Diskrete Mathematik 1

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1 Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 008/09 Blatt 9 / 16. Dezember 008 / Abgabe bis 06. Januar 009, Uhr, in die Kästen auf NA 0 AUFGABE 1 4 Punkte): Finden Sie die kleinste positive ganze Zahl x, die folgende simultane Kongruenz löst: 3 x = 4 mod 7) 5 x = 6 mod 8) x = 5 mod 9) Geben Sie dazu Rechenweg und Zwischenergebnisse an. Zunächst multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3 1 mod 7 und die zweite Gleichung mit 5 1 mod 8, um normierte Gleichungen zu erhalten. Es sind 3 1 mod 7 = 5, da 3 5 = 15 = 1 mod 7), und 5 1 mod 8 = 5, da 5 5 = 5 = 1 mod 8. Also ist das zu lösende Gleichungssystem äquivalent zu x = 6 mod 7) x = 6 mod 8) x = 5 mod 9) Man setze M 1 := 8 9 = 7, M = 7 9 = 63 und M 3 = 7 8 = 56. Es sind M1 1 mod 7 = 1 mod 7 = 4, da 4 = 8 = 1 mod 7), M 1 mod 8 = 7 1 mod 8 = 7, da 7 7 = 49 = 1 mod 8) und M3 1 mod 9 = 1 mod 9 = 5, da 5 = 10 = 1 mod 9). Damit gilt nach dem Chinesischen Restsatz vergleichen Sie Aufgabe ) x = 6 M 1 1 mod 7) M M 1 mod 8) M + 5 M 1 3 mod 9) M 3 mod 7 8 9) = mod 504)

2 = mod 504) = 30 mod 504). Die kleinste positive ganze Zahl, die obenstehende Kongruenz löst, ist also 30. AUFGABE 4 Punkte): Beweisen Sie den allgemeinen Chinesischen Restsatz ohne Induktion, das heißt, zeigen Sie folgende Aussage: Seien m 1, m,..., m n teilerfremde natürliche Zahlen. Es existiert genau eine Lösung x mod m 1 m... m n des Gleichungssystems x = a 1 mod m 1 ) x = a mod m ). x = a n mod m n ) Hinweis: Stellen Sie dazu x mod m 1... m n explizit dar und zeigen Sie die Eindeutigkeit von x. Wir definieren M := n i=1 m i und M i := M/m i, i = 1,..., n. Weiterhin sei u i, i = 1,..., n, das Inverse von M i modulo m i, das man mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus berechnen kann nach Voraussetzung gilt ggtm i, m i ) = 1). Schließlich setzen wir x :=. n a i u i M i mod M. i=1 Wegen u i M i = 1 mod m i und M i = 0 mod m j für j i ist x eine Lösung des Gleichungssystems. Eindeutigkeit: Angenommen, x sei eine weitere Lösung. Dann gilt m i x x ) für 1 i n. Weil die m i nach Voraussetzung teilerfremd sind, folgt hieraus M x x ), insbesondere sind also x und x gleich modulo M, was zu zeigen war. AUFGABE 3 4 Punkte): Beweisen Sie folgende Aussage: p N prim p 1)! = 1 mod p). Die angegebene Äquivalenz ist Aussage des Satzes von Wilson. Zum Beweis betrachten wir beide Richtungen der Äquivalenz separat. Zunächst zeigen wir durch Kontraposition, d. h. wir beweisen die Aussage Sei p N nicht prim p 1)! 1 mod p) :

3 Sei also p N nicht prim. Dann existiert eine Zahl q N, 1 < q < p mit q p. Da 1 < q < p ist, gilt ebenfalls q p 1)!, aber q p 1)! + 1). Dementsprechend folgt auch p p 1)! + 1). Dies ist aber äquivalent zu p 1)! 1 mod p), Also gilt die Behauptung. Die Richtung der Äquivalenz zeigen wir direkt. Sei also p N prim. Dann ist p 1)! genau das Produkt aller Elemente aus Z p, es ist also p 1)! = a. Ist ein Element aus Z p von seinem Inversen verschieden, so kommen beide Elemente genau einmal in dem Produkt vor, es genügt daher das Produkt derjenigen Elemente zu betrachten, die zu sich selbst invers sind. Sei also a Z p mit a = a 1 mod p). Dies ist äquivalent zu a = 1 mod p) a 1 = 0 mod p). Das ist äquivalent zu p a 1) und, da p Primzahl ist, p a 1) oder p a + 1). In modularer Darstellung entspricht dies a Z p a = 1 mod p) oder a = 1 mod p). Die selbstinversen Elemente aus Z p sind also 1 und 1. Setzt man dies in die Gleichung ein, so erhält man p 1)! = a also die Behauptung. a Z p = a a Z p,a =1 mod p) = 1) 1 = 1 mod p),

