x = b, so addiere auf beiden Seiten a. Es folgt ( a) + a + x = b a, also x = b a. (6) Es gilt (x + y) = ( x) + ( y). Beweis: Es ist (x + y) + (( x) + ( y)) = 0 nach (A1) und (A2), woraus die Behauptung folgt. 1

2 Axiome der Multiplikation (M1) Assoziativität: (xy)z = x(yz) (M2) Kommutativität: xy = yx (M3) Existenz einer Eins: Es gibt 1 R mit x 1 = x für alle x R. (M4) Existenz eines multiplikativ Inversen: Zu jedem x R, x 0, gibt es y R mit x y = 1. 2

3 Distributivgesetz Addition und Multiplikation sind verkoppelt durch die Distributivität: (x + y)z = xz + yz für alle x, y, z R. Bemerkung: Aus der Kommutativität folgt natürlich die Distributivität auch auf der anderen Seite. Entsprechender Hinweis hinsichtlich der Inversenbildung. 3

4 Eigenschaften der Multiplikation (1) Die Zahl 1 mit x 1 = x für alle x R ist eindeutig bestimmt : Betrachte dazu 1 1. Dieses Element ist zugleich 1 und 1. (2) Zu jedem x R, x 0, ist das multiplikativ Inverse eindeutig bestimmt. Schreibweise: x 1 := y Multipliziere dazu x y = 1 auf beiden Seiten mit Inversem y zu x. (3) 1 1 = 1 : Verwende 1 1 = 1 und berücksichtige die Definition des Inversen. (4) (x 1 ) 1 = x für alle x R, x 0: Es ist x x 1 = 1. Denke nun an die Definition des Inversen! 4

5 Eigenschaften Multiplikation II (5) (x y) 1 = x 1 y 1 : Beachte dazu xyx 1 y 1 = 1 und denke an Definition des Inversen. Schreibweise: An Stelle von x 1 schreiben wir auch 1 x. Ebenso y x := x 1 y = yx 1. (6) Die Gleichung a x = b, a 0, hat die eindeutig bestimmte Lösung x = a 1 b = b a. 5

6 Beweis. (a) x = a 1 b ist eine Lösung, denn a (a 1 b) = (a a 1 )b = 1 b = b. (b) Falls x der Gleichung a x = b genügt, multipliziere (von links) mit a 1. Dies liefert x = a 1 b. (7) 1 ( y x ) = x y für x, y 0 Beweis: Bei der linken Seite handelt es sich um (x 1 y) 1 = (x 1 ) 1 y 1 = x y 1 ; dies ist in anderer Schreibweise die rechte Seite von (7). (8) Es gilt x 0 = 0 für alle x R: Wir verwenden = 0 und multiplizieren mit x. Distributivität liefert: x 0 + x 0 = x 0. Addition von x 0 auf beiden Seiten liefert dann die Behauptung. 6

7 Bruchrechnen (1) (2) a b cd = a b = a c b d b, d 0 a d b d b, d 0 (3) a b + c d = a d+c b b d b, d 0 (4) 1 ab = b a a, b 0 7

8 Begründung Die Regeln ergeben sich automatisch, wenn wir Brüche a b in der Form ab 1 schreiben und die uns bekannten Regeln für Addition, Multiplikation, Distributivität verwenden: Zu (1): Zu (2): Zu (3): a b cd =ab 1 cd 1 = (ac)(b 1 d 1 ) = (ac)(bd) 1 = a c b d. a b = ab 1 = ab 1 (dd 1 ) = (ad)(bd) 1 = a d b d. a b + c d =ad bd + bc bd = =(ad)(bd) 1 +(bc)(bd) 1Distr. = (ad+bc)(bd) 1 = ad+bc bd. Zu (4): Hatten wir schon! 8

9 Erfolgstest: Mathematische Mustererkennung (a) Berechne (a + b) (c + d). (b) Berechne (a + b) 2. (c) Berechne (a + b) (a b). (d) Wann ist a b = c d? b, d 0 (e) Ermittle a bc d. b, c, d 0 9

