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1 $Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $ 4 Körper In der letzten Sitzung hatten wir den Körperbegriff eingeführt und einige seiner elementaren Eigenschaften vorgeführt. Insbesondere hatten wir festgehalten, dass die Restklassen modulo p für jede Primzahl p einen Körper Z p bilden. Als eine kleine Anwendung dieser endlichen Körper wollen wir den kleinen Satz von Fermat in seiner zahlentheoretischen Form beweisen. Vielleicht erinnern Sie sich daran, dass wir dies schon einmal getan haben, nämlich im Anschluß an den kleinen Satz von Fermat für Gruppen 2.Satz 9, aber wir wollen das Argument noch einmal in Körpersprache wiederholen. Satz 4.5 (Kleiner Satz von Fermat) Seien p N eine Primzahl und a Z eine ganze Zahl mit p a. Dann gilt a p 1 1 mod p. Beweis: Nach Satz 4 ist der Restklassenring Z p ein Körper und wir betrachten seine multiplikative Gruppe Z p. Diese hat Z p = Z p 1 = p 1 viele Elemente und nach dem gruppentheoretischen kleinen Satz von Fermat gilt x p 1 = 1 für alle x Z p. Wegen p a ist die Restklasse [a] Z p, und somit in Z p, und dies bedeutet a p 1 1 mod p. [a p 1 ] = [a] p 1 = [1] Multiplizieren wir noch einmal mit a, so nimmt der Satz die Form a p a mod p an, und in dieser Form gilt er sogar für alle a Z. Welche Körper sind nun für praktische Zwecke relevant? Zum einen sind dies die Körper der reellen und komplexen Zahlen ohne die gar nichts geht. Auch der Körper Z 2 mit zwei Elementen ist für einige Anwendungen wichtig. Um dies ein wenig zu sehen, betrachten wir einmal Bitsequenzen einer festen Länge n, also etwa für n = 5. Nennen wir die beiden Elemente von Z 2 Null und Eins, so können wir diese Bitsequenzen mit n-dimensionalen Vektoren identifizieren, beispielsweise entspricht dem Vektor (1, 0, 0, 1, 0). Ein n-dimensionaler Vektor über einem Körper ist dabei einfach 8-1

2 eine Liste von n Körperelementen. Das Wort n-dimensional wird hier wie immer in der Mathematik in einem völlig prosaischen Sinne verwendet, hier als Listen von n Zahlen, ohne irgendwelche implizierten Konotationen. Erinnern wir uns daran das man in einem Körper normal rechnen kann, so kann man auch die gewohnte Vektorrechnung durchführen. Dies erlaubt es den Bitsequenzen eine geometrische Bedeutung zu geben, was sich als nützlich herausstellt. Andere Körper haben außerhalb der Mathematik keine grosse Bedeutung. Kommen wir jetzt wieder zur Mathematik zurück. Wir hatten Polynome über allgemeinen Ringen definiert, und festgestellt das es in dieser Allgemeinheit einen Unterschied zwischen Polynomen und Polynomfunktionen gibt. Wir wollen jetzt einsehen, dass dies bei unendlichen Körpern kein Problem mehr ist. Wir erinnern uns dazu daran, dass wir am Ende von 3.3 eingesehen hatten das über einem Ring die normale Polynomdivision durchführbar ist, solange nur der höchste Koeffizient des Divisors im betrachteten Ring invertierbar ist. Da bei einem Körper jedes von Null verschiedene Element invertierbar ist, ist die Polynomdivision über Körpern immer durchführbar, d.h. sind a, d K[x] zwei Polynome über einem Körper K mit d 0, so gibt es einen eindeutig bestimmten Quotienten q K[x] und einen eindeutig bestimmten Rest r K[x] mit