ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen

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1 ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen Vorlesung mit Übung im WS 2015/16 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität Graz

2 Kongruenzen Denition (8) Es seien m N + und a, b Z. a) a heiÿt kongruent zu b modulo m (Schreibweise: a b mod (m)) genau dann, wenn m (b a). m heiÿt der Modul der Kongruenz a b mod (m). b) a = {b Z b a mod (m)} = {a + km k Z} = a + mz heiÿt (die) Restklasse (von a) modulo m. Jedes Element c a einer Restklasse heiÿt ein Repräsentant dieser Restklasse. c) Z/(m) bezeichnet die Menge aller Restklassen modulo m: Z/(m) = {r = r + mz 0 r < m} = {0, 1, 2,..., (m 1)}. d) Für s 1,..., s m Z heiÿt {s 1,..., s m } ein vollständiges Repräsentantensystem modulo m, wenn für alle i, j mit 1 i < j m gilt: s i s j mod (m).

3 Kongruenzen Denition (8) Es seien m N + und a, b Z. a) a heiÿt kongruent zu b modulo m (Schreibweise: a b mod (m)) genau dann, wenn m (b a). m heiÿt der Modul der Kongruenz a b mod (m). b) a = {b Z b a mod (m)} = {a + km k Z} = a + mz heiÿt (die) Restklasse (von a) modulo m. Jedes Element c a einer Restklasse heiÿt ein Repräsentant dieser Restklasse. c) Z/(m) bezeichnet die Menge aller Restklassen modulo m: Z/(m) = {r = r + mz 0 r < m} = {0, 1, 2,..., (m 1)}. d) Für s 1,..., s m Z heiÿt {s 1,..., s m } ein vollständiges Repräsentantensystem modulo m, wenn für alle i, j mit 1 i < j m gilt: s i s j mod (m).

4 Kongruenzen Denition (8) Es seien m N + und a, b Z. a) a heiÿt kongruent zu b modulo m (Schreibweise: a b mod (m)) genau dann, wenn m (b a). m heiÿt der Modul der Kongruenz a b mod (m). b) a = {b Z b a mod (m)} = {a + km k Z} = a + mz heiÿt (die) Restklasse (von a) modulo m. Jedes Element c a einer Restklasse heiÿt ein Repräsentant dieser Restklasse. c) Z/(m) bezeichnet die Menge aller Restklassen modulo m: Z/(m) = {r = r + mz 0 r < m} = {0, 1, 2,..., (m 1)}. d) Für s 1,..., s m Z heiÿt {s 1,..., s m } ein vollständiges Repräsentantensystem modulo m, wenn für alle i, j mit 1 i < j m gilt: s i s j mod (m).

5 Rechenregeln für Kongruenzen mit festem Modul Satz (14) Es seien m N + und a, a, b, b Z mit a a b b mod (m). Dann gilt: mod (m) und a) a ± b a ± b mod (m). b) ab a b mod (m). c) Für k N + gilt: a k (a ) k mod (m). d) Ist f Z[X ], so gilt: f (a) f (a ) mod (m). e) ggt(a, m) = ggt(a, m).

6 Rechenregeln für Kongruenzen zu verschiedenen Moduln Satz (15) Es seien m N + und a, b, c Z. a) Ist a b mod (m) und m 0 N + mit m 0 m, so folgt a b mod (m 0 ). b) Ist a b mod (m) und c 0, so folgt ac bc mod (m c ). c) Ist ac bc mod (m), so folgt a b mod ( m ggt(c,m)). d) Es seien m 1,..., m k N +. Es gilt für alle 1 i k a b mod (m i ) genau dann, wenn a b mod ( kgv(m 1,..., m k ) ) gilt.

7 Anwendung: Prüfziern Oft werden natürliche Zahlen verwendet, um groÿe Datenmengen,,durchzunummerieren (Sozialversicherungs-, Konto-, Kreditkarten-, Artikel-, Kunden-, Buchungs-Nummer). Um bei einer k-stelligen Dezimalzahl Fehler (beim Abschreiben, Eintippen, Scannen,... ) zu vermeiden, wird die Zahl mit einer (oder mehreren) Prüfziern ergänzt, welche nach einem bestimmten Schema (Rechenvorschrift) bestimmt werden. Damit sind bei d Prüfziern nicht mehr alle (k + d)-stelligen Dezimalzahlen,,gültige Nummern, sondern nur mehr jene mit richtigen Prüfziern. ISBN = Internationale Standard Buch Nummer: z 1 -z 2 z 3 z 4 -z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 -p mit z 1,..., z 9 {0, 1, 2,..., 9} Die Prüfzier p {0, 1, 2,..., 9, X = 10} wird so berechnet, dass erfüllt ist. p z 1 + 2z 2 + 3z z 9 mod (11) IBAN, EAN = European Article Number (EAN-13), GTIN = Global Trade Item Number (GTIN-13, GTIN-14)

