Didaktische Grundlagen Arithmetik - Vertiefung Übungen 3

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1 Westfälische Wilhelms-Universität Münster Institut für Didaktik der Mathematik und Informatik Dr. Astrid Brinkmann Didaktische Grundlagen Arithmetik - Vertiefung Übungen 3 Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis. Jean-Baptist le Rond d'alembert Aufgabe 1 (16 Punkte) Zum Vergleich der Verfahren ggt über Primfaktorzerlegung und ggt mit dem euklidischen Algorithmus : Bestimmen Sie für die folgenden Zahlenpaare jeweils den ggt zum einen mit Hilfe der Primfaktorzerlegung und zum anderen mit dem euklidischen Algorithmus. a) und b) und c) und d) und Aufgabe 2 (9 Punkte) a) Bestimmen Sie nach der geometrischen Methode der Wechselwegnahme zeichnerisch den ggt(30,22). Arbeiten Sie auf kariertem Papier und wählen Sie für eine Einheit ein Kästchen. b) Wie viele Karten muss ein Kartenspiel mindestens haben, damit man die Karten restlos sowohl auf 2 als auch auf 3, 4, 5 und 6 Spieler verteilen kann? c) Schreiben Sie eine möglichst schöne/interessante Aufgabe zur Anwendung des ggt und/oder des kgv. Sie können die Aufgabe auch in Form einer Geschichte oder eines Gedichts formulieren. Aufgabe 3 (Für jede richtige Markierung 2 Punkte, für jede falsche Markierung 2 Punkte Abzug) Sei a N und b = 7. Dann gilt: ( ) 7 teilt nicht a kgv(a, b) = 7a ( ) ggt(7a, b) kgv(7a, b) = 49a ( ) ggt(7a, b) kgv(7a, b) = 7a ( ) ggt(7a, b) kgv(7a, b) = 7 kgv(7a, b)

2 Aufgabe 4 (3 Punkte) Mit wie vielen Nullen endet 100!? Aufgabe 5 (8 Punkte) a) Heute ist ein Dienstag im Mai. Welcher Wochentag war vor 200 Tagen? b) Weihnachten war 2006 an einem Sonntag. An welchen Wochentag wird Weihnachten im Jahr 2020 sein? Aufgabe 6 (4 Punkte) Zu welchen Restklassen (einfachste Repräsentanten) gehören die angegebenen Zahlen? a) modulo 5: 12, -2, 30, -100 b) modulo 11: 121, 0, -10, 10 Aufgabe 7 (45 Punkte) Die ISBN 1 (International Standard Book Number, Internationale Standard Buch Nummer) dient dazu, auf einfache Art einen Buchtitel weltweit zu identifizieren. Da in einigen Ländern die bisherigen Nummernkontingente der 10stelligen ISBN (ISBN 10) nicht mehr ausreichten, wurde das gesamte System zum auf 13stellige ISBN (ISBN 13) umgestellt. Die ISBN 10 kann problemlos als Bestandteil in den EAN (European Article Number, Europäische Artikel Nummer) durch Vorsetzen von 978 oder 979 eingegliedert werden. Genau dieser Vorsatz ist es auch, der ab aus allen ISBN 10 eine ISBN 13 macht. Allerdings wird die Prüfziffer (letzte Ziffer der ISBN) bei der ISBN 13 dann auch nach dem Verfahren des EAN berechnet. Jede ISBN 10 hat die Form abcdefghi-p, wobei p die Prüfziffer ist. Man erhält die Prüfziffer p als kleinste, nichtnegative Lösung der Kongruenz: 10a + 9b + 8c + 7d + 6e + 5f + 4g + 3h + 2i + p 0 (mod 11). Ist p = 10, so schreibt man X als Prüfziffer. Jede ISBN 13 hat die Form abcdefghijkl-p, wobei p die Prüfziffer ist. Man erhält die Prüfziffer p als kleinste, nichtnegative Lösung der Kongruenz: a + 3b + c + 3d + e + 3f + g + 3h + i + 3j + k + 3l + p 0 (mod 10). a) Verifizieren Sie für das Buch 1 Siehe:

