Die Mathematik in der CD
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- Cathrin Weber
- vor 7 Jahren
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1 Lehrstuhl D für Mathematik RWTH Aachen Lehrstuhl D für Mathematik RWTH Aachen St.-Michael-Gymnasium Monschau
2 Codes: Definition und Aufgaben Ein Code ist eine künstliche Sprache zum Speichern oder Übertragen von Daten.
3 Codes: Definition und Aufgaben Ein Code ist eine künstliche Sprache zum Speichern oder Übertragen von Daten. [Ein Code dient nicht der Verschlüsselung (Geheimhaltung) von Nachrichten.]
4 Codes: Definition und Aufgaben Ein Code ist eine künstliche Sprache zum Speichern oder Übertragen von Daten. [Ein Code dient nicht der Verschlüsselung (Geheimhaltung) von Nachrichten.] Aufgaben von Codes: Erkennen und Korrigieren von Übertragungsfehlern.
5 Codes: Definition und Aufgaben Ein Code ist eine künstliche Sprache zum Speichern oder Übertragen von Daten. [Ein Code dient nicht der Verschlüsselung (Geheimhaltung) von Nachrichten.] Aufgaben von Codes: Erkennen und Korrigieren von Übertragungsfehlern. Anwendungen: CDs, Satelliten-Kommunikation, Internet, etc.
6 Codes: Definition und Aufgaben Ein Code ist eine künstliche Sprache zum Speichern oder Übertragen von Daten. [Ein Code dient nicht der Verschlüsselung (Geheimhaltung) von Nachrichten.] Aufgaben von Codes: Erkennen und Korrigieren von Übertragungsfehlern. Anwendungen: CDs, Satelliten-Kommunikation, Internet, etc. Methode der Fehlererkennung und -korrektur: Übertragung redundanter Zeichen.
7 Fehlerkorrektur in der Sprache Korrektur möglich Fleiheit
8 Fehlerkorrektur in der Sprache Korrektur möglich Fleiheit Korrektur nicht möglich Schile
9 Codes: Definitionen Alphabet A: endliche Menge von Symbolen
10 Codes: Definitionen Alphabet A: endliche Menge von Symbolen Beispiele: {0, 1} (binäres Alphabet) { a, b,..., z, A, B,..., Z,?, +,... }
11 Codes: Definitionen Alphabet A: endliche Menge von Symbolen Beispiele: {0, 1} (binäres Alphabet) { a, b,..., z, A, B,..., Z,?, +,... } Code über A: Menge von Wörtern mit Alphabet A
12 Codes: Definitionen Alphabet A: endliche Menge von Symbolen Beispiele: {0, 1} (binäres Alphabet) { a, b,..., z, A, B,..., Z,?, +,... } Code über A: Menge von Wörtern mit Alphabet A I. A. gehören nicht alle denkbaren Wörter zum Code.
13 Codes: Definitionen Alphabet A: endliche Menge von Symbolen Beispiele: {0, 1} (binäres Alphabet) { a, b,..., z, A, B,..., Z,?, +,... } Code über A: Menge von Wörtern mit Alphabet A I. A. gehören nicht alle denkbaren Wörter zum Code. Beschreibung: Sprache: Wörterbuch Codierungstheorie: andere, kompaktere Beschreibung
14 Codes: Definitionen Alphabet A: endliche Menge von Symbolen Beispiele: {0, 1} (binäres Alphabet) { a, b,..., z, A, B,..., Z,?, +,... } Code über A: Menge von Wörtern mit Alphabet A I. A. gehören nicht alle denkbaren Wörter zum Code. Beschreibung: Sprache: Wörterbuch Codierungstheorie: andere, kompaktere Beschreibung Block-Code: alle Codewörter sind gleich lang
15 Beispiel: Der ISBN-Code ISBN-Code (International Standard Book Number): A = {0, 1,..., 9, X} (X =10)
16 Beispiel: Der ISBN-Code ISBN-Code (International Standard Book Number): A = {0, 1,..., 9, X} (X =10) Ein Wort des ISBN-Codes besteht aus 10 Symbolen (aus A), z 1 z 2 z 9 z 10, wobei die ersten neun aus {0, 1,..., 9} sind.