grad(r) < grad(d) und a = q d + r. Mit diesem Hilfsmittel können wir das folgende Lemma beweisen. Lemma 4.6 (Herausziehen von Nullstellen) Seien K ein Körper und p K[x] ein Polynom mit grad(p) 1. Weiter sei a K eine Nullstelle von p, d.h. p(a) = 0 wenn wir a in die zum Polynom gehörige Polynomfunktion einsetzen. Dann existiert genau ein Polynom q K[x] mit p = q (x a). Dabei gilt grad(q) = grad(p) 1. Beweis: Wie gerade festgehalten existieren eindeutig bestimmte Polynome q, r K[x] mit p = q (x a) + r und grad(r) < grad(x a) = 1. Damit ist grad(r) = 0 oder grad(r) =, d.h. r K ist ein konstantes Polynom. Einsetzen von x = a in die zugehörigen Polynomfunktionen ergibt 0 = p(a) = q(a) (a a) + r = r, und somit gilt p = q (x a). Insbesondere ist nach der Gradformel für Polynome auch grad(p) = grad(q) + grad(x a) = grad(q) + 1, also grad(q) = grad(p) 1. Damit können wir nun zeigen, dass ein Polynom über einem Körper höchstens so viele Nullstellen haben kann wie sein Grad ist. Satz 4.7 (Nullstellen von Polynomen über Körpern) Seien K ein Körper ein p K[x] ein Polynom mit n := grad(p) 1. Dann hat p höchstens n verschiedene Nullstellen in K. 8-2

3 Beweis: Wir beweisen dies durch Induktion nach n. Im Fall n = 1 ist grad(p) = 1 also p = ax + b mit a, b K, a 0. Damit hat p genau eine Nullstelle in K, nämlich x = b/a. Für n = 1 gilt die Aussage folglich. Jetzt sei n 2 und jedes Polynom p K[x] mit grad(p) = n 1 habe höchstens n 1 verschiedene Nullstellen in K. Sei p K[x] mit grad(p) = n ein Polynom von Grad n. Wir unterscheiden zwei verschiedene Fälle. Fall 1. Hat p überhaupt keine Nullstelle in K, so sind wir sofort fertig. Fall 2. Nun gebe es eine Nullstelle, also ein a K mit p(a) = 0. Nach Lemma 6 existiert dann ein Polynom q K[x] mit p = q (x a) und grad(q) = grad(p) 1 = n 1. Nach unserer Induktionsannahme hat das Polynom q höchstens n 1 Nullstellen in K. Nach Lemma 3 gibt aber für jedes x K p(x) = 0 q(x) (x a) = 0 x = a oder q(x) = 0, d.h. p hat höchstens eine Nullstelle mehr als q, und somit insgesamt höchstens (n 1) + 1 = n viele Nullstellen. Per Induktion ist damit alles bewiesen. Ist jetzt K ein unendlicher Körper, so sind zwei Polynome p, q K[x] genau dann gleich, wenn ihre zugehörigen Polynomfunktionen gleich sind, wenn also p(x) = q(x) für jedes x K gilt. Die Implikation von links nach rechts ist dabei trivial. Seien also p, q K[x] mit p(x) = q(x) für alle x K gegeben. Dann ist jedes Element von K eine Nullstelle der Differenz h := p q, und da K als unendlich angenommen wird hat h somit unendlich viele Nullstellen. Nach dem eben bewiesenen Satz ist damit grad(h) 0, d.h. h ist konstant. Da h Nullstellen hat muss die Konstante Null sein, also h = 0 und somit p = q. Über unendlichen Körpern, also insbesondere über den reellen Zahlen, können wir Polynome also wirklich als Funktionen behandeln. 