4 Kryptologie. Übersicht

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1 4 Kryptologie Übersicht 4.1 Der erweiterte euklidische Algorithmus Rechnen mit Restklassen modulo p Der kleine Satz von Fermat Das Pohlig-Hellmann-Verfahren Das RSA-Verfahren In der Kryptologie entwickelt man Verschlüsselungsverfahren für Texte, so daÿ diese nur von befugten Teilnehmern verstanden werden können. Dabei wird ein Klartext N mit einem Schlüssel e zu einem Geheimtext C verschlüsselt und an den Empfänger geleitet. Der Geheimtext C darf dabei durchaus von Angreifern eingesehen werden, er muÿ nur so gestaltet sein, daÿ es keine Hinweise gibt, was der ursprüngliche Klartext ist. Der Empfänger entschlüsselt den Geheimtext mit seinem Schlüssel d und erhält den Klartext zurück. Die modernen Verschlüsselungsverfahren benutzen algebraischen Methoden. Wir stellen kurz das Verfahren von Pohlig-Hellman vor das machen wir aber richtig und graben dabei ein biÿchen in anspruchsvoller Mathematik. Das Verfahren von Pohlig-Hellman ist ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren, der Sender P und der Empfänger H haben vor dem Versenden einer Nachricht Schlüssel vereinbart einen Schlüssel e zum Verschlüsseln und einen Schlüssel d zum Entschlüsseln. Wir brauchen eine groÿe Primzahl p, den erweiterten euklidischen Algorithmus, den kleinen Satz von Fermat und Modulorechnen. Wir beginnen mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Dazu benötigen wir eine suggestive Schreibweise: Ist p Z ein Teiler einer ganzen Zahl a, d. h. a = p b mit b Z, so schreibt man p a und spricht das p teilt a aus. Oenbar gilt die Regel: p a und p b p r a + s b, r, s Z.

2 38 4 Kryptologie 4.1 Der erweiterte euklidische Algorithmus Wir unterstellen, daÿ jeder den Fundamentalsatz der Arithmetik kennt: Satz 4.1 (Der Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl n > 1 läÿt sich auf genau eine Weise als Produkt von Potenzen von Primzahlen p 1 < < p r schreiben: n = p ν 1 1 p ν r r. Man nennt diese Darstellung die kanonische Primfaktorisierung von n. Beispiele. 36 = = Zerlegen Sie mal die Zahl Der erweiterte euklidische Algorithmus ist ein mathematisches Verfahren, das den gröÿten gemeinsamen Teiler ggt(a, b) zweier natürlicher Zahlen a und b berechnet, und dazu noch zwei ganze Zahlen s und t liefern, die folgende Gleichung erfüllen: ggt(a, b) = s a + t b. Dazu nutzen wir sukzessive Division mit Rest. Beispiel 4.1 Wir bestimmen ggt(391, 153): 391 = = = = Wir bestimmen nun die ganzen Zahlen s und t, dabei gehen wir die Rechnungen rückwärts: 17 = = 85 ( ) = = 2 ( ) 153 = Damit gilt s = 2 und t = 5.

3 4.2 Rechnen mit Restklassen modulo p Rechnen mit Restklassen modulo p Restklassen Es sei p eine natürliche Zahl (später wird p eine groÿe Primzahl sein). Für jedes a Z setzen wir: a := a + pz := {a + p k k Z} = {a, a ± p, a ± 2p, }. Man nennt a Restklasse von a modulo p. Sind a und b ganze Zahlen, so sagt man a ist kongruent zu b modulo p und schreibt dafür a b mod p, falls a = b, d. h., falls a + p Z = b + p Z. Es gilt: a b mod p a + pz = b + pz ( a = b) a b pz p (a b) a und b haben bei Division durch p den selben Rest Es sei nun a eine beliebige ganze Zahl. Dividiere a durch p mit Rest r: a = b p + r, 0 r < p. Dann gilt a = r. Damit gilt: Jede ganze Zahl a liegt in einer der r Restklassen 0, 1,..., p 1. Je zwei dieser Restklassen sind auch verschieden, da die Dierenz zweier Zahlen aus {0, 1,..., p 1} niemals durch p teilbar sein kann. Also haben wir begründet: Satz 4.2 Es gibt genau p verschiedene Restklassen modulo p, nämlich 0, 1,..., p 1. Man nennt Z p := {0, 1, 2,, p 1} die Restklassengruppe modulo p, es gilt Z p = p. Beispiel. Im Fall p = 5 gilt etwa 17 = 2, 29 = 4 = 1, 24 = 1 = 6. Weiterhin ist Z. B. gilt Z 5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