10 Erfolgstest: Mathematische Mustererkennung (a) Berechne (a + b) (c + d) : Distributivgesetz 2-mal. (b) Berechne (a + b) 2. Spezialfall von (a). (c) Berechne (a + b) (a b). Spezialfall von (a). (d) Wann ist a b = c d? Genau wenn d a = b c. (Erweitere mit b d.) (e) Ermittle a bc d? Schreibe als Produkt eines Bruchs und eines inversen Bruchs. 10

11 Axiome der Anordnung Reelle Zahlen kann man nicht nur addieren und multiplizieren, zwischen ihnen ist auch der Größenvergleich, eine Anordnung, erklärt. In R sind gewisse Elemente als positiv gekennzeichnet (Schreibweise: x > 0 ), so dass gilt: (P1) Für jedes x R gilt genau eine der Beziehungen x > 0, x = 0, x > 0. (P2) Sind x, y > 0, so folgt x + y > 0. (P3) Sind x, y > 0, so folgt x y > 0. 11

12 Verabredungen, Schreibweisen Wir schreiben: a>b a b > 0 a b a > b oder a = b. Ferner: a<b definiert als b > a a b definiert als b a 12

13 Eigenschaften (1) Reflexivität: x x gilt für alle x R: x x bedeutet x < x oder x = x. (2) Transitivität: x < y und y < z = x < z : Wir haben y x > 0 und z y > 0, wegen (P2) daher auch (z y) + (y x) > 0, somit z x > 0 und folglich x < z. (2 ) Variante: x y und y z = x z (3) Antisymmetrie: Aus x y und y x folgt x = y : Annahme x y. Dann ist x < y und y < x, folglich x < x und daher 0 = x x > 0 im Widerspruch zu (P1). (4) Vollständigkeit: Für x, y R gilt x y oder y x. 13

14 Ordnung und Addition Ungleichungen lassen sich addieren: x < y und x < y = x + x < y + y Es ist nämlich y x > 0 und y x > 0, wegen (P2) dann auch (y x) + (y x ) > 0, somit (y + y ) (x + x ) > 0, was x + x < y + y bedeutet. Variante: x y und x y = x + x y + y 14

15 Ordnung und Multiplikation Hier ist Vorsicht angesagt! x < y und a>0 impliziert a x < a y Wir haben y x > 0 und a > 0, daher wegen (P3) auch a(y x) > 0, folglich ay ax > 0, was a x < a y bedeutet. Variante: x y und a 0 impliziert ax ay. Aber: x < y und a<0 impliziert a x > a y. Es ist y x > 0 und a > 0, daher (P3) (y x)( a) > 0. ax ay > 0 und folglich ax > ay. Es folgt 15

16 Weitere Ordnungsbeziehungen Variante: x y und a 0 = a x a y Quadrate positiv : Für jede reelle Zahl x gilt x 2 0. Die Fälle x < 0, x = 0 und x > 0 sind zu unterscheiden. In jedem Fall folgt die Behauptung aus früheren Aussagen. Folgerungen: (a) Es ist 1 > 0. (b) Es gibt keine reelle Zahl x mit x 2 = 1. 16

17 Übergang zum Inversen (1) x > 0 impliziert 1 x > 0. Annahme 1 < 0: Multiplikation mit x > 0 liefert x 1 = x 1 x < x 0 = 0, Widerspruch! (2) x < 0 impliziert 1 x < 0. Es ist x > 0, wende nun (1) an. (3) 0 < x < y impliziert 1 y < 1 x. Multipliziere x < y mit Faktor 1 xy > 0. 17

18 Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zunächst haben die zum Zählen verwendeten natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3,... nichts mit den reellen Zahlen zu tun. Durch die ausgezeichnete reelle Zahl 1 (Maßeinheit!) bettet sich die Menge N der natürlichen Zahlen jedoch in die Menge R der reellen Zahlen per Zuordnung n n R = n-mal {}}{ ein. Wir identifizieren n mit n R. Somit N R. Die Menge Z der ganzen Zahlen besteht aus allen Differenzen m n mit m, n N. Somit Z R. Die Menge Q der rationalen Zahlen besteht aus allen Quotienten m n mit m, n Z, n 0. Somit Q R. 18

