Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Katharina Falk Medizintechnik Master

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1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Katharina Falk Medizintechnik Master

2 Gliederung Modulare Arithmetik Rechenregeln Schnelle Potenzierung Gemeinsamer Teiler Erweiterter Euklid Primzahlen Primfaktorzerlegung Pollard-Rho Phi-Funktion RSA-Kryptosystem

3 Modulare Arithmetik Ein System für Integer in einem Intervall [1]

4 Kongruenz a b mod m m (a-b) k Z : a = k m + b Kongruent: m teilt (a-b) Inkongruent: m teilt nicht (a-b) Ein Bierkasten mit 20 Bierflaschen soll auf 6 Freunde aufgeteilt werden, sodass am Ende alle gleich betrunken sind. Wie viele Flaschen bleiben übrig?

5 Rechenregeln (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m (a b) mod m = (a mod m b mod m) mod m a b mod m = a mod m b mod m mod m a b mod m = a mod m b mod m a d b d mod (m d) = a mod m b

6 Achtung! % definiert als Rest der Division Division: Multiplikation mit der Inversen Auch negative Werte möglich Keine Division durch 0 public static int mod(int x, int m) { return (x%m + m)%m; public static int mod2(int x, int m) { return x % m; public static void main(string args[]) { int modvar = mod(-13, 64); System.out.println(modvr); 15 int modvar2 = mod2(-13, 64); System.out.println(modvar2); -13 [11]

7 Modulare Inverse a b 1 (mod m) a 3 01 mod 11 3a 1 mod = 12 1 (mod 11) [2][3]

8 Schnelle Exponentiation Einsparen von Multiplikationen durch Quadrieren f a = a 9 f a = a a a a 3 Multiplikationen f a = (a E ) 2 2 Multiplikationen [4][3]

9 Algorithmus a F = Ga F E a F E a F01 a if b mod 2 = 0 else

10 Java Implementierung private long naiveexp(long a, long b) { long expo = 1; while (b > 0) { expo *= a; b--; return expo; Laufzeit: O(b) [5]

11 Schnelle Exponentation private long fastexp(long a, long b, long modulo) { if(b == 0) { return 1; long expo = fastexp(a, b / 2, modulo); expo = (expo * expo) % modulo; if (b % 2 == 1) { return (expo * a) % modulo; else{ return expo; Laufzeit: O(log max(a,b))

12 Größter gemeinsamer Teiler ggt a, b N mit a, b Z. Bei einem Sprachkurs sollen 10 native Sprecher und 20 Lernende in Gruppen mit gleicher Zusammensetzung aufgeteilt werden. Was ist die größte Gruppenanzahl? àprimfaktorzerlegung oder Euklidischer Algorithmus

13 Euklidischer Algorithmus r 0 = q 2 V r 1 + r 2 mit r 2 < r 1 r 1 = q 3 V r 2 + r 3 mit r 3 < r 2 while(r 2+n!= 0) r n = q [\E V r [\1 + 0 ggt private long euklid(long a, long b) { if (b == 0) { return a; else{ return euklid(b, a % b);

14 Erweiteter Euklid ggt(a, b) = a x + b y mit x,y Z private long [] exdeuklid (long a, long b) { if (b == 0) { return new long [] {a, 1, 0; long [] values = exdeuklid(b, a % b); long p = values[0]; long x = values[2]; long y = values[1] - (a / b) * values[2]; return new long [] {p, x, y; Lauzeit: O(log max(a,b))

15 Inverse Beispiel 197d 1 mod )gTT(300,198) = = 15(197) = 4(45) = 2(17) = 1(11) = 1(6) = 1(5) + 1 2). Euklid 1 = 6 1(5) = 2(6) 1(11) = 2(17) 3(11) = 8(17) 3(45) = 8(197) 35(45) = 533(197) 35(3000) 3) mod

16 Primzahlen x N ist durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar ansonsten sind sie zusammengesetzt Es gibt unendlich viele Primzahlen 2 ist die einzige gerade Primzahl

17 Primfaktorzerlegung x N hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung mit eindeutig bestimmten Exponenten Aus welchen Primfaktoren besteht die Zahl 30?