4 40 4 Kryptologie Addition und Multiplikation von Restklassen Wir addieren und multiplizieren Restklassen wie folgt: a + b = a + b a b = a b Beispiel. Wir betrachten wieder den Fall p = 5, es gilt hier z. B.: = = 1, = 4, = 7 = 2, 0 1 = 0, 2 2 = 4, 3 4 = 12 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 8 = 3, 2 4 = = 16 = 1, 2 5 = = 2. Weiterhin kann die folgenden Regeln einfach nachprüfen: Es gilt: a, b Z p : a + b Z p und a b Z p (Abgeschlossenheit), a, b, c Z p : (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität bzgl. +), a, b, c Z p : (a b) c = a (b c) (Assoziativität bzgl. ), a, b, c Z p : a (b + c) = ab + ac) (Distributivität). Beispiel. Wir stellen für den Fall p = 7 die Verknüpfungstafeln für die Addition und Multiplikation auf. Die Querstriche lassen wir weg, wir schreiben also a statt a und damit sind wir beim Modulorechnen: Der kleine Satz von Fermat Wir begründen nun den kleinen Satz von Fermat, dieser Satz besagt: Satz 4.3 (Der kleine Satz von Fermat) Für jede Primzahl p gilt a p 1 = 1 für alle a {1, 2,, p 1}.

5 4.4 Das Pohlig-Hellmann-Verfahren 41 Beweis: Für ein beliebiges a Z p \ {0} sind die p 1 Restklassen a 1, a 2,..., a p 1 alle verschieden. Aus folgte nämlich a x = a y a x y = 0, sodaÿ p a (x y). Wegen des Fundamentalsatzes der Arithmetik folgt p x y, da p a. Damit haben wir aber x = y. Folglich sind die p 1 Restklassen a 1, a 2,..., a p 1 wieder die p 1 Restklassen 1, 2,..., p 1, nur evtl. in einer anderen Reihenfolge. Wir erhalten Kürzen von p 1 Beispiel. k=1 p 1 a p 1 k=1 k = k liefert die Behauptung. p 1 k=1 a k = p 1 k=1 Wir betrachten wieder den Fall p = 5, es gilt: 2 4 = 16 = 1, 3 4 = 9 2 = 4 2 = 16 = 1, 4 4 = 16 2 = 1 2 = 1, 4 4 = 16 2 = 1 2 = 1. k. 4.4 Das Pohlig-Hellmann-Verfahren Das Pohlig-Hellman-Verfahren ist ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren, das bei einer guten Wahl der Primzahl p in der Gröÿenordnung von 512 Bit heutzutage als sicher erachtet werden kann.