4.1 Angeordnete Körper Im letzten Abschnitt hatten wir Körper als spezielle Ringe definiert, in denen man weitgehend normal rechnen kann. Dieses normale Rechnen bezog sich dabei nur auf Gleichungen, nicht aber auf Verschiedenheitsaussagen, zum Beispiel konnte in einem Körper sehr wohl die merkwürdige Identität = 0 gelten. Wir werden jetzt eine spezielle Sorte von Körpern einführen in denen so etwas 1+1 = 0 nicht passieren kann. Diese Körper werden den reellen Zahlen sehr viel ähnlicher sein, als es zum Beispiel die Restklassenkörper Z p für Primzahlen p sind. In den reellen Zahlen haben wir nicht nur die arithmetischen Grundrechenarten +,,, / sondern auch eine Anordnung die mit den arithmetischen Operationen zusammenpasst. Den Begriff einer Anordnung kennen Sie dabei aus Teil A, eine Anordnung einer Menge X ist eine Relation auf X, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt 1. Reflexivität, d.h. für alle x X ist x x. 8-3

4 2. Antisymmetrie, d.h. für alle x, y X mit x y und y x ist x = y. 3. Transitivität, d.h. für alle x, y, z X mit x y und y z ist auch x z. 4. Totalität, d.h. für alle x, y X gilt stets x y oder y x. Oftmals verwendet man für den Begriff einer Anordnung auch nur die ersten drei Bedingungen, und nennt dann eine Anordnung die auch die vierte Eigenschaft hat total oder linear. Für unsere Zwecke ist es etwas praktischer die echt kleiner Beziehung, definiert durch x < y : x y und x y für alle x, y X, zu verwenden. Wegen x y x < y oder x = y ist es egal welche dieser beiden Relationen verwendet wird. Man kann die definierenden Eigenschaften einer Anordnung äquivalent auch für echt kleiner anstelle von kleiner gleich formulieren, dies führt auf die folgenden beiden Bedingungen: 1. Es gilt das Trichotomieprinzip, d.h. für alle x, y X gilt genau eine der drei Aussagen x < y oder x = y oder y < x. 2. Transitivität, d.h. für alle x, y, z X mit x < y und y < z gilt auch x < z. Das Trichotomieprinzip ersetzt dabei die drei Bedingung der Reflexivität, Antisymmetrie und Totalität. Betrachten wir Anordnungen auf einem Körper K, so kann man das ganze noch etwas weiter vereinfachen. Die Relation x < y sollte dann gleichwertig zu y x > 0 sein, es reicht also die Menge der positiven Elemente zu kennen. Diese Überlegungen führen auf die folgende Definition: Definition 4.8: Sei K ein Körper. Ein Positivbereich auf K ist eine Teilmenge P K mit den folgenden beiden Eigenschaften: (P1) Es sind P + P P und P P P, d.h. für alle x, y P gelten auch x + y P und x y P. (P2) Die Mengen P und P := { x x P bilden eine Partition von K, d.h. K = P ( P ) und P ( P ) =. Die Elemente aus P heißen positiv und die aus P negativ. Ein angeordneter Körper (K, P ) ist ein Körper K mit einem Positivbereich P. Der Positivbereich P spielt die Rolle der Menge der positiven Elemente von K. Wie schon angekündigt können wir den Positivbereich verwenden, um eine Anordnung auf dem Körper K zu definieren. 8-4

5 Definition 4.9: Sei K ein angeordneter Körper mit dem Positivbereich P. Dann lassen sich auf K die folgenden Ordnungsrelationen definieren: jeweils für alle x, y K. x < y : y x P, x y : (x < y) (x = y) (also x = y y x P ), x > y : y < x (also x y P ), x y : y x (also x = y x y P ), Nun muss man verifizieren, dass diese Definition klappt, dass es sich bei beziehungsweise < also wirklich um Anordnungen handelt, und die von den reellen Zahlen vertrauten Rechenregeln für < weiter wahr sind. Lemma 4.10 (Grundeigenschaften angeordneter Körper) In angeordneten Körpern K gilt: (a) Für alle x, y K gilt genau eine der folgenden drei Aussagen: x < y, y < x oder x = y (Trichotomieprinzip). (b) Die Relation < ist transitiv. (c) Verträglichkeit mit der Addition, d.h. für alle x 1, x 2, y 1, y 2 K mit x 1 < x 2 und y 1 y 2 ist auch x 1 + y 1 < x 2 + y 2. (d) Verträglichkeit mit der Multiplikation, d.h. für alle x, y, z K gilt (x < y) (z > 0) = xz < yz, (x < y) (z < 0) = xz > yz. (e) Verträglichkeit mit additiven und multiplikativen Inversen, d.h. für alle x, y K gelten: x > 0 x < 0, x < y x > y, 0 < x < y = 0 < 1 y < 1 x. Beweis: Dies ist Aufgabe (22). Als nächsten Schritt halten wir fest das von Null verschiedene Quadrate in einem angeordneten Körper immer positiv sind. Lemma 4.11 (Quadrate in angeordneten Körpern) In angeordneten Körpern gilt x 2 > 0 für alle x K. Insbesondere gilt 1 > 0 und 1 <

6 Beweis: Ist x > 0, also x P, so gilt nach dem Anordnungsaxiom (P1) auch x 2 P, d.h. x 2 > 0. Andernfalls ist nach Anordnungsaxiom (P2) dann x P, d.h. x P, und somit ist auch x 2 = ( x) 2 P, also x 2 > 0. Insbesondere ist 1 = 1 2 > 0 und mit Lemma 10.(e) folgt auch 1 < 0. In einem angeordneten Körper ist somit x 2 1 für alle x K. Die meisten Körper besitzen keinen Positivbereich. Zum Beispiel ist im Restklassenkörper Z 5 wegen 2 2 = 4 1 mod 5 das Element 1 ein Quadrat, es kann also keinen Positivbereich in Z 5 geben. Tatsächlich werden wir bald sehen, dass kein endlicher Körper angeordnet werden kann. Wenn es allerdings Positivbereiche gibt, so kann es passieren das gleich mehrere verschiedene Positivbereiche existieren. Derartige Körper lassen sich dann auf mehr als eine Weise anordnen. Ein Beispiel für einen solchen Körper wird in Aufgabe (21) behandelt. Es gibt also sowohl Körper die überhaupt keine Positivbereiche haben, wie etwa Z 5, es gibt Körper die genau einen Positivbereich haben, wie etwa die reellen Zahlen, und es gibt auch Körper die mehrere Positivbereiche haben, wie das eben diskutierte Beispiel. Wir wollen uns jetzt allmählich in Richtung des wichtigsten angeordneten Körpers bewegen, dies sind gerade die reellen Zahlen. Zum Abschluß dieses Abschnitts über allgemeine angeordnete Körper wollen wir noch zeigen, dass in angeordneten Körpern niemals so etwas wie = 0 passieren kann. Wir wollen sogar einsehen das man in einem angeordneten Körper mit den rationalen Zahlen normal rechnen kann. Da Q streng genommen nicht einmal eine Teilmenge eines gegebenen angeordneten Körpers K sein muss, benötigen wir einen Isomorphiebegriff für angeordnete Körper. Dieser wird analog zu demjenigen für Gruppen in 2 definiert. Ist für i = 1, 2 ein angeordneter Körper K i mit Positivbereich P i gegeben, so ist ein Isomorphismus dieser angeordneten Körper eine bijektive Abbildung ϕ : K 1 K 2 mit den folgenden Eigenschaften: 1. Für alle x, y K 1 ist ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y). In anderen Worten ist ϕ ein Isomorphismus der additiven Gruppe (K 1, +) mit (K 2, +). Insbesondere muss nach 2.Lemma 6 damit ϕ(0) = 0 gelten. 2. Für alle x, y K 1 ist ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). In anderen Worten ist ϕ ein Isomorphismus der multiplikativen Gruppe (K 1, ) mit (K 2, ). Erneut mit 2.Lemma 6 müssen wir also ϕ(1) = 1 haben. 3. Es gilt ϕ(p 1 ) = P 2. Da P i für i = 1, 2 die Menge der positiven Elemente von K i ist, können wir Bedingung (3) auch in der Form (x K 1 ) : x > 0 ϕ(x) > 0 aussprechen. Für alle x, y K 1 folgt damit auch x < y y x > 0 ϕ(y) ϕ(x) = ϕ(y x) > 0 ϕ(x) < ϕ(y), 8-6