19 Das Archimedische Axiom Eine wichtige Eigenschaft der Anordnung der reellen Zahlen wird durch das Archimedische Axiom ausgedrückt: Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n mit. x n Das Axiom beschreibt, wie die Menge N der natürlichen Zahlen in derjenigen R der reellen Zahlen gelegen ist. 19

20 Folgerungen I (1) Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine ganze Zahl n mit n x < n + 1. Es ist n durch x eindeutig bestimmt. Schreibweise: n =: [x]. Beweis: Wähle n Z minimal mit x < n + 1. (Warum geht dies?) (2) Sind x, y > 0, so existiert n N mit n x > y. Beweis: Wähle n N mit y x < n. y < n x. Multiplikation mit x > 0 zeigt 20

21 Folgerungen II Die n-te Potenz einer reellen Zahl a ist a n := n mal {}}{ a a a. (3) Sei a > 1, dann gibt es zu jedem reellen M > 0 eine natürliche Zahl n, so dass a n > M. Beweis: Schreibe a = 1+x mit x > 0 und wende die Bernoullische Ungleichung a n = (1 + x) n 1 + n x an, welche für x 1 gilt. (Beweis vorführen.) Wegen (2) gibt es ein n N mit n x > M 1. Es folgt a n 1 + n x > M. 21

22 Rückschau: Reelle Zahlen Fassen wir zusammen: Die reellen Zahlen bilden eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, so dass (R, +,.) den Eigenschaften (A1) (A4) für die Addition, (M1) (M4) für die Multiplikation und dem Distributivgesetz (D) genügt. Ferner ist auf R eine mit Addition und Multiplikation verträgliche vollständige Ordnung erklärt, die also den Eigenschaften (P1) (P3) genügt. Mit anderen Worten: (R, +,, <) bildet einen angeordneten Körper. Gleichfalls bildet (Q, +,, <) einen angeordneten Körper. Um die Eigenschaften der reellen Zahlen vollständig festzulegen reicht dann neben dem Archimedischen Axiom eine einzige weitere Zusatzanforderung, die Vollständigkeit, welche wir später diskutieren. 22

23 Elementare Kombinatorik Aufgabe der Kombinatorik ist das systematische Bestimmen der Elementanzahl, der Kardinalität, M einer endlichen Menge M. M = n bedeutet daher, dass M genau n verschiedene Elemente hat. Etwas vornehmer ausgedrückt: M = n gilt genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung f : {1, 2,..., n} M gibt. 23

24 Einschub: Verknüpfung von Abbildungen Die Verknüpfung (Komposition) zweier Abbildungen f : M N und g : N P ist durch g f : M P, m g(f(m)) erklärt. (Die zuerst auszuführende Abbildung steht rechts.) Satz Die Verknüpfung von zwei bijektiven (injektiven, surjektiven) Abbildungen ist wieder bijektiv (bzw. injektiv, surjektiv). Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass die Verknüpfung von zwei injektiven (surjektiven) Abbildungen wieder injektiv (bzw. surjektiv) ist. Der Rest folgt. 24

25 Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung Wir erinnern uns: Eine Abbildung f : M N heißt bijektiv, wenn es zu jedem n N genau ein m M mit f(m) = n gibt. Dies ermöglicht die Definition der Umkehrabbildung zu f. Die Umkehrabbildung g : N M der bijektiven Abbildung f : M N ordnet jedem n N das (wegen der Bijektivität von f) eindeutig bestimmte Urbild m M mit f(m) = n zu. Schreibweise: f 1 := g. Die Umkehrabbildung einer bijektiven Abbildung f : M N ist wieder bijektiv. Warum? Eigenschaften: (a) (f 1 ) 1 = f (b) (g f) 1 = g 1 f 1. 25

26 Zählformeln I (Z1) M = N Es gibt eine bijektive Abbildung f : M N. Beweis. Verwende, dass Verknüpfungen von bijektiven Abbildungen und Umkehrabbildungen wieder bijektiv sind. (Z2) M N = M + N, falls M und N disjunkt sind, d.h. M N = gilt. Beweis. Zähle erst die Elemente von M, dann die von N ab. (Z3) M N = M N. Schreibe M N als disjunkte Vereinigung der Teilmengen {m} N, mit m M, und zähle ab. 26