Algebraische Grundlagen

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1 Algebraische Grundlagen Steffen Reith Hochschule RheinMain 21. Januar 2015 Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Grundlagen & Geschichte In der Algebra werden Strukturen von Mengen untersucht. Geschichtlich geht die Algebra aus dem Lösen von Gleichungen hervor: ca. 825 n.chr. al-kitab al-mukhtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala Bedeutung: Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren zum Ergänzen und Ausgleichen von al-chwarizmi aus Bagdad Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

2 Der Gruppenbegriff Ein Paar (G, ) heißt Gruppe, wenn i) ist eine Funktion der Form : G G G (Abgeschlossenheit) ii) a, b, c G gilt a (b c) = (a b) c (Assoziativität) iii) Es gibt ein Element e G, so dass a G gilt a e = a = e a (Existenz des neutralen Elements) iv) a G a G, so dass a a = e = a a. (Existenz des inversen Elements) v) Gilt zusätzlich a, b G auch a b = b a, dann heißt (G, ) kommutative oder abelsche Gruppe. Beispiele: (Z, +), (R\{0}, ), (C\{0}) sind abelsche Gruppen. (N, +) ist keine Gruppe Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar 2015 / 17 Drehung eines Vierecks Es gibt vier verschiedene Drehungen eines Vierecks: 2 α Drehung 0o β Drehung 90 o γ Drehung δ Drehung 180 o 270 o 2 Die Verknüpfung von Drehungen sei die Hintereinanderausführung, dann ergibt sich die folgende Verknüpfungstafel: Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar 2015 / 17

3 Drehung eines Vierecks (II) Mit den vier verschiedenen Drehungen ergibt sich: α β γ δ α α β γ δ β β γ δ α γ γ δ α β δ δ α β γ Lemma ({α, β, γ, δ}, ) ist eine (abelsche) Gruppe. Solche Verknüpfungstafeln werden auch Gruppentafeln genannt. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Der Kongruenzbegriff Sei m N und m 2. Zwei Zahlen a, b Z heißen kongruent modulo m, wenn m (a b). Schreibweise. a b mod m Lemma Die Kongruenz ist eine (binäre) Äquivalenzrelation. Beweis: Übung Beispiel: 2 mod 2, 5 7 mod 2, 5 8 mod, aber mod 9 Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

4 Der Kongruenzbegriff (II) Lemma Seien m N mit m 2 und a, b Z, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: i) a b mod m ii) a = b + k m mit m Z iii) a und b lassen bei der ganzzahligen Division durch m den gleichen Rest. Beweis: Wir führen einen Zirkelschluß durch. i) ii): Wenn a b mod m, dann gilt nach m (a b). Also existiert ein k mit a b = k m und somit folgt a = b + k m. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Der Kongruenzbegriff (III) ii) iii): iii) i): Wenn a = b + k m, dann läßt a bei der Division durch m den Rest b. Da b = a k m ist, gilt das auch für b. Wenn a und b bei der Division durch m den gleichen Rest r lassen, dann gilt a = r + k m bzw. b = r + k m. Also muss a b = k m k m = (k k ) m gelten. Damit ist m (a b) und a b mod m nach. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

5 Weitere algebraische Strukturen Das Tripel (R,, ) heißt Ring, wenn i) (R, ) ist eine abelsche Gruppe ii) ist vom Typ : R R R (Abgeschlossenheit von ) iii) a, b, c R gilt a (b c) = (a b) c (Assoziativität von ) iv) a, b, c R, dann gelten a (b c) = (a b) (a c) (a b) c = (a c) (b c) (Distributitvität) v) Gilt zusätzlich a, b R auch a b = b a, dann heißt (R,, ) kommutativer Ring. Beispiele: (Z, +, ) ist ein kommutativer Ring, die Menge aller n n Matrizen über R bilden zusammen mit der Addition und Multiplikation von Matrizen einen Ring. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Weitere algebraische Strukturen (II) Ist (K,, ) ein Ring und zusätzlich (K\{e + }, ) eine abelsche Gruppe, wobei e + das neutrale Element für ist, dann heißt (K,, ) Körper (engl. Field). In Körpern kann die Multiplikation rückgängig gemacht werden, d.h. man kann dividieren. Beispiele: (Q,, ), (R,, ) und (C,, ) sind Körper. (Z,, ) ist ein Ring, aber kein Körper. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

