Grundbegrie der Codierungstheorie

Transkript

1 Grundbegrie der Codierungstheorie Pia Lackamp 12. Juni 2017

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Hauptteil Blockcodes Beispiele Güte von Codes Schranken Literaturverzeichnis 9

3 1 Einleitung Im heutigen digitalen Zeitalter werden täglich Informationen über verschiedenste Kanäle, wie zum Beispiel Telefonleitungen oder Computernetzwerke, ausgetauscht. Dabei werden Daten digitalisiert und über einen Kanal von einem Sender zu einem Empfänger übertragen. Man möchte die Daten möglichst komprimiert, aber dennoch gut lesbar übertragen, gegen unerlaubten Zugri schützen und sie auch bei Fehlern oder Störungen im Kanal ohne Informationsverlust versenden können. Die Codierungstheorie beschäftigt sich damit, wie man zu der zu versendenden Nachricht Redundanz, also Teile einer Nachricht, die keine Information enthalten, hinzufügen kann, so dass man Fehler, die während der Übertragung im Kanal aufgetreten sind, erkennen und möglichst auch korrigieren kann. Das zugrundeliegende Modell der Datenübertragung sieht also so aus, dass der Sender seine Nachricht digitalisiert (in der Regel mit den Bits 0 und 1) und codiert, ihr also redundante Bits hinzufügt. Diese codierte Nachricht wird dann über einen Kanal verschickt. Die Rückgewinnung der Nachricht, bei der also die Schritte der Codierung rückgängig gemacht werden, nennt man Decodieren. Dabei sollen im besten Fall alle Fehler, die während der Übertragung entstanden sind, erkannt und korrigiert werden, sodass die Nachricht wieder entschlüsselt werden kann. Ziel ist es also Codes zu entwickeln, die eine groÿe Fehlererkennung und -korrektur zulassen, wobei der Code möglichst wenige redundante Bits benutzt da er so umso komprimierter ist und die Übertragung erleichtert. Auÿerdem ist eine Aufgabe der Coiderungstheorie, eziente Codier- und Decodieralgorithmen zu entwickeln. Eine solche eektive Übertragung gelingt mit Blockcodes, dessen mathematische Grundlagen umfangreich untersucht sind und mit denen sich diese Arbeit beschäftigt. 2

4 2 Hauptteil 2.1 Blockcodes Denition 2.1. Sei K eine endliche Menge mit q = K Elementen. Eine Teilmenge C von K n = {(u 1,..., u n ) u i K} heiÿt ein Blockcode, kurz auch Code, über dem Alphabet K. Die Elemente von C nennt man Codeworte und n heiÿt die Länge von C. Für q = 2 nennt man C auch einen binären Code. Bemerkung 2.2. Ein binärer Code ist stets ein Code über dem Körper F 2 = Z 2. Codes dieser Art sind von besonderem Interesse, weil Computer die Bits 0 und 1 genau nach den Rechenregeln im Körper K = F 2 verknüpfen, also = 0, = = 1, = 0. Ich möchte nun einige Beispiele für Blockcodes anführen, die in der Praxis häug verwendet werden Beispiele Beispiel 2.3. Der Paritätscheck-Code Sei K = Z 2. Dann heiÿt C = {(c 1,..., c n ) c i K, n i=1 c i = 0} P aritätscheck Code. Bei diesem binären Code hängt man also weitere Bits an die Nachricht an und macht damit die Anzahl der Einsen gerade. Man sagt, dass dann die P arität gerade ist, woraus sich der Name für den Code ableitet. Der Empfänger kann also überprüfen, ob während der Übertragung der Nachricht ein Fehler aufgetreten ist, indem er die Parität überprüft. Ist die Parität ungerade, so weiÿ er, dass mindestens ein Fehler aufgetreten sein muss. Wenn man weiÿ, dass bei der Datenübertragung höchstens ein Fehler auftreten kann, so ist dieser Code zur Fehlererkennung sehr nützlich. Zur Veranschaulichung ein konkretes Beispiel für einen kurzen Paritätscheck-Code: Es liegen Zwei-Bit-Nachrichten über dem binären Alphabet {0, 1} vor, also 00, 01, 10, 11. Der Codierer fügt nun einen Bit hinzu, sodass die Anzahl der Einsen gerade wird, also: , , , Die Codewörter dieses Codes haben also die Länge 3. Ist das empfangene Wort nun zum Beispiel der Form 111, so erkennt der Empfänger, 3