8 Anwendung: Prüfziern Oft werden natürliche Zahlen verwendet, um groÿe Datenmengen,,durchzunummerieren (Sozialversicherungs-, Konto-, Kreditkarten-, Artikel-, Kunden-, Buchungs-Nummer). Um bei einer k-stelligen Dezimalzahl Fehler (beim Abschreiben, Eintippen, Scannen,... ) zu vermeiden, wird die Zahl mit einer (oder mehreren) Prüfziern ergänzt, welche nach einem bestimmten Schema (Rechenvorschrift) bestimmt werden. Damit sind bei d Prüfziern nicht mehr alle (k + d)-stelligen Dezimalzahlen,,gültige Nummern, sondern nur mehr jene mit richtigen Prüfziern. ISBN = Internationale Standard Buch Nummer: z 1 -z 2 z 3 z 4 -z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 -p mit z 1,..., z 9 {0, 1, 2,..., 9} Die Prüfzier p {0, 1, 2,..., 9, X = 10} wird so berechnet, dass erfüllt ist. p z 1 + 2z 2 + 3z z 9 mod (11) IBAN, EAN = European Article Number (EAN-13), GTIN = Global Trade Item Number (GTIN-13, GTIN-14)

9 Satz (16) Die Zahl a N + habe die Dezimaldarstellung a = (z k z k 1... z 1 z 0 ) 10 := z k 10 k + z k 1 10 k z z 0 mit k N 0 und z i {0, 1, 2,..., 9}. Dann gilt: a) a z 0 mod (10). b) a 10z 1 + z 0 mod (100). c) a k i=0 z i mod (9). d) a k i=0 ( 1)i z i mod (11). e) a (z 0 z 3 + z 6 z 9... ) + 3 (z 1 z 4 + z 7 z ) (z 2 z 5 + z 8 z ) mod (7).

10 Teilbarkeitsregeln Korollar (2) Es sei a N + in Dezimaldarstellung wie in Satz 16 gegeben. Dann gilt: 2 2 {0, 2, 4, 6, 8} a) 5 teilt a 5 teilt z 0 z 0 {0, 5} {0} b) 3 } teilt a 3 } teilt k 9 9 i=0 z i c) 25 teilt a 25 teilt 10z 1 + z d) 11 teilt a 11 teilt k i=0 ( 1)i z i.

11 Lösbarkeit einer linearen Kongruenz Satz (17) Es seien k, m N + und a 1,..., a k, c Z. Dann gilt: die Kongruenz a 1 X 1 + a 2 X a k X k c mod (m) ist genau dann (über Z) lösbar (d.h.: es existieren x 1,..., x k Z mit k i=1 a ix i c mod (m)), wenn ggt(a 1,..., a k, m) c. Korollar (3) Es seien m N + und a, c Z. Dann gilt: a) ax c mod (m) ist lösbar ggt(a, m) c. b) Es gibt ein a Z mit aa 1 mod (m) ggt(a, m) = 1. c) Es gibt ein a 0 Z mit a 0 0 mod (m) und aa 0 0 mod (m) ggt(a, m) > 1.

12 Lösbarkeit einer linearen Kongruenz Satz (17) Es seien k, m N + und a 1,..., a k, c Z. Dann gilt: die Kongruenz a 1 X 1 + a 2 X a k X k c mod (m) ist genau dann (über Z) lösbar (d.h.: es existieren x 1,..., x k Z mit k i=1 a ix i c mod (m)), wenn ggt(a 1,..., a k, m) c. Korollar (3) Es seien m N + und a, c Z. Dann gilt: a) ax c mod (m) ist lösbar ggt(a, m) c. b) Es gibt ein a Z mit aa 1 mod (m) ggt(a, m) = 1. c) Es gibt ein a 0 Z mit a 0 0 mod (m) und aa 0 0 mod (m) ggt(a, m) > 1.

13 Die Euler'sche Phi-Funktion Denition (9) a) Es seien m N +, a Z und a Z/(m) die Restklasse von a modulo m. a heiÿt eine prime Restklasse modulo m genau dann, wenn es eine Restklasse b Z/(m) gibt mit a b = 1. Die Menge aller primen Restklassen modulo m bezeichnen wir mit Z/(m) = {a a ist prime Restklasse modulo m} = = {a 1 a m und ggt(a, m) = 1}. b) Die Euler'sche Phi-Funktion ϕ : N + N + wird für m N + deniert durch: ϕ(m) := #Z/(m)... Anzahl der primen Restklassen modulo m.