17 Beispiel: Der ISBN-Code ISBN-Code (International Standard Book Number): A = {0, 1,..., 9, X} (X =10) Ein Wort des ISBN-Codes besteht aus 10 Symbolen (aus A), z 1 z 2 z 9 z 10, wobei die ersten neun aus {0, 1,..., 9} sind. Die zehnte, z 10, wird so gewählt, dass durch 11 teilbar ist. 10z 1 + 9z z 9 + 1z 10
18 Beispiel: Der ISBN-Code ISBN-Code (International Standard Book Number): A = {0, 1,..., 9, X} (X =10) Ein Wort des ISBN-Codes besteht aus 10 Symbolen (aus A), z 1 z 2 z 9 z 10, wobei die ersten neun aus {0, 1,..., 9} sind. Die zehnte, z 10, wird so gewählt, dass durch 11 teilbar ist. Beispiel: z 1 + 9z z 9 + 1z 10
19 Beispiel: Der ISBN-Code ISBN-Code (International Standard Book Number): A = {0, 1,..., 9, X} (X =10) Ein Wort des ISBN-Codes besteht aus 10 Symbolen (aus A), z 1 z 2 z 9 z 10, wobei die ersten neun aus {0, 1,..., 9} sind. Die zehnte, z 10, wird so gewählt, dass durch 11 teilbar ist. Beispiel: z 1 + 9z z 9 + 1z 10 Der ISBN-Code erkennt einen Fehler und eine Vertauschung benachbarter Ziffern (Hausaufgabe).
20 Beispiel: Der [7, 4; {0, 1}]-Hamming-Code A = {0, 1} 16 = 2 4 Informationseinheiten sollen codiert werden: Wörter der Länge 4 über A Hänge drei Kontrollsymbole nach folgendem Schema an: z 1 + z 3 + z 4 + z 5 = 0 z 1 + z 2 + z 4 + z 6 = 0 z 2 + z 3 + z 4 + z 7 = 0 Boolesche Arithmetik oder exclusive or = XOR (1 + 1 = 0)
21 Beispiel: Der [7, 4; {0, 1}]-Hamming-Code A = {0, 1} 16 = 2 4 Informationseinheiten sollen codiert werden: Wörter der Länge 4 über A Hänge drei Kontrollsymbole nach folgendem Schema an: z 1 + z 3 + z 4 + z 5 = 0 z 1 + z 2 + z 4 + z 6 = 0 z 2 + z 3 + z 4 + z 7 = 0 Boolesche Arithmetik oder exclusive or = XOR (1 + 1 = 0) Wörter der Länge 7 über A: [7, 4; A]-Code
22 Beispiel: Der [7, 4; {0, 1}]-Hamming-Code A = {0, 1} 16 = 2 4 Informationseinheiten sollen codiert werden: Wörter der Länge 4 über A Hänge drei Kontrollsymbole nach folgendem Schema an: z 1 + z 3 + z 4 + z 5 = 0 z 1 + z 2 + z 4 + z 6 = 0 z 2 + z 3 + z 4 + z 7 = 0 Boolesche Arithmetik oder exclusive or = XOR (1 + 1 = 0) Wörter der Länge 7 über A: [7, 4; A]-Code Rate: 4/7 (eines Wortes ist Information)
23 Rate und Minimaldistanz Allgemein: Ein [n, k; A]-Code C ist ein Block-Code der Länge n über dem Alphabet A mit A k Wörtern. Rate von C: k/n
24 Rate und Minimaldistanz Allgemein: Ein [n, k; A]-Code C ist ein Block-Code der Länge n über dem Alphabet A mit A k Wörtern. Rate von C: k/n Für zwei Codewörter w 1 und w 2 sei d(w 1, w 2 ) die Anzahl der Stellen, an denen sich w 1 und w 2 unterscheiden. (Beispiel: d( , ) = 4)
25 Rate und Minimaldistanz Allgemein: Ein [n, k; A]-Code C ist ein Block-Code der Länge n über dem Alphabet A mit A k Wörtern. Rate von C: k/n Für zwei Codewörter w 1 und w 2 sei d(w 1, w 2 ) die Anzahl der Stellen, an denen sich w 1 und w 2 unterscheiden. (Beispiel: d( , ) = 4) Dieser Hamming-Abstand hat ähnliche Eigenschaften wie der euklidische Abstand in der Ebene. (Metrik)
26 Rate und Minimaldistanz Allgemein: Ein [n, k; A]-Code C ist ein Block-Code der Länge n über dem Alphabet A mit A k Wörtern. Rate von C: k/n Für zwei Codewörter w 1 und w 2 sei d(w 1, w 2 ) die Anzahl der Stellen, an denen sich w 1 und w 2 unterscheiden. (Beispiel: d( , ) = 4) Dieser Hamming-Abstand hat ähnliche Eigenschaften wie der euklidische Abstand in der Ebene. (Metrik) Für den Hamming-Code gilt: Zwei Codewörter unterscheiden sich immer an mindestens 3 Stellen.