18 Java Implementierung private void primfakt(long n) { long temp = n; while ((temp % 2) == 0) { System.out.print(2); temp = temp / 2; long i = 3; while (i <= (Math.sqrt(temp + 1))) { if ((temp % i) == 0) { System.out.print(i); temp = temp / i; else { i = i + 2; if (temp > 1) { System.out.print(temp); Laufzeit: O( n)

19 Pollard-Rho-Methode Finden einesprimfaktors durch Pseudozufallszahlen. Abbruch: Teiler gefunden bei Zyklus Die Methode beruht auf der Pseudozufallsmethode f x y mod p mit {0,1,2...p-1 Werten maximal Nicht immer wird ein Teiler gefunden

20 Pollard-Rho-Methode à Beispiel f x = x mod 2717 mit x 0 = 2 x 1 = mod 2717 = 8, y 1 = 68 x 2 = mod 2717 = 68, y 2 = 277 x 3 = mod 2717 = 8, y 3 = i x i y i =f(f(y i )) ggt( x-y, 2717) [8]

21 Pollard-Rho-Methode i x i y i =f(f(y i )) ggt( x-y, 2717) f x = 209 =

22 Floyds Algorithmus zum Auffinden von Schleifen Finden von Schleifen in einer einfach verketteten Liste Pollard-Rho: Grundlage für die Zykluserkennung à Abbruchbedingung

23 Schildkröten und Hasen Algorithmus [12]

24 Implementierung Pollard-Rho public static long pollardrho(long n) { long x = 2; long y = 2; long d = 1; while (d == 1) { x = f(x) % n; y = f(f(x)) % n; d = gtt(math.abs(x - y); n); return d; Laufzeit: O(log(n) n) [6]

25 Eulersche φ(n)-funtkiom φ(n): a N 1 a n ggt a, n = 1 Anzahl der teilerfremden natürlichen Zahlen φ(n)= r φ(p s t u ) s =r p s t u s (1 1 p s ) = n r((1 1 p s ) s Primzahlen: nur durch 1 teilbar und sich selbst daher φ p = p 1 Grundlage für Eulerscher Satz: a v([) 1 mod n [8][9]

26 Beispiel φ 100 =? φ 100 = 1,2,4,5,10,20,25,50,100 φ 1 = 1 φ 2 = 1 φ 4 = 2 φ 5 = 4 φ 10 = 4 φ 20 = 8 φ 25 = 20 φ 50 = 20 φ 100 = 40 1yy y φ d = 100 [8][10]

27 phi-funktion public static int phi(int n) { int x = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { int gttx= gtt(n,i); if (gttx == 1) x++; return x;

28 RSA Asymmetrischer Chiffrieralgorithmus von Riverst, Shamir und Adleman Krytpgraphie

29 RSA an einem Beispiel Frida Fridolin [7]

30 RSA 1. x = 13, y = 7 2. N = x y = 13 V 7 = φ n = x 1 y 1 = φ 91 = 13 1 V 7 1 = 6 12 = e V d mod φ n = 1 e als teilerfremde Zahl < φ n ggt 5,72 = 1 5.öffentlicher Schlüsselà(5,91) 6. 5d 1 mod 72 erweiterter euklischer Algorithmus mit 5 V x + 72 V y = 1 7. d = privater Schlüssel(29,91) [7]

31 Quellen [1] 17:40) [2] 18:10) [3] ( ; 18:10) [4] ( ; 12:00) [5] ( ; 18:20) [6] ( ; 19:00) [7http://vignette4.wikia.nocookie.net/dofus/images/b/b0/Schlüssel_zu_Rotolphs_Stall.png/revision /latest?cb= &path-prefix=de ( ; 19:10) [8] ( ; 19:10) [9] ( ; 19:15) [10] 024/text24.gif ( ; 19:00) [11] Vorträge der letzten Jahre ( ; 18:10)