6 Modulorechnung Seien a, b, c, d Z, n N mit n 2 und a b mod n bzw. c d mod n. Dann gilt 1 a + c b + d mod n 2 a c b d mod n Beweis: Meinel / Mundhenk, Mathematische Grundlagen der Informatik. Dieses Lemma kann man so auffassen, dass man Umformungen vornehmen kann wie gewohnt, indem man auf beiden Seiten multipliziert / addiert (Achtung: Die Division funktioniert nicht wie gewohnt!). Bei der Rechen mit Resten ist es unerheblich mit welchen Zahlen man rechnet, solange sie nur den gleichen Rest bei der Division mit n lassen. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Modulorechnung (II) Man kann mod n statt als Äquivalenzrelation auch als Modulo-Funktion verwenden, d.h. (x + y) mod n = ((x mod n) + (y mod n)) mod n So ist dies oft in den üblichen Programmiersprachen gelöst, z.b. Java oder C mit dem %-Operator. Beispiel: ( ) mod 100 = ((270 mod 100) + (5780 mod 100)) = mod 100 = 150 mod 100 = 50 mod 100 Probe: mod 100. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

7 Restklassenringe Sei n N mit n 2, dann ist Z n = {a 0 a < n} die Menge aller Restklassen modulo n. Für a, b Z n definieren wir i) a b = (a + b) mod n ii) a b = (a b) mod n Z n ist eigentlich eine Menge von Äquivalenzklassen. Da es egal ist mit welchem Repräsentanten man rechnet, definiert man Z n oft vereinfachend wie hier. Bemerkung (Z n,, ) ist ein kommutativer Ring, wobei es sogar ein neutrales Element bzgl. gibt. (Z n,, ) heißt Restklassenring modulo n. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Der größte gemeinsame Teiler Seien a, b Z, dann bezeichnet ggt(a, b) den größten gemeinsamen Teiler, d.h. wenn T a = {c c teilt a} (Menge aller Teiler von a) T b = {c c teilt b} (Menge aller Teiler von b), dann ist ggt(a, b) = max(t a T b ). Zwei Zahlen a, b Z heißen teilerfremd (relativ prim), wenn gilt ggt(a, b) = 1. Wir legen fest: ggt(0, 0) = 0 Beispiel: ggt(10, 15) = 5 und ggt(, 7) = 1, d.h. und 7 sind teilerfremd. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

8 Das RSA-Verfahren Satz Sei n N, n 2 und a Z n. Es gibt genau dann ein a Z n mit a a 1 mod n, wenn ggt(a, n) = 1. Beweis: später (evtl. Security) Beispiel: Das RSA-Verfahren nach (Rivest, Shamir und Adleman). Im Setup führen wir folgende Schritt durch i) wähle zwei verschiedene Primzahlen p und q ii) berechne n = p q und Φ = (p 1) (q 1) iii) wähle ein e, so dass ggt(e, Φ) = 1 iv) suche ein d mit e d 1 mod Φ Öffentlich ist (e, n) und geheim ist d. Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17 Das RSA-Verfahren (II) Verschlüsseln mit E(m) = m e Entschlüsseln mit D(m) = m d mod n mit Nachricht m Z n mod n mit Nachricht m Z n Beispiel: Sei p = 7 und q = 11, dann n = 77 und Φ = 60. Mit e = 17 liefert KnowHow oder probieren d = 5. Sei nun m = 5, dann ist E(5) mod 77 und D(12) mod 77 Fragen: Welche Algorithmen brauchen wir dafür? Wie findet man Primzahlen? Wie macht man das effizient? (In der Praxis haben p und q minimal 102 Bit, d.h. etwa 150 Dezimalstellen.Besser: 208 Bit) Warum ist das sicher (oder warum nicht)? Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17

9 Ende der Vorlesung Steffen Reith Algebraische Grundlagen 21. Januar / 17