7 d.h. ein Isomorphismus angeordneter Körper ist auch mit den Anordnungen der beiden Körper verträglich. Jetzt können wir zeigen, dass jeder angeordnete Körper die rationalen Zahlen enthält, beziehungsweise genauer einen zu ihnen isomorphen Unterkörper. Lemma 4.12: Jeder angeordnete Körper K enthält (bis auf Isomorphie) die rationalen Zahlen Q. Beweis: In der kommutativen Gruppe (K, +) haben wir nach 2 Potenzen von Elementen mit ganzen Zahlen. Da die Verknüpfung als + geschrieben wird, werden diese Potenzen zu Vielfachen. Insbesondere haben wir für jedes n Z das Körperelement n 1 K, und hiermit definieren wir eine Abbildung ϕ : Z K; n n 1. Die Potenzrechenregeln für Gruppen ergeben dann ϕ(n + m) = (n + m) 1 = n 1 + m 1 = ϕ(n) + ϕ(m) für alle n, m Z. Damit ist ϕ : (Z, +) (K, +) ein Gruppenhomomorphismus. Weiter behaupten wir das für alle a K, n Z auch (n 1) a = n a ist. Für n N folgt dies aus dem Distributivgesetz (n 1) a = (1 + {{ + 1 ) a = a + {{ + a = n a, n mal n mal für n = 0 ist trivialerweise (n 1) a = 0 a = 0 = n a, und für jedes n N ist weiter auch (( n) 1) a = ( n 1) a = ((n 1) a) = (n a) = ( n) a. Für alle n, m Z ergibt sich mit den Potenzrechenregeln weiter ϕ(nm) = (nm) 1 = n (m 1) = (n 1) (m 1) = ϕ(n) ϕ(m). Damit ist ϕ auch ein multiplikativer Isomorphismus. Schließlich ist für jedes n N nach Lemma 11 und Lemma 10.(e) auch ϕ(n) = 1 + {{ + 1 > 0 und ϕ( n) = ( n) 1 = (n 1) < 0, n mal also ist n > 0 ϕ(n) > 0 für jedes n Z. Für alle n, m Z folgt weiter n < m m n > 0 ϕ(m) ϕ(n) = ϕ(m n) > 0 ϕ(n) < ϕ(m). Insbesondere ist für n, m Z mit n m auch ϕ(n) ϕ(m) und ϕ ist injektiv. Damit enthält K bis auf Isomorphie zumindest Z. Nun definieren wir ϕ : Q K; m ϕ(m) n ϕ(n) 8-7

8 für m Z, n N. Da wir für n N bereits ϕ(n) > 0 wissen, ist dies überhaupt sinnvoll. Weiter wird durch obige Vorschrift eine wohldefinierte Abbildung eingeführt, denn sind m, m Z, n, n N mit m/n = m /n, so ist mn = m n, und somit auch ϕ(m)ϕ(n ) = ϕ(mn ) = ϕ(m n) = ϕ(m )ϕ(n) = ϕ(m) ϕ(n) = ϕ(m ) ϕ(n ). Die Gültigkeit der Bruchrechenregeln in einem Körper, ergibt das auch ϕ ein Homomorphismus von Addition und Multiplikation ist. Für m Z, n N ist wegen ϕ(n) > 0 auch ( m ) ϕ = ϕ(m) n ϕ(n) > 0 ϕ(m) > 0 m > 0 m n > 0. Damit bildet ϕ den Positivbereich von Q genau auf den Positivbereich von K ab. Wie für ϕ folgt damit das auch ϕ injektiv ist. Das Bild von ϕ ist jetzt der bis auf Isomorphie in K enthaltene Körper Q. Insbesondere ist damit jeder angeordnete Körper unendlich, auf endlichen Körpern wie unseren Restklassenkörpern kann es also keine Anordnung geben. 4.2 Der Körper der reellen Zahlen Wir wiederholen zunächst einige Definitionen die Sie bereits aus Teil A kennen für den Spezialfall angeordneter Körper. Definition 4.13: Sei K ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge A K heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke M K von A in K gibt, d.h. ein M K mit x M für alle x A. Entsprechend heißt eine Teilmenge A K nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke m K von A in K gibt, d.h. ein m K mit x m für alle x A. 8-8