3 Müller-Philipp, S.; Gorski, H.-J.: Leitfaden Arithmetik. 3. Auflage. Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, ISBN-10: mit ISBN 10 die Gültigkeit seiner Prüfziffer. b) Zeigen Sie, dass man die Prüfziffer des ISBN 10-Codes als kleinste nichtnegative Lösung folgender Kongruenz erhält: p a + 2b + 3c + 4d + 5e + 6f + 7g + 8h + 9i (mod 11). c) Zeigen Sie, dass der ISBN 10-Code Zahlendreher (d.h. das Vertauschen zweier benachbarter verschiedener Ziffern) erkennt, weil dann ein ungültiges ISBN-Codewort entsteht. d) Zeigen Sie, dass der ISBN 10-Code die falsche Eingabe einer Ziffer erkennt, jedoch zwei Fehler nicht notwendig erkennt. e) Verifizieren Sie nun für folgendes Buch mit ISBN 13 die Gültigkeit seiner Prüfziffer: HELLMICH/ KIPER: Einführung in die Grundschuldidaktik. Weinheim und Basel ISBN-13: f) Welche neue Prüfziffer müsste das Buch, das Sie unter a) betrachtet haben, ab 2007 bekommen, wenn die ersten Ziffern der neuen ISBN 978 sind? g) Untersuchen Sie, welche der unter c) und d) genannten Fehler vom ISBN 13-Code erkannt werden und welche nicht. h) Welche Veränderungen ergeben sich für Ihre Ergebnisse unter g), wenn statt einer abwechselnden Gewichtung mit den Faktoren 1 und 3 eine abwechselnde Gewichtung mit den Faktoren 1 und 2 vorgenommen wird? i) Welche zusätzlichen Fragestellungen/Arbeitsaufträge wären möglich/sinnvoll/interessant? Hinweis: Unterrichtsreihen zu diesem Thema für den Schulunterricht in den Klassen 6 oder 7 finden Sie in: Herget, Wilfried: Artikelnummern und Zebrastreifen, Balkencode und Prüfziffern - Mathematik im Alltag. In: Werner Blum, Hans-Wolfgang Henn, Manfred Klika, Jürgen Maaß (Hrsg.). Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe, Band 1, Hildesheim: Franzbecker, 1994, S Dorfmayr, Anita: Von Strichcode bis ASCII Codierungstheorie in der Sekundarstufe I. In: Jürgen Maaß, Gilbert Greefrath (Hrsg.). Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe, Band 11, Hildesheim, Berlin: Franzbecker, 2007, S Anhang zu Aufgabe 7: Ausführliche Darstellung der Prüfzifferberechnung ohne Kongruenzschreibweise Vergleich ISBN 10 zu ISBN 13

4 ISBN 10 ISBN Die Prüfziffern werden nach unterschiedlichen Methoden berechnet. Berechnung der Prüfziffer p der ISBN 10: 1. Alle Ziffern werden von rechts nach links, beginnend mit der vorletzten Ziffer (also vor der Stelle der Prüfziffer), mit ihrer Position in der Ziffernfolge gewichtet, d.h. die vorletzte Ziffer wird mit 2, die nächste mit 3, usw. multipliziert. 2. Die Produkte werden summiert. 3. Der volle Rest zum nächst niedrigeren Vielfachen von 11 (modulo 11) wird errechnet. 4. Die Prüfziffer ist die Differenz des Restes zu 11. Ist die Differenz 10, setzt man p = X. Ist die Differenz 11, setzt man p = 0. Beispiel ISBN10: p Nummer Schritt 1: Gewichtung Schritt 2: Produktsummation p 1 - Summe 272 Schritt 3: Summe mod = 24 Rest 8 Schritt 4: Differenz zu = 3 Endergebnis Prüfziffer 3 ISBN Die Prüfziffernberechnung für die ISBN 13 erfolgt nach der Methode von EAN: 1. Von rechts nach links werden die Stellen abwechselnd mit 3 und 1 gewichtet. 2. Die jeweiligen Produkte aus den beiden Zahlen werden errechnet und summiert.

5 3. Die Prüfziffer ist der volle Rest zur nächsthöheren durch 10 teilbaren Zahl (Modulo 10). Tabelle 3: EAN-Beispiel p Nummer Schritt 1: Gewichtung Schritt 2: Produktsummation Summe 53 Schritt 3: Summe mod Endergebnis Prüfziffer 7 EAN