Fehlererkennende und fehlerkorrigierende Codes

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1 Fehlererkennende und fehlerkorrigierende Codes Claudiu-Vlad URSACHE, 5AHITN Inhalt 1. Codes Hammingdistanz Fehlererkennende Codes Fehlerkorrigierende Codes... 5

2 1. Codes a 2 a 00 b 22 e 01 c 222 d 3 i 10 o 11 Beispiel für ein Code (Handy-Tastatur) Beispiel für ein weiteres Code Die Codierung ist die Abbildung einer Sprache auf eine andere. Meist ist die Codierung so definiert, dass einzelne Zeichen des Quellalphabetes auf Zeichenfolgen des Zielalphabetes abgebildet werden. In diesem Fall nennt man die so erhaltene Zeichenfolge Wort. Die Menge aller Wörter der Zielsprache, die durch diese Abbildung getroffen werden, nennt man Code. Weiter Beispiele für Codes: - ISBN - EAN - Morse-Code - ASCII

3 2. Hammingdistanz a 00 a 000 e 01 e 011 i 10 i 101 o 11 o 110 Code 1 Code 2: störungssicherer Die Hamming-Distanz ist ein Maß dafür, wie man feststellen kann, ob und wie weit ein Code gegenüber Störungen sicher ist. In dem Beispiel weiter oben, sieht man, dass es genügt, ein einziges Bit zu ändern um z.b. statt a, ein e oder i zu kriegen, und dass 2 Bits geändert werden müssen um statt a, ein o zu erhalten. D.h., die Hammingdistanz des Codewörter-Paares a und e ist 1 und die des Paares a und o 2. Die Hammingdistanz eines Codes ist das Minimum der paarweisen Hammingdistanzen seiner Codewörter (In unserem Beispiel hat Code 1 eine Hammingdistanz von 1 und Code 2 eine Hammingdistanz von 2). a e i o a e i o a e i o a e i - 2 o - Code 1: Hammingdistanzen Code 2: Hammingdistanzen

4 3. Fehlererkennende Codes Es gibt verschiedene Methoden, Fehler bei der Übertragung zu erkennen. Ziel eines solchen Codes ist es, die Hammingdistanz zu erhöhen. Einige Beispiele dafür wären: - Parity-Bit (Die Hammingdistanz um 1 erhöht) o Jedem Codewort wird ein Bit hinzugefügt o Der Wert dieses Bits berechnet sich, indem man die Anzahl der in einem Codewort vorkommenden Einsen zählt. Ist diese Anzahl gerade, so setzt man das Parity-Bit gleich 0, andernfalls gleich 1. - Hintereinander senden von Codewörtern (Die Hammingdistanz wird verdoppelt) o Jedes Codewort wird zweimal hintereinander gesendet, dadurch wird die Hammingdistanz verdoppelt. - CRC Codes (Cycle Redundancy Codes) o Interpretieren Bitfolgen als Polynome Z.B > 1*x 5 + 1*x 4 + 0*x 3 + 0*x 2 + 0*x 1 + x 0 -> x 5 + x 4 + x 0. o Rechnungen mit Polynomen werden modulo 2 durchgeführt, d.h. 1+1=0, -1 = +1; Einfaches Beispiel: x 3 + x 4 + x 4 = x = x 3 o Sender und Empfänger einigen sich auf ein (Generator-)Polynom G(x) -> Prüfsumme o Die Prüfsumme wird an das (Message-)Polynom M(x) angehängt und mitübertragen o Die Prüfsumme muss so gewählt werden, dass das übertragene Wort durch G(x) teilbar ist o Wenn der Empfänger das erhaltene Wort durch G(x) teilt und der Rest nicht 0, dann ist ein Fehler bei der Übertragung entstanden o Berechnung der Prüfsumme: r Grad von G(x); m Grad von M(x) Man hängt r Nullen am Ende des Codewortes M(x) und erhält so: x r * M(x), mit m+r Bits Man dividiert x r * M(x) durch G(x) Man subtrahiert den Rest der Division vom x r * M(x) und erhält so das (Transmission-)Polynom T(x) Am Ende werden die Koeffizienten des Polynoms T(x) übertragen Der Empfänger bekommt T(x) und teilt dies durch G(x). Wenn der Rest nicht 0 ist, dann ist es zu einem Fehler gekommen. o Es gibt mehrere erzeugende Polynome (G(x)), die zum Standard erhoben worden sind: CRC-12 : x 12 + x 11 + x 3 + x 2 + x CRC-16: x 16 + x 15 + x CTC-CCITT: x 16 + x 12 + x 5 + 1