27 Rate und Minimaldistanz Allgemein: Ein [n, k; A]-Code C ist ein Block-Code der Länge n über dem Alphabet A mit A k Wörtern. Rate von C: k/n Für zwei Codewörter w 1 und w 2 sei d(w 1, w 2 ) die Anzahl der Stellen, an denen sich w 1 und w 2 unterscheiden. (Beispiel: d( , ) = 4) Dieser Hamming-Abstand hat ähnliche Eigenschaften wie der euklidische Abstand in der Ebene. (Metrik) Für den Hamming-Code gilt: Zwei Codewörter unterscheiden sich immer an mindestens 3 Stellen. d(c), der kürzeste Abstand zweier Codewörter, heißt die Minimaldistanz von C.
28 Minimaldistanz und Fehlerkorrektur Ist d(c) = 3, dann kann C einen Fehler korrigieren: Es gibt nur ein einziges Codewort, das sich von dem fehlerhaften Wort an einer Stelle unterscheidet. (Beispiel: gesendet , empfangen )
29 Minimaldistanz und Fehlerkorrektur Ist d(c) = 3, dann kann C einen Fehler korrigieren: Es gibt nur ein einziges Codewort, das sich von dem fehlerhaften Wort an einer Stelle unterscheidet. (Beispiel: gesendet , empfangen ) Analog: Unterscheiden sich zwei Codewörter an mindestens 5 (2e + 1) Stellen, dann können bis zu zwei (e) Fehler korrigiert werden.
30 Minimaldistanz und Fehlerkorrektur Ist d(c) = 3, dann kann C einen Fehler korrigieren: Es gibt nur ein einziges Codewort, das sich von dem fehlerhaften Wort an einer Stelle unterscheidet. (Beispiel: gesendet , empfangen ) Analog: Unterscheiden sich zwei Codewörter an mindestens 5 (2e + 1) Stellen, dann können bis zu zwei (e) Fehler korrigiert werden. Singleton Schranke: Ist C ein [n, k; A]-Code mit d = d(c), dann ist d + k n + 1.
31 Minimaldistanz und Fehlerkorrektur Ist d(c) = 3, dann kann C einen Fehler korrigieren: Es gibt nur ein einziges Codewort, das sich von dem fehlerhaften Wort an einer Stelle unterscheidet. (Beispiel: gesendet , empfangen ) Analog: Unterscheiden sich zwei Codewörter an mindestens 5 (2e + 1) Stellen, dann können bis zu zwei (e) Fehler korrigiert werden. Singleton Schranke: Ist C ein [n, k; A]-Code mit d = d(c), dann ist d + k n + 1. Also: große Rate kleine Minimaldistanz, und große Minimaldistanz kleine Rate.
32 Aufgaben und Probleme der Codierungstheorie Suche gute Codes mit hoher Rate und größtmöglicher Minimaldistanz.
33 Aufgaben und Probleme der Codierungstheorie Suche gute Codes mit hoher Rate und größtmöglicher Minimaldistanz. Fragen: Wie beschreibt man Codes (ohne Aufzählung der einzelnen Codewörter)? Wie erkennt man schnell die Codewörter? Wie korrigiert man schnell die eventuellen Fehler?
34 Aufgaben und Probleme der Codierungstheorie Suche gute Codes mit hoher Rate und größtmöglicher Minimaldistanz. Fragen: Wie beschreibt man Codes (ohne Aufzählung der einzelnen Codewörter)? Wie erkennt man schnell die Codewörter? Wie korrigiert man schnell die eventuellen Fehler? Eine erste Antwort: Durch Einführen und Ausnutzen zusätzlicher Strukturen auf dem Alphabet A und dem Code C über A. Auf A kann eine z.b. Addition und Multiplikation eingeführt werden, die A zu einem Körper macht. Dann kann C als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems beschrieben werden.
35 Ein Körper mit 256 Elementen Beim CD-Spieler wird ein Code über einem Alphabet A mit 256 Elementen benutzt. Elemente von A sind die Bytes (also Bit-Folgen der Länge 8).
36 Ein Körper mit 256 Elementen Beim CD-Spieler wird ein Code über einem Alphabet A mit 256 Elementen benutzt. Elemente von A sind die Bytes (also Bit-Folgen der Länge 8). Addition auf A: Komponentenweise binäre Addition. (Beispiel: = )
37 Ein Körper mit 256 Elementen Beim CD-Spieler wird ein Code über einem Alphabet A mit 256 Elementen benutzt. Elemente von A sind die Bytes (also Bit-Folgen der Länge 8). Addition auf A: Komponentenweise binäre Addition. (Beispiel: = ) Multiplikation: Ein Byte b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 wird als Polynom b 7 x 7 + b 6 x 6 + b 5 x 5 + b 4 x 4 + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 interpretiert. Zwei Bytes werden multipliziert, indem die zugehörigen Polynome multipliziert werden, und durch x 8 + x 4 + x 3 + x geteilt werden. Der Rest ist das Ergebnis der Multiplikation.