4 AUFGABE 4 8 Punkte): Gegeben sei folgender Primzahltest: Algorithm 1 PrimTest Eingabe: n N ungerade mit n > 1, n keine Carmichael-Zahl t N for i = 1 to t do Wähle α i zufällig aus Z n \ {0}. Setze β i := i mod n) end for if β 1,..., β t ) ist von der Form ±1,..., ±1), aber β 1,..., β t ) 1,..., 1) then return n prim else return n zusammengesetzt end if a) Bestimmen Sie die Laufzeit des Testes. b) Zeigen Sie: WsAusgabe n prim n zusammengesetzt) t. c) Zeigen Sie: WsAusgabe n zusammengesetzt n prim) t. a) Die erste Schleife wird über t Elemente iteriert, Hauptfaktor für die Laufzeit innerhalb der Schleife ist die Exponentiation modulo n. Diese benötigt nach Vorlesung Aufwand Olog 3 n)). In der If-Abfrage müssen t Elemente mit 1 und 1 verglichen werden. Setzt man für einen Vergleich zweier Elemente der Länge logn) Aufwand Ologn)) an, so beträgt der Aufwand für diese Abfragen Ot logn)). Der Gesamtaufwand beträgt also Olog 3 n)). b) Sei n zusammengesetzt. Für α Z n \ {0}) \ Z n gilt ±1 mod n). Denn, angenommen = 1 mod n), dann folgt α 1 = 1 mod n), also ist α 1 = 1 und damit α Z n, was einen Widerspruch bildet. Analog folgt aus der Annahme = 1 mod n), dass ) = 1 mod n) und damit α 1 = α n, also ebenso der Widerspruch α Z n. Desweiteren ist α Z n wegen Präsenzübung 9, Aufgabe 3 b) ein Zeuge für die Zusammengesetztheit von n, falls ±1 mod n). Aus = ±1 mod n) folgt = 1 mod n). Damit ist die Menge der α Z n mit = ±1 mod n) eine Teilmenge der α Z n mit = 1 mod n). Wir können ihre Kardinalität analog zum Beweis zur Korrektheit des Fermattestes abschätzen und erhalten für t = 1 nach Vorlesung WsAusgabe n zusammengesetzt n zusammengesetzt) 1.

5 Daraus folgt für beliebige t: WsAusgabe n prim n zusammengesetzt) = 1 WsAusgabe n zusammengesetzt n zusammengesetzt)) t 1 1 ) t = t c) Sei n prim. Also ist Z n \ {0} = Z n. Aus Präsenzübung 9, Aufgabe 3 b) ist bekannt, dass = ±1 mod n) für alle α Z n. Für Primzahlen n wird also nur dann n zusammengesetzt ausgegeben, falls β 1,..., β t ) = 1,..., 1) gilt. Wir betrachten daher die Wahrscheinlichkeit, dass = 1. Dazu setzen wir P = {α Z n = 1 mod n)} Z n. Wir zeigen, dass P eine echte Untergruppe von Z n ist. 1. Abgeschlossenheit: Seien α 1, α P. Dann gilt 1 = 1 mod n) und = 1 mod n). Daraus folgt α 1 α ) n 1 1 = = 1 mod n) = 1 mod n), da die Multiplikation in Z n kommutativ ist. Also gilt α 1 α P.. Neutrales Element: 1 P, da 1 n 1 = 1 mod n). 3. Inverses Element: Zu α P ist α n 3 das inverse Element, da α α n 3 = mod n) und α n 3 ) n 1 = ) n 3 = 1 mod n) ist. 4. Assoziativität überträgt sich aus der Gruppe selbst. = 1 5. Echte Untergruppe: Es ist Z n zyklisch nach Vorlesung, also Z n = {c, c,..., c n 1, 1} für ein geeignetes c Z n. Damit ist aber c n 1 1, da sonst Zn = n 1. Damit gilt c / P, also ind Z n P ) und damit P 1 Z n. Damit folgt WsAusgabe n zusammengesetzt n prim) t = Ws i = 1 n prim) i=1 ) t 1 = t.

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