6 42 4 Kryptologie Das Pohlig-Hellman-Verfahren Das Verfahren von Pohlig-Hellman ist ein symmetrisches Verschlüsselungsverfahren, der Sender P und der Empfänger H haben vor dem Versenden einer Nachricht Schlüssel vereinbart. Ihre Schlüssel erzeugen die beiden Teilnehmer wie folgt: P und H einigen sich auf eine (groÿe) Primzahl p. P wählt eine Zahl e {2,..., p 2} mit ggt(e, p 1) = 1. Es ist e der geheime Schlüssel von P. H bestimmt d {2,..., p 2} mit e d 1 (mod (p 1)) mit dem euklidischen Algorithmus. Es ist d der geheime Schlüssel von H. Ver- und Entschlüsselung einer Nachricht: Der Sender P will an H eine Nachricht N senden. Die Schlüssel e und d haben P und H wie eben geschildert erzeugt. Nun gehen die beiden wie folgt vor: P stellt seine Nachricht als Element N Z p dar. P bildet die Potenz C := N e in Z p mit seinem geheimen Schlüssel e. P sendet den Geheimtext C an H. H erhält C und berechnet die Potenz C d = N ed = N (beachte Satz??) mit seinem geheimen Schlüssel d und erhält so den Klartext N. Bemerkung. Ein Angreifer kann den Geheimtext C = N e zwar mitlesen, aber hieraus nicht auf N bzw. e schlieÿen. Kennt ein Angreifer ein Klartext- Geheimtextpaar (N, C) aus früheren Angrien, so steht er vor dem Problem, aus der Gleichung C = N e den geheimen Schlüssel e zu bestimmen (d erhält er dann leicht mit dem euklidischen Algorithmus). Dieses Problem ist mit den gängigen Algorithmen bei hinreichend groÿem p nicht in kurzer Zeit lösbar. Groÿe Primzahlen erhält man mit sogenannten Primzahltests. Eine Codierung einer Nachricht sieht z. B. wie folgt aus: Man setzt A= 10, B= 11, C= 12, D= 14,, Z= 35. Damit wird der Klartext N = ICH LIEBE DICH zu N = Z p. Beispiel 4.2 Wir wählen die Primzahl p = 11. Für die Zahl e wählen wir e = 3, es gilt ggt(3, 10) = 1. Als d erhalten wir aus dem euklidischen Algorithmus d = 7, es gilt nämlich = 1. Der zu verschlüsselnde Klartext sei N = 4. Verschlüsseln liefert: C mod 11 = 4 3 mod 11 = 64 mod 11 = 9 mod 11

7 4.4 Das Pohlig-Hellmann-Verfahren 43 Entschlüsseln liefert: C 7 mod 11 = 9 7 mod 11 = (9 2 ) 4 9 mod 11 = (4) 3 9 mod 11 = (9) 2 mod 11 = 4 mod p = N. Die Primzahl p wählt man am besten so, daÿ p 1 2 wieder eine Primzahl ist. Primzahlen mit dieser Eigenschaft nennt man sichere Prinzahlen. Im Allgemeinen ist es sehr schwer, sichere Primzahlen in der Gröÿenordnung 512 Bit zu nden, über sichere Primzahlen weiÿ man sehr wenig. Primzahlen ndet man prinzipiell mit sogenannten Primzahltests das ist eine Wissenschaft für sich. Kennt ein Angreifer N und C mit N e = C, so kann er dadurch noch lange nicht auf e schlieÿen, wenn p gut gewählt ist: Das diskrete Logarithmenproblem ist kaum zu lösen, falls p groÿ und geschickt gewählt ist Schnelle Exponentiation Wie bildet man die hohen Potenzen N e und C d? Mittels der sogenannte schnellen Exponentation. Beim Verfahren von Pohlig-Hellman (und bei vielen anderen kryptograschen Verfahren) muÿ man Potenzen in einer Gruppe G berechnen. Die Aufgabe lautet: Für a G und n N bestimme a n. Der naheliegendste Ansatz der sukzessiven Multiplikation basiert auf der üblichen Rekursion für Potenzen: a n = a a n 1. Dieser Ansatz benötigt n 1 Operationen, um a n zu berechnen. Diese Methode ist also exponentiell in der Anzahl log n der Bits von n. Die schnelle Exponentiation basiert auf folgender Rekursion für Potenzen: ( n ) 2 a a n 2, falls n gerade, = ) (a n a, falls n ungerade. Ein dazu äquivalenter, iterativer Algorithmus benutzt die Binärdarstellung von n. In der englischsprachigen Literatur wird der Algorithmus aus naheliegenden Gründen oft als square and multiply bezeichnet. Der Algorithmus benötigt nur die Assoziativität der Verknüpfung.