5 dass die Parität ungerade ist und weiÿ, dass im Kanal ein Fehler aufgetreten ist. Allerdings kann er diesen Fehler nicht korrigieren, da unklar ist in welcher Koordinate der Fehler entstanden ist. Beispiel 2.4. Der Wiederholungscode Der Code C = {(k,..., k) k K} K n heiÿt W iederholungscode der Länge n über K. In diesem Fall wird die Nachricht also als Wiederholungscode mehrfach gesendet. Ein Vorteil gegenüber dem Paritätscheck-Code ist hierbei, dass man einen Fehler nicht nur erkennen, sondern im Fall n 3 auch korrigieren kann. Als anschauliches Beispiel wählen wir wieder Nachrichten und Alphabet wie in Beispiel 2.3 und den Code C = {v,..., v v K m } mit m n und bilden Codewörter der Länge 6, wiederholen die Nachricht also dreimal: , , , Zwei verschiedene Codewörter unterscheiden sich oensichtlich an drei Stellen. Falls also bei der Übertragung nur ein Fehler auftritt kann dieser automatisch korrigiert werden, indem man das Codewort wählt, welches sich nur an einer Stelle vom empfangenen Wort unterscheidet. Erhält der Empfänger also das Wort , so kann er es leicht zum ursprünglich gesendeten Codewort korrigieren. Beispiel 2.5. Der ISBN10-Code Mit dem ISBN10-Code (International Standard Book Number) wurden bis 2006 Bücher versehen, um sie international identizierbar zu machen. Die Codewörter haben hierbei die Länge 10 und die ersten neun Stellen benutzen das Alphabet {0,1,...,9}. Für die letzte Stelle, die Prüfzier, wird dagegen das Alphabet {0,1,...,9,X} genutzt, wobei X für die Zahl 10 steht. Das Buch "Codierungstheorie und Kryptographie" von Wolfgang Willems hat zum Beispiel die ISBN Der erste Block gibt dabei die Sprachregion an (z.b. 0 für Englisch, 3 für Deutsch), der zweite Block steht für die Verlagsnummer und der dritte Block identiziert die individuelle Buchnummer. Die letzte Stelle ist die Prüfzier, welche sich berechnet aus 10c 1 + 9c c 9 + c 10 0 mod 11 wobei c 1 die Zier der ersten Stelle des Codes beschreibt, c 2 die Zier der zweiten Stelle, usw.. Überprüfen wir nun einmal, ob der ISBN10-Code des Buches von oben richtig ist. Dazu berechnen wir also die Prüfzier, die in diesem Fall 8 sein soll: 4

6 = mod 11 = = 8 Die Prüfzier ist also 8, damit ist das Codewort richtig gebildet. 2.2 Güte von Codes Nachdem nun die wichtigsten Begrie, um mit Codes zu arbeiten, eingeführt wurden, soll es nun darum gehen, wie Übertragungsfehler, die in einem Kanal aufgetreten sind, erkannt und korrigiert werden können. Denition 2.6. Seien K ein Alphabet und u = (u 1,...u n ), v = (v 1,..., v n ) Elemente in K n. Dann heiÿt d(u, v) = {i u i v i } der Hamming Abstand von u und v. Beispiel 2.7. Betrachte zwei Codewörter des Wiederholungscodes, z.b. u = und v = Dann ist der Hamming-Abstand der beiden Codewörter d(u, v) = 3. Lemma 2.8. Der Hamming-Abstand deniert auf K n eine Metrik, d.h. es gilt für alle u, v, w K n 1. d(u, v) 0 und d(u, v) = 0 genau dann, wenn u = v ist; 2. d(u, v) = d(v, u); 3. d(u, v) d(u, w) + d(w, v). Beweis. Die Aussagen 1. und 2. sind oensichtlich. Nach Denition des Hamming-Abstands ist d(u, v) die kleinste Anzahl von Koordinatenänderungen, die man braucht, um u in v zu überführen. Diese Zahl ist kleiner oder gleich der kleinsten Anzahl von Koordinatenänderungen, die wir benötigen, um zunächst u in w und dann w in v zu überführen. Also gilt 3. Um nun Aussagen über die Güte von Codes machen zu können, sind folgende Denitionen wichtig: Denition 2.9. Sei C ein Code der Länge n über dem Alphabet K. a) Ist C > 1, so nennen wir 5

7 d(c) = min{d(c, c ) c, c C, c c } die Minimaldistanz von C. Für C = 1 setzen wir d(c) = 0. b) Ist d(c) = d und M = C, so sagen wir, dass C ein (n, M, d)-code über K ist. Wir nennen (n, M, d) die P arameter von C. Beispiel Ein dreifacher Wierholungscode über dem binären Aplhabet 0,1 hat also Minimaldistanz d(c) = 3, da sich, wie in Beispiel 2.4 bereits erwähnt, zwei Codewörter an mindestens drei Stellen unterscheiden. Es handelt sich bei diesem Code um einen (6,4,3)-Code. Wie in euklidischen Räumen kann man über den Hamming-Abstand Kugeln von einem Radius r um einen Mittelpunkt u K n denieren und eine Aussage darüber treen, wie viele Elemente v K n eine solche Kugel enthält. Denition Seien K ein Alphabet und r N 0. Für u K n deniert B r (u) = {v v K n, d(u, v) r} die Kugel vom Radius r um den Mittelpunkt u in K n. Lemma Ist K = q, so gilt B r (u) = r j=0 ( n j) (q 1) j, denn {v v K n, d(u, v) = j} = ( n j) (q 1) j. Insbesondere ist also B r (u) unabhängig vom Mittelpunkt u. Mittels des Minimalabstands und der Kugeln um die Codeworte lässt sich denieren, wie viele Fehler sich in einem Code erkennen und korrigieren lassen. Denition Sei C ein Code. a) C heiÿt t fehlererkennend, falls für alle c C die Kugel B t (c) auÿer c kein weiteres Codewort enthält, d.h. für den Minimalabstand d von C die Beziehung d t + 1 gilt. b) C heiÿt e fehlerkorrigierend, falls B e (c) B e (c ) = ist für alle Codeworte c c, falls also die Kugeln um je zwei verschiedene Codeworte paarweise disjunkt sind, beziehungsweise für den Minimalabstand d von C die Beziehung d 2e + 1 gilt. 6

