RSA-Verfahren Schnelle Ver- / Entschlüsselung Zusammenhang mit dem Faktorisierungsproblem. RSA-Verfahren. Herwig Stütz

Transkript

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2 Überblick 1 2 Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz 3

3 Allgemeines Public-Key Methode Rivest, Shamir und Adleman 1977 Sicherheit des Verfahrens beruht auf Schwierigkeit der Primfaktorenzerlegung

4 Eulersche φ-funktion Definition (φ-funktion) Die Eulersche φ-funktion wird definiert durch: φ : N N, φ(n) = {1 k n ggt(k,n) = 1} Lemma (Eigenschaften der φ-funktion) Sei n N und p Primzahl. Dann gelten φ(nm) = φ(n)φ(m) Multiplikativität φ(p) = p 1

5 Theorem (Kleiner Satz von Fermat) Sei G eine endliche Gruppe und a G. Dann gilt a G = e G. Beweis. Seien g 1,...,g G die Elemente von G. Es gilt (ag 1 )(ag 2 )... (ag G ) = g 1 g 2... g G da die (ag i ) nur eine Permutation der g i sind. Nun kann man die a herausziehen und die g i kürzen: a G = e G.

6 Folgerung Für den Spezialfall G = (Z n, ) mit G = φ(n) ergeben sich: 1 Ist n eine natürliche Zahl, dann gilt a φ(n) 1 mod n für ggt(a,n) = 1. 2 Ist p prim und a beliebig, dann gilt a p a mod p

7 Begriffe RSA-Modul: n Private-Key: d Public-Key: (n,e) Klartext: m Geheimtext: c

8 Ver- und Entschlüsselung Ver- und Entschlüsselung c m e m c d mod n mod n

9 Schlüsselerzeugung Wähle Primzahlen p und q Setze n = pq Private-Key: Wähle d so, dass 0 < d < φ(n) und ggt(d,φ(n)) = 1 Public-Key: Wähle e so, dass 0 < e < φ(n) und ed 1 mod φ(n)

10 von RSA Theorem ( von RSA) Sei (n,e) ein öffentlicher Schlüssel, und d der entsprechende private Schlüssel im. Dann gilt für jede natürliche Zahl m. (m e ) d m mod n

11 von RSA Beweis. Da ed 1 mod (p 1)(q 1) ist, gibt es eine ganze Zahl l, so dass ed = 1 + l(p 1)(q 1) ist. Daher ist (m e ) d = m ed = m 1+l(p 1)(q 1) = m(m (p 1) ) l(q 1) m mod p und auch (m e ) d m mod q.

12 Beweis. Weil p q folgt dann (m e ) d m mod n für ggt(m,n) = 1. Wenn ggt(m,n) > 1, so ist n ein Teiler von m und somit ist die Kongruenz auf beiden Seiten 0.

13 Wählen p = 29,q = 37 also n = Wählen Private-Key d = 59 ggt(59, 1036) = 1 Berechnen Public-Key e = 868. Nachricht m = 525 Also ist c = m e mod n = mod 1073 = 308 m = c d mod n = mod 1073 = 525

14 Schnelle modulare Exponentiation Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz Zu berechnen x e mod n e = b k 2 k + b k 1 2 k b b k x e = x b k2 k +b k 1 2 k 1 + +b b = (x 2i) b i i=0

15 Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz Zu berechnen sei x 11 mod n mit x = 47 und n = 58: e 3 : 1 x = x = 47 e 2 : 0 x 2 = x mod 58 = 5 e 1 : 1 (x 2 ) 2 x = x mod 58 = 15 e 0 : 1 ((x 2 ) 2 x) 2 x = x mod 58 = 19

16 Chinesischer Restsatz Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz Theorem (Chinesischer Restsatz) Seien n 1,n 2,...,n r r natürliche Zahlen größer 1, die zueinander relativ prim sind, also ggt(n i,n j ) = 1 für i j, und seien a 1,a 2,...,a r beliebige natürliche Zahlen. Dann existiert eine Lösung zu der Kongruenz x a i mod n i i = 1,2,...,r Existieren 2 Lösungen x und x, so gilt x x N = n 1 n 2 n r mod N mit

17 Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Beweis. Sei N = n 1... n r und sei N k = N/n k. Deshalb gilt ggt(n k,n k ) = 1. Also gilt N k N k : N kn k 1 mod n k, da die n k teilerfremd sind. Nun sei x = a 1 N 1 N 1 + a 2 N 2 N a r N r N r. Da nun N i 0 mod n k für i k folgt x a k N k N k mod n k. Seien x und y zwei Lösungen des System, dann gilt x y mod n k für alle k. Und da die n k paarweise relativ prim sind, gilt x y mod N.

18 Faktorisierung von n = RSA ist unsicher d ist bekannt = n kann mit probabilistischen Algorithmus faktorisiert werden Methode zur Berechnung von d ohne Faktorisierung von n?? Vermutung Jede Methode, das RSA-Kryptosystem zu brechen ist mindestens gleichschwer wie die Zerlegung in Primfaktoren.

19 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!