5 4. Fehlerkorrigierende Codes Wenn man k Fehler korrigieren will, benötigt man eine Hammingdistanz von 2*k +1. Denn in diesem Fall sind die Codewörter so weit von einander entfernt, dass selbst bei k Störungen das originale Codewort noch näher liegt als alle anderen Codewörter und daher eindeutig bestimmt werden kann. Hammigcode Die Bits des Codewortes werden mit 1 beginnend von links nach rechts durchnummeriert. Jene Bits, die Potenzen von 2 sind, also 2, 4, 8, 16, usw., sind Prüfbits. Die restlichen (3, 5, 7, 9, usw.) sind mit dem Informationstragenden Datenbits gefüllt. Jedes Prüfbit ist ein Parity-Bit für eine bestimmte Menge von Bits. Ein Bit kann in die Berechnung verschiedener Prüfbits involviert sein. Um festzustellen, zu welchen Prüfbits ein bestimmtes Bit, nämlich das mit der Nummer k, einen Beitrag liefert, genügt es, k als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben. Zum Beispiel 11=8+2+1 oder 29= Ein Bit liefert zu allen jenen Prüfbits einen Beitrag, deren Nummer in dieser Darstellung vorkommt. So wird etwa Bit 11 in der Berechnung der Prüfbits 1,2 und 8 berücksichtigt. Wenn der Empfänger ein bestimmtes Wort erhält, setzt er zunächst einmal einen Korrekturindikator auf 0. Dann kontrolliert er jedes Prüfbit k (k=1, 2, 4, 8, usw.), um zu sehen, ob der im Wort stehende Wert mit seinem neu berechneten Wert übereinstimmt. Falls das nicht der Fall ist, addiert er k zu seinem Korrekturindikator. Ist dieser Indikator nach Bearbeitung aller Prüfbits gleich 0, so akzeptiert der Empfänger das Wort als korrektes Codewort. Andernfalls enthält der Indikator die Nummer des gestörten Bits, das somit leicht korrigiert werden kann. Falls also zum Beispiel die Prüfbits 1,2 und 8 nicht richtig waren, so muss das Bit 11 korrigiert (invertiert) werden, da es das einzige Bit ist, das von den Prüfbits 1, 2, und 8 kontrolliert wird. Beispiel: Hammingcode 7Bit (3 Prüfbits, 4 Datenbits) P P D P D D D Bezeichnen wir die Datenbits mit x3, x5, x6, x7 und die Prüfbits mit p1, p2, p4, entsprechende ihrer Position. Dann gelten folgende Gleichungen für die Prüfbits: P1=x3+x5+x7 P2=x3+x6+x7 P4=x5+x6+x7 Womit mit + die Operation zur Erstellung von Parity-Bits bezeichnet wurde; es gilt also 0+0 = 1+1=0 und 0+1=1+0=1. Wenn wir für das Datenwort 0110 die entsprechenden Prüfbits mittels der obign Gleichungen berechnen, erhalten wir: P1=0+1+0=1 P2=0+1+0=1 P4=1+1+0=0

6 Damit ergibt sich das endgültig zu übertragende Wort zu Angenommen, das Bit mit der Nummer 5 wird bei der Übertragung gestört, und daher das Wort empfangen. Jetzt sehen die Berechnungen beim Empfänger folgendermaßen aus: P1+x3+x5+x7 =? P2+x3+x6+x7 =? P4+x5+x6+x7 =? Die tatsächlichen Berechnungen ergeben: = = =1 Da bei den Berechnungen, die die Prüfbits p1 und p4 betreffen, ein Wert ungleich 0 entstanden ist, folgt, dass der oben erwähnte Korrekturindikator nun den Wert 5 = (1+4) hat und daher das gestörte Bit jenes mit der Nummer 5 ist.

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