38 Ein Körper mit 256 Elementen Beim CD-Spieler wird ein Code über einem Alphabet A mit 256 Elementen benutzt. Elemente von A sind die Bytes (also Bit-Folgen der Länge 8). Addition auf A: Komponentenweise binäre Addition. (Beispiel: = ) Multiplikation: Ein Byte b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 wird als Polynom b 7 x 7 + b 6 x 6 + b 5 x 5 + b 4 x 4 + b 3 x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 interpretiert. Zwei Bytes werden multipliziert, indem die zugehörigen Polynome multipliziert werden, und durch x 8 + x 4 + x 3 + x geteilt werden. Der Rest ist das Ergebnis der Multiplikation. Dadurch wird A zu einem Körper.
39 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits)
40 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits) Schallsignal (analog) Folge von Nullen und Einsen (digital)
41 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits) Schallsignal (analog) Folge von Nullen und Einsen (digital) Schallsignale/sec werden gemessen (Samples) Frequenzen bis zu 22, 5 khz rekonstruierbar (Abtasttheorem)
42 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits) Schallsignal (analog) Folge von Nullen und Einsen (digital) Schallsignale/sec werden gemessen (Samples) Frequenzen bis zu 22, 5 khz rekonstruierbar (Abtasttheorem) Sample (Amplitude) a (0 a ), d.h. a benötigt 2 Symbole aus A
43 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits) Schallsignal (analog) Folge von Nullen und Einsen (digital) Schallsignale/sec werden gemessen (Samples) Frequenzen bis zu 22, 5 khz rekonstruierbar (Abtasttheorem) Sample (Amplitude) a (0 a ), d.h. a benötigt 2 Symbole aus A 2 Kanäle, 1 Wert pro Kanal: 1 Sample = 4 Symbolen = 32 Bits
44 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits) Schallsignal (analog) Folge von Nullen und Einsen (digital) Schallsignale/sec werden gemessen (Samples) Frequenzen bis zu 22, 5 khz rekonstruierbar (Abtasttheorem) Sample (Amplitude) a (0 a ), d.h. a benötigt 2 Symbole aus A 2 Kanäle, 1 Wert pro Kanal: 1 Sample = 4 Symbolen = 32 Bits Bits/sec (vor Codierung)
45 Audiodaten vor der Codierung Alphabet des CD-Codes: 256 = 2 8 Symbole (Symbol = 8 Bits) Schallsignal (analog) Folge von Nullen und Einsen (digital) Schallsignale/sec werden gemessen (Samples) Frequenzen bis zu 22, 5 khz rekonstruierbar (Abtasttheorem) Sample (Amplitude) a (0 a ), d.h. a benötigt 2 Symbole aus A 2 Kanäle, 1 Wert pro Kanal: 1 Sample = 4 Symbolen = 32 Bits Bits/sec (vor Codierung) 75 Minuten Musik auf CD entsprechen /8 B = B 800 MB
46 Audiodaten nach der Codierung Sample vor der Codierung: 32 Bits, danach: 98 Bits
47 Audiodaten nach der Codierung Sample vor der Codierung: 32 Bits, danach: 98 Bits Nach der Codierung: = Bits/sec
48 Audiodaten nach der Codierung Sample vor der Codierung: 32 Bits, danach: 98 Bits Nach der Codierung: = Bits/sec Ist (nur) jedes Bit falsch, dann sind das mehr als 400 Fehler/sec
49 Audiodaten nach der Codierung Sample vor der Codierung: 32 Bits, danach: 98 Bits Nach der Codierung: = Bits/sec Ist (nur) jedes Bit falsch, dann sind das mehr als 400 Fehler/sec 75 Minuten Musik auf CD benötigt nach der Codierung /8 B = B 2, 4 GB