14 Lemma (4) Es sei 2 n N. a) Für x 1,..., x n R gilt: min { } max{x 1,..., x n 1 }, x n = = max { min{x 1, x n }, min{x 2, x n },..., min{x n 1, x n } }. b) Für a 1,..., a n Z ( \ {0} gilt: ) ggt kgv(a 1,..., a n 1 ), a n = = ( kgv ggt(a 1, a n ), ggt(a 2, a n ),..., ggt(a n 1, a n ) ).

15 Lösung von Simultankongruenzen Satz (18) Gegeben sei das Kongruenzensystem X c 1 mod (m 1 ) X c 2 mod (m 2 ). X c n mod (m n ) ( ) mit n, m 1,..., m n N + und c 1,..., c n Z. a) Das System ( ) besitzt eine Lösung x Z genau dann, wenn für alle 1 i < j n gilt: c i c j mod ( ggt(m i, m j ) ). b) Es sei M := kgv(m 1,..., m n ). Ist das System ( ) lösbar, so ist die Lösungsmenge genau eine Restklasse modulo M.

16 Der Chinesische Restsatz Korollar (4) Gegeben sei das Kongruenzensystem ( ) wie in Satz 18. Sind die Moduln m 1,..., m n paarweise relativ prim, so ist ( ) lösbar und die Lösungsmenge ist genau eine Restklasse modulo M = n i=1 m i.

17 Algebraische Bedeutung des chinesischen Restsatzes Satz (19) Es seien n N +, m 1,..., m n N + paarweise relativ prim, M := n i=1 m i und f : Z/(M) Z/(m 1 ) Z/(m 2 ) Z/(m n ) Dann gilt: a = a + MZ (a + m 1 Z, a + m 2 Z,..., a + m n Z) a) Die Abbildung f ist bijektiv und,,mit den Rechenoperationen für Restklassen verträglich (d.h: f ist ein Ringisomorphismus). b) Für a Z/(M) gilt: a Z/(M) genau dann, wenn jede Komponente von f (a) eine prime Restklasse (zum jeweiligen Modul m i ) ist. c) ϕ(m) = n i=1 ϕ(m i).

18 Korollar (5) Es sei n = r i=1 pe i i e i N +. Dann gilt: ϕ(n) = r i=1 N + mit paarweise verschiedenen p i P und ϕ(p e i i ) = r i=1 p e i 1 i (p i 1) = n ( 1 1 ). p p n Satz (20) a) (Satz von Euler) Es seien m N + und a Z mit ggt(a, m) = 1. Dann gilt a ϕ(m) 1 mod (m). b) (Kleiner Satz von Fermat) Es seien p P und a Z, dann gilt: a p a mod (p). Ist p a, so gilt auch a p 1 1 mod (p).

19 Korollar (5) Es sei n = r i=1 pe i i e i N +. Dann gilt: ϕ(n) = r i=1 N + mit paarweise verschiedenen p i P und ϕ(p e i i ) = r i=1 p e i 1 i (p i 1) = n ( 1 1 ). p p n Satz (20) a) (Satz von Euler) Es seien m N + und a Z mit ggt(a, m) = 1. Dann gilt a ϕ(m) 1 mod (m). b) (Kleiner Satz von Fermat) Es seien p P und a Z, dann gilt: a p a mod (p). Ist p a, so gilt auch a p 1 1 mod (p).

20 Denition (10) Es sei m N +. a) Für a Z mit ggt(a, m) = 1 heiÿt k := min{j N a j 1 die Ordnung von a modulo m. Schreibweise: k = ord m (a) = ord Z/(m) (a). mod (m)} b) Eine Zahl g Z heiÿt Primitivwurzel modulo m genau dann, wenn g 1, g 2, g 3,......, g ϕ(m) ein vollständiges Repräsentantensystem für die primen Restklassen modulo m ist. Satz (21) (Satz von Gauÿ) Es sei m N +. Es existieren Primitivwurzeln modulo m genau dann, wenn ist. m {1, 2, 4, p e, 2p e 2 p P, e N}

21 Denition (10) Es sei m N +. a) Für a Z mit ggt(a, m) = 1 heiÿt k := min{j N a j 1 die Ordnung von a modulo m. Schreibweise: k = ord m (a) = ord Z/(m) (a). mod (m)} b) Eine Zahl g Z heiÿt Primitivwurzel modulo m genau dann, wenn g 1, g 2, g 3,......, g ϕ(m) ein vollständiges Repräsentantensystem für die primen Restklassen modulo m ist. Satz (21) (Satz von Gauÿ) Es sei m N +. Es existieren Primitivwurzeln modulo m genau dann, wenn ist. m {1, 2, 4, p e, 2p e 2 p P, e N}