Unterlagen zu Polynomringen. Erhard Aichinger

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1 Unterlagen zu Polynomringen Erhard Aichinger Linz, im November 2005 Alle Rechte vorbehalten 1

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3 KAPITEL 1 Polynome und Körper 1. Körper DEFINITION 1.1. Ein kommutativer Ring mit Eins R R,,,, 0, 1 ist ein Körper wenn (1) R 2, (2) Für alle x R 0 gibt es ein y R mit x y 1. ÜBUNGSAUFGABEN 1.2. (1) Zeigen Sie, dass es in einem Körper für jedes x höchstens ein y mit x y 1 geben kann. (2) Zeigen Sie, dass das Produkt zweier Elemente in einem Körper nur dann 0 ist, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. In einem Körper hat jedes Element a 0 genau ein multiplikativ inverses Element; wir bezeichnen es mit a 1. Für jede Primzahl p ist der Ring p ein Körper. DEFINITION 1.3. Sei E E,,,, 0, 1 ein Körper, und sei K E. Die Menge K ist dann Trägermenge eines Unterkörpers von E, wenn (1) 0 K, 1 K, (2) für alle x, y K gilt x y K, x y K, x y K, (3) für alle x K 0 gilt x 1 K. Wenn K Trägermenge eines Unterkörpers von E ist, so ist K K, K K, K, K K, 0, 1 selbst ein Körper. Wir bezeichnen K dann als Unterkörper von E, und E als Erweiterung von K. 2. Polynome DEFINITION 1.4. Sei K kommutativer Ring mit Eins. Dann ist K x die Menge aller Ausdrücke a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 a n x n mit n 0 und a 0, a 1,, a n K. DEFINITION 1.5. Addition und Multiplikation auf K x. 3

4 4 1. POLYNOME UND KÖRPER DEFINITION 1.6. Sei f K x. deg f, deg 0 1. DEFINITION 1.7. Sei K Körper, und seien f, g K x. (1) f teilt g, wenn es q K x gibt, sodass g q f. (2) f ist invertierbar, wenn deg f 0. (3) f ist irreduzibel über K (ein irreduzibles Polynom in K x ), wenn deg f 1 und für alle a, b K x mit a b f entweder a oder b Grad 0 hat. (4) f ist normiert, wenn es führenden Koeffizienten 1 hat. 3. Teilbarkeit von Polynomen SATZ 1.8. Sei K Körper, und seien f, g K x. Wenn f 0, so gibt es q, r K x mit g q f r und deg r < deg f. DEFINITION 1.9 (ggt in K x ). Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0. Dann ist d K x ein größter gemeinsamer Teiler von f und g, wenn folgende Bedingungen gelten: (1) d f und d g, (2) Für alle h K x mit h f und h g gilt deg h deg d, (3) d ist normiert. Wir bezeichnen den Rest von g bei der Division durch f mit g mod f. Da das Paar g, f die gleichen gemeinsamen Teiler wie das Paar f, g mod f hat, können wir einen größten gemeinsamen Teiler mithilfe des Euklidschen Algorithmus berechnen. Wir rechnen dazu drei Beispiele: BEISPIEL Wir berechnen ein größten gemeinsamen Teiler von f, g x für und f 8 x 4 x 2 6 x 3 5 x 4 x 5 g 4 4 x x 2 x 3. Wir bilden die gleiche Tabelle wie beim Euklidschen Algorithmus für ganze Zahlen und erhalten: 8 x 4 x 2 6 x 3 5 x 4 x x x 2 x x 10 x x x x x 8 7 x 9 x2 x Um einen normierten gemeinsamen Teiler zu erhalten, multiplizieren wir die vorletzte Zeile dieser Tabelle mit 25 und erhalten 2 x als einen größten gemeinsamen Teiler. 16