50 Frames, I Die Verarbeitung erfolgt in Frames (= Blöcken) à 588 Bits. Diese enthalten die Audiodaten von 6 Samples.
51 Frames, I Die Verarbeitung erfolgt in Frames (= Blöcken) à 588 Bits. Diese enthalten die Audiodaten von 6 Samples. Aufbau eines Frames: 6 Samples Wort der Länge 24 über A
52 Frames, I Die Verarbeitung erfolgt in Frames (= Blöcken) à 588 Bits. Diese enthalten die Audiodaten von 6 Samples. Aufbau eines Frames: 6 Samples Wort der Länge 24 über A [28, 24; A]-Code Wort der Länge 28 über A
53 Frames, I Die Verarbeitung erfolgt in Frames (= Blöcken) à 588 Bits. Diese enthalten die Audiodaten von 6 Samples. Aufbau eines Frames: 6 Samples Wort der Länge 24 über A [28, 24; A]-Code Wort der Länge 28 über A [32, 28; A]-Code Wort der Länge 32 über A
54 Frames, I Die Verarbeitung erfolgt in Frames (= Blöcken) à 588 Bits. Diese enthalten die Audiodaten von 6 Samples. Aufbau eines Frames: 6 Samples Wort der Länge 24 über A [28, 24; A]-Code Wort der Länge 28 über A [32, 28; A]-Code Wort der Länge 32 über A Der zweite Code dient der Korrektur von Fehlerbündeln (durch Cross-Interleaving): Bis zu aufeinander folgende Bits = 2, 5 mm Spur können korrigiert werden.
55 Frames, II Pro Wort: 8 Bits für Steuerung Wort der Länge 33 über A
56 Frames, II Pro Wort: 8 Bits für Steuerung Wort der Länge 33 über A Technische Anforderung (Lese- und Schreibtechnik der CD): }..{{.... 0} (1) min 2,max 10 Dazu Ersetzung nach Tabelle a A (8 Bits) a (14 Bits) (etwas Kombinatorik, 14 Bits kleinstmöglich)
57 Frames, II Pro Wort: 8 Bits für Steuerung Wort der Länge 33 über A Technische Anforderung (Lese- und Schreibtechnik der CD): }..{{.... 0} (1) min 2,max 10 Dazu Ersetzung nach Tabelle a A (8 Bits) a (14 Bits) (etwas Kombinatorik, 14 Bits kleinstmöglich) Wegen (1) kommen noch 3 Bits zwischen je zwei 14-Bit-Folgen, dazu 27 Bits zwischen je zwei Frames zur Synchronisation.
58 Frames, II Pro Wort: 8 Bits für Steuerung Wort der Länge 33 über A Technische Anforderung (Lese- und Schreibtechnik der CD): }..{{.... 0} (1) min 2,max 10 Dazu Ersetzung nach Tabelle a A (8 Bits) a (14 Bits) (etwas Kombinatorik, 14 Bits kleinstmöglich) Wegen (1) kommen noch 3 Bits zwischen je zwei 14-Bit-Folgen, dazu 27 Bits zwischen je zwei Frames zur Synchronisation. Pro Frame: 33 (14 + 3) + 27 = 588 Bits
59 Pits und Lands Speicherung auf der CD durch Rillen (Pits) und Nicht-Rillen (Lands)
60 Pits und Lands Speicherung auf der CD durch Rillen (Pits) und Nicht-Rillen (Lands) Übergänge [Pit Land] oder [Land Pit] werden als 1 interpretiert.
61 Pits und Lands Speicherung auf der CD durch Rillen (Pits) und Nicht-Rillen (Lands) Übergänge [Pit Land] oder [Land Pit] werden als 1 interpretiert. Lands und Pits werden als Folgen von Nullen interpretiert.
62 Pits und Lands Speicherung auf der CD durch Übergänge werden als 1 interpretiert. Rillen (Pits) und Nicht-Rillen (Lands) [Pit Land] oder [Land Pit] Lands und Pits werden als Folgen von Nullen interpretiert. Länge eines Lands oder Pits: maximal 3, m 10 Nullen minimal 0, m 2 Nullen
63 Pits und Lands Speicherung auf der CD durch Übergänge werden als 1 interpretiert. Rillen (Pits) und Nicht-Rillen (Lands) [Pit Land] oder [Land Pit] Lands und Pits werden als Folgen von Nullen interpretiert. Länge eines Lands oder Pits: maximal 3, m 10 Nullen minimal 0, m 2 Nullen Drehzahl: innen: 486/min, außen: 196/min
64 Pits und Lands Speicherung auf der CD durch Übergänge werden als 1 interpretiert. Rillen (Pits) und Nicht-Rillen (Lands) [Pit Land] oder [Land Pit] Lands und Pits werden als Folgen von Nullen interpretiert. Länge eines Lands oder Pits: maximal 3, m 10 Nullen minimal 0, m 2 Nullen Drehzahl: innen: 486/min, außen: 196/min 1 Bit = 0, m 6, 5km Spur
65 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
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