8 Hat der Code C 0 also die Minimaldistanz d, so können wir bis zu d 1 Fehler erkennen und bis zu d 1 2 Fehler korrigieren, wobei r für r R die gröÿte ganze Zahl kleiner oder gleich r bezeichnet. Beispiel Betrachten wir erneut den dreifachen Wiederholungscode. Da sein Minimalabstand d = 3 ist, folgt direkt aus der Denition, dass er 2-fehlererkennend und 1-fehlerkorrigierend sein muss. Dies ist zwar eine gute Fehlerkorrektur, aber dafür ist der Code sehr redundant, d.h. viele der übertragenen Zeichen tragen keine Information. 2.3 Schranken Man möchte ein empfangenes Wort eindeutig einem Codewort zuordnen können, sofern im Kanal höchstens e Fehler passieren. Es wäre also perf ekt, wenn es Codes gäbe, die K n mit Kugeln vom Radius e disjunkt überdecken würden. Denition Sei C ein Code der Länge n über dem Alphabet K. Wir nennen C perfekt, falls ein e N 0 existiert, so dass K n = c C B e (c) die disjunkte Vereinigung der Kugeln B e (c) für c C ist. Satz Sei C ein Code der Länge n über dem Alphabet K mit K = q. Ferner gelte für die Minimaldistanz d(c) 2e+1 mit e N 0. a) Hamming-Schranke. Es gilt q n C e j=0 ( n j) (q 1) j. b) C ist genau dann perfekt, wenn die sogenannte Kugelpackungsgleichung erfüllt ist. q n = C e ( n ) j=0 j (q 1) j 7

9 a) Die Bedingung d(c) 2e + 1 liefert B e (c) B e (c ) = für alle Codeworte c c. Wir erhalten somit q n = K n B e (c) Beweis. c C = B e (c) c C = C B e (0) e ( ) n = C (q 1) j. j j=0 b) Genau dann gilt in a) die Gleichheit, wenn die Kugeln vom Radius e um die Codeworte ganz K n disjunkt überdecken, also C perfekt ist. Beispiel C = K n ist ein sogenannter trivialer perfekter Code. Die Minimaldistanz ist in diesem Fall d(c) = 1. Aus d(c) 2e + 1 folgt e = 0 und damit gilt die Kugelpackungsgleichung: q n = C e j=0 ( n j ) (q 1) j = K n e j=0 ( n j) (q 1) j = K n = q n. Mithilfe der Hamming-Schranke kann man zeigen, dass zu bestimmten Parametern kein Code existieren kann. Beispiel Es gibt keinen binären (7, 2 3, 5)-Code, da die Hamming- Schranke folgenden Widerspruch liefert: 128 = (1 + ( 7 1) + ( 7 2) ) = 232 Neben der Hamming-Schranke ist auch die Singleton-Schranke von groÿer Bedeutung. Sie bezeichnet eine obere Schranke für die Minimaldistanz von Blockcodes. Satz Die Singleton-Schranke. Sei C ein Code der Länge n über einem Alphabet mit q Elementen. Ist d die Minimaldistanz von C, so gilt d n log q C + 1. Beweis. Sei K das Alphabet. Wir betrachten die Projektion α : K n K n d+1, welche durch α((u 1,..., u n )) = (u 1,..., u n d+1 ) deniert ist. Da zwei verschiedene Codeworte mindestens den Abstand d haben, ist die Einschränkung von α auf C injektiv. Also gilt C = α(c) K n d+1 = q n d+1 und wir erhalten log q C n d + 1, also d n log q C

10 Beispiel Für den perfekten Code mit den Paramtern q = 2, n = 90 und C = 2 78 liefert die Singleton-Schranke folgende Aussage über die Minimaldistanz des Codes: d 90 log = 13. Die Minimaldistanz dieses Codes ist also d(c) 13. 9

11 3 Literaturverzeichnis Wolfgang Willems. Codierungstheorie und Kryptographie. Basel: Birkhäuser, Olaf Manz. Fehlerkorrigierende Codes. Konstruieren, Anwenden, Decodieren. Wiesbaden: Springer Vieweg,