5 Außerdem gilt 3. TEILBARKEIT VON POLYNOMEN 5 2 x x 32 f 1 7 x 9 x x3 g. 32 BEISPIEL Wir berechnen den größten gemeinsamen Teiler der Polynome f 1 x 3 x 5 und g 1 x x 3 in 2 x. Wir erhalten 1 x 3 x x x x 2 1 x 2 1 x 1 x 3 0 Daher ist 1 ein größter gemeinsamer Teiler, und es gilt 1 x f 1 x 3 g. BEISPIEL Wir berechnen den größten gemeinsamen Teiler der Polynome f 1 x 3 x 5 und g 1 x x 3 in 3 x. Wir erhalten 1 x 3 x x x x x x x 1 2 x 3 0 Daher ist 2 1 2x 2 x ein größter gemeinsamer Teiler, und es gilt 2 x 2x f 2 x 3 g. Wir können also einen größten gemeinsamen Teiler mithilfe des Euklidschen Algorithmus bestimmen. Daraus ergibt sich: SATZ Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0. Dann gibt es einen größten gemeinsamen Teiler d von f und g, für den es u, v K x gibt, sodass u f v g d. SATZ Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0, und sei d K x. Wir nehmen an, dass es u, v K x gibt, sodass d u f v g. Dann teilt jeder gemeinsame Teiler von f und g auch das Polynom d. Beweis: Sei h ein gemeinsamer Teiler von f und g. Dann gilt h u f vg, also h d.

6 6 1. POLYNOME UND KÖRPER KOROLLAR Sei K ein Körper, und seien f, g K x, nicht beide 0. Seien d 1, d 2 K x beide ggt von f und g. Dann gilt d 1 d 2. Beweis: Nach Satz 1.13 gibt es einen größten gemeinsamen Teiler d von f und g, der sich als u f vg mit u, v K x schreiben lässt. Wegen Satz 1.14 gilt d 1 d. Sowohl d 1 als auch d haben den maximal möglichen Grad unter allen gemeinsamen Teilern von f und g. Also gilt deg d 1 deg d. Somit gibt es ein Α K, sodass d Αd 1. Da d und d 1 normiert sind, gilt Α 1 und somit d d 1. Ebenso gilt d d 2, also d 1 d Polynomfunktionen und Nullstellen DEFINITION Sei K ein Körper, und sei f K x. Seien n und a 0, a 1,, a n K so, dass f a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n. Dann ist f die Funktion, die durch f K K k a 0 a 1 k a 2 k 2 a n k n definiert ist. Sie heißt die von f induzierte Polynomfunktion. DEFINITION Sei K ein Körper, sei f K x, und sei Α K. Die Zahl Α ist eine Nullstelle von f, wenn f Α 0. SATZ Sei K ein Körper, sei f K x, und sei Α K. Dann ist Α genau dann eine Nullstelle von f, wenn x Α f gilt. SATZ Sei K ein Körper, sei n, und sei f K x ein Polynom mit deg f n. Dann hat f höchstens n Nullstellen. Beweis: Die Aussage stimmt für n 1: ein Polynom der Form Α 1 x Α 2 hat, wenn Α 1 0, nur die Nullstelle Α 2 Α 1 1. Wir nehmen nun an, dass n 1 ist, und dass jedes Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen hat. Wir zeigen, dass dann jedes Polynom vom Grad n 1 höchstens n 1 Nullstellen haben kann. Sei dazu f ein Polynom vom Grad n 1. Wenn f keine Nullstellen hat, dann sind wir fertig, denn keine Nullstellen heißt natürlich auch weniger als n 2 Nullstellen. Wenn f zumindest eine Nullstelle hat, dann wählen wir eine Nullstelle Α. Wir können dann ein Polynom g vom Grad n finden, sodass f x Α g. Sei nun Β eine Nullstelle von f mit Β Α. Dann gilt f Β Β Α g Β. Also gilt 0 Β Α g Β. Wegen Β Α 0 gilt g Β 0. Das Element Β ist daher eine Nullstelle von g. Da wir angenommen haben, dass jedes Polynom vom Grad n höchstens n Nullstellen hat, hat g höchstens n Nullstellen. Jede Nullstelle von f ist entweder gleich Α oder unter diesen n Nullstellen von g. Somit hat f höchstens n 1 Nullstellen.

7 5. KÖRPER AUS POLYNOMRINGEN 7 5. Körper aus Polynomringen Sei f ein Polynom in K x. Für a, b K x definieren wir a b mod f, falls f a b. Das ist genau dann der Fall, wenn a mod f b mod f. Wir definieren Sei K x / f definiert durch Auf K x / f definieren wir,, durch a q f q K x. K x / f a K x. b f a b f b f a b f b f a b f. SATZ Sei K ein Körper, und sei f K x. Dann ist K x / f,,,, 0 f, 1 f ein Ring mit Eins. SATZ Sei K ein Körper, f K x irreduzibel über K. Dann ist K x / f ein Körper.