Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014

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1 Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1

2 Die Modulo-n-Relation Definition Es sei n 1. Für a, b Z setzen wir a n b, falls n b a. Es sei n 1. n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. Ein Repräsentantensystem ist {0,..., n 1}. 10.2

3 Schreibweisen Betrachtet sei die Äquivalenzrelation n auf Z. Es sei a Z. Wir schreiben statt a n einfach a n oder noch einfacher a, sofern Missverständnisse ausgeschlossen sind. Wir nennen diese Äquivalenzklassen derweil Restklassen modulo n. Also: a n = {a, a n, a + n, a 2n, a + 2n,...}. Man beachte: ist dasselbe. a n b und a n = b n 10.3

4 Rechnen mit Restklassen Es sei n 1. Für a, a, b, b Z gelte a n a und b n b. Dann gilt a + b n a + b, ab n a b, a n a. Definition Es sei n 1. Für a, b Z setzen wir a n + b n = a + b n a n b n = a b n a n = a n. 10.4

5 Die algebraische Struktur der Restklassen Definition Es sei n 1. Die Menge aller Äquivalenzklassen bezüglich n bezeichnen wir mit Z n. Wir statten Z n mit der Addition +, der Multiplikation, der Konstanten 0 n, und der Konstanten 1 n aus und erhalten den Restklassenring (Z n ; +,, 0 n, 1 n ). 10.5

6 Die Ringeigenschaften (Z n ; +,, 0 n, 1 n ) ist ein kommutativer Ring mit 1. Das bedeutet: (1) (Z n ; +, 0 n ) eine abelsche Gruppe; d.h. es gilt für alle a, b, c Z n Folgendes: (A1) (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität der Addition); (A2) a + 0 n = a (Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition); (A3) für jedes a gibt es ein b mit a + b = 0 n (Existenz inverser Elemente bezüglich der Addition); (A4) a + b = b + a (Kommutativität der Addition). 10.6

7 Die Ringeigenschaften (Fortsetzung) (2) (Z n ;, 1 n ) ein kommutatives Monoid; d.h. es gilt für alle a, b, c Z n Folgendes: (M1) (a b) c = a (b c) (Assoziativität der Multiplikation); (M2) a 1 n = a (Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Multiplikation); (M3) a b = b a (Kommutativität der Multiplikation). (3) Es gilt Distributivität; d.h. es gilt für alle a, b, c Z n : (AM) a (b + c) = a b + a c (Distributivität der Multiplikation über die Addition). 10.7

8 Dividieren mit Restklassen? Es sei a, b Z. Dann hat die Gleichung a n x n = b n i.a. keine Lösung. Es sei n 1 und a, b Z. Dann gibt es ein x Z mit genau dann, wenn ggt(a, n) b. ax n b Anmerkung: Das Kriterium ist für jedes b erfüllt, wenn a und n relativ prim sind. 10.8

9 Chinesischer Restsatz Es sei a 1,..., a k Z; weiter seien n 1,..., n k 1 paarweise relativ prim. Dann gibt es ein x Z mit x n1 a 1, x n2 a 2,... x nk a k. Die Lösung ist modulo n 1... n k eindeutig. 10.9

10 Kleiner Fermatscher Es sei p eine Primzahl und a Z. Dann gilt a p p a. Ist p kein Teiler von a, gilt sogar a p 1 p

11 Das Verfahren Ein öffentlicher Schlüssel ist ein Paar (pq, e), worin p und q verschiedene Primzahlen der Größenordnung sind und e < (p 1)(q 1) so gewählt ist, dass e und (p 1)(q 1) relativ prim sind. Der zugehörige private Schlüssel ist ein Paar (pq, d), worin d < (p 1)(q 1) so gewählt ist, dass de (p 1)(q 1) 1 gilt. Ein Nachricht sei ein N < pq. Wir versenden N mit dem öffentlichen Schlüssel codiert : S pq N e. Wir decodierten S mit dem privaten Schlüssel : N pq S d

12 Der mathematische Hintergrund Es seien p, q verschiedene Primzahlen, 1 d, e < pq, und es gelte de (p 1)(q 1) 1. Dann gilt für N N N de pq N