8 44 4 Kryptologie Lemma 4.4 Es sei a ein Element, dessen n-te Potenz zu bestimmen ist. Die Zahl n sei dabei in Binärdarstellung gegeben: n = k b l 2 l mit k = log 2 n, b l {0, 1}. l=0 Setze a 0 := a b k = a und a i := a b k i a 2 i 1, 1 i k. Dann gilt: (i) a k = a n. (ii) Zur Berechnung von a n braucht man höchstens 2 k Multiplikationen. Der Algorithmus ist also linear. Im Mittel braucht man sogar nur 1.5 log 2 (n) Gruppenoperationen. Der Algorithmus ist also linear mit kleinen Konstanten. Beispiel 4.3 Der Sender P berechnet mit der schnellen Exponentiation 3 29 in Z 257 wegen e = 29 = , also b 4 = 1, b 3 = 1, b 2 = 1, b 1 = 0, b 0 = 1 vorteilhaft durch Quadrieren und Multiplizieren. Es ist a = 3: a 0 = a b 4 = 3 1 = 3, a 1 = a b3 a 2 0 = = 27, a 2 = a b2 a 2 1 = = 131, a 3 = a b1 a 2 2 = = 199, a 4 = a b0 a 2 3 = = 69. Es werden dabei 7 Gruppenoperationen durchgeführt, wir fassen diese zusammen: (( (( ) 3 29 = 3 1) )2 1) Man beachte, dass die Operation 3 0, dies entspricht einer Multiplikation mit 1, nicht ausgeführt wird. Und H entschlüsselt den Geheimtext 69 wegen d = 53 = und b 5 = 1, b 4 = 1, b 3 = 0, b 2 = 1, b 1 = 0, b 0 = 1

9 4.5 Das RSA-Verfahren 45 entsprechend durch a 0 = 69 1 = 69, a 1 = 69 1 a 2 0 = 63, a 2 = 69 0 a 2 1 = 114, a 3 = 69 1 a 2 2 = 51, a 4 = 69 0 a 2 3 = 31, a 5 = 69 1 a 2 4 = 3. Ein Angreifer kann durch Beobachtung des Stromverbrauchs (oder anderer physikalischer Gröÿen) einer Maschine evtl. auf die Binärdarstellung der Zahl e schlieÿen. Das ist an der hervorgehobenen Formel für 3 29 schön zu erkennen. Liegt eine 0 vor braucht es eine Operation, liegt eine 1 vor, braucht es zwei. Einen solchen Angri nennt man Seitenkanalangri. Man sollte dies bei der Implementierung des Algorithmus beachten. 4.5 Das RSA-Verfahren Durch eine Modikation des Pohlig-Hellman-Verfahrens erhalten wir das asymmetrische RSA-Verfahren: Es ist kein Schlüsselaustausch vor dem Versenden der Nachricht nötig. Der Empfänger R einer Nachricht hat in einem für den Sender S zugängigen Verzeichnis seinen sogenannten öentlichen Schlüssel (n, e) (public key) veröentlicht. Ein zugehöriger geheimer Schlüssel d (private key) ist nur dem Empfänger R bekannt. Wir schildern die Schlüsselerzeugung: R wählt zwei (groÿe) Primzahlen p q. R berechnet n := p q, φ(n) = (p 1) (q 1). R wählt ein e N mit 1 < e < φ(n) und ggt(e, φ(n)) = 1. R berechnet d N mit d e 1 mod φ(n). Es sind dann (n, e) der öentliche Schlüssel von R und d der geheime Schlüssel von R (auch die Gröÿen p, q und φ(n) sind geheim zu halten). Ver- und Entschlüsselung: Der Sender S besorgt sich den öentlichen Schlüssel (n, e) des Empfängers R und geht wie folgt vor: S stellt seine Nachricht als Element N Z n dar. S bildet die Potenz C := N e in Z n mit dem öentlichen Schlüssel e. S sendet den Geheimtext C an R.

10 46 4 Kryptologie R erhält den Geheimtext C = N e und berechnet die Potenz C d = N ed = N mit seinem geheimen Schlüssel d und erhält so den Klartext N. Dabei haben wir benutzt, daÿ wegen m ed m mod p und m ed m mod q und p q auch m ed m mod n für alle 0 m < n gilt. Bemerkung. Kann ein Angreifer A die (öentlich zugängliche) Zahl n faktorisieren, d. h. die Primzahlen p und q bestimmen, so kann er jeden Geheimtext ebenso wie der Empfänger R entschlüsseln. Sind die Primzahlen p und q aber nur geschickt genug gewählt, so ist es mit den gängigen Verfahren nicht möglich, die Zahl n in kurzer Zeit zu faktorisieren.

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