4: Algebraische Strukturen / Gruppen

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1 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 120 4: Algebraische Strukturen / Gruppen Definition 46 Sei G eine nichtleere Menge. Eine Funktion : G G G bezeichnen wir als Verknüpfung auf G. Das Paar (G, ) bezeichnen wir als Gruppoid. Statt (a, b) können wir auch a b schreiben. Wenn klar ist, welche Verknüpfung wir meinen, schreiben wir auch G statt (G, ). 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

2 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 121 Halbgruppe, Monoid Definition 47 Gilt für alle a, b, c in dem Gruppoid (G, ) die Beziehung a (b c) = (a b) c, dann heißt assoziativ, und (G, ) ist eine Halbgruppe. Gibt es in der Halbgruppe G ein e, so dass für alle a G gilt e a = a e = a, dann heißt e neutrales Element, und G ist ein Monoid. Satz 48 (Eindeutigkeit des neutralen Elements) In einer Halbgruppe gibt es höchstens ein neutrales Element. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

3 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 122 Gruppe Definition 49 Sei (G, ) ein Monoid mit neutralem Element e. Gibt es zu jedem a in G ein Inverses a in G mit dann ist G eine Gruppe. a a = e, Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl G ihrer Elemente. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

4 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 123 Eindeutigkeit der Inversen Satz 50 In einem Monoid gibt es zu jedem Element höchstens ein Inverses. Hat x ein Inverses x 1, dann ist x selbst das Inverse von x 1. (Beweis: Übungsaufgabe) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

5 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 124 Kommutative Gruppen Definition 51 Ist (G, ) eine Gruppe, und ist kommutativ, d.h., gilt für alle a, b G a b = b a dann nennen wir (G, ) kommutativ (oder abelsch). Andernfalls nennen wir (G, ) nicht-kommutativ (nicht-abelsch). Analog dazu definiert man kommutative Halbgruppen und Monoide. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

6 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 125 Untergruppen Definition 52 Sei (G, ) eine Gruppe. Wir nennen (U, ) Untergruppe von (G, ) (Schreibweise (U, ) (G, ), bzw. U G ), wenn gilt: 1. U G und 2. (U, ) ist selbst eine Gruppe. Ist e das neutrale Element von G, dann sind {e} und G triviale Untergruppen von G. Alle anderen Untergruppen sind nichttrivial. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

7 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 126 Untergruppen von Untergruppen Satz 53 (Transitivität der Untergruppeneigenschaft) Ist V U T eine Kette von Untergruppen, dann gilt auch V T. Beweis. Um nachzuweisen, dass V eine Untergruppe von T ist, müssen wir zwei Eigenschaften von V nachweisen: 1. V T und 2. V ist eine Gruppe. Die erste Eigenschaft folgt der Transitivität der Untermengeneigenschaft: V U T V T. Weil V eine Untergruppe von U ist, ist V insbesondere selbst eine Gruppe. Also gilt auch die zweite Eigenschaft. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

8 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 127 Nachweis der Untergruppen-Eigenschaft Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und U G. Wie können wir U G beweisen oder ggf. widerlegen? U muss die Eigenschaften einer Gruppe haben: Assoziativität: Weil G eine Gruppe ist, gilt für alle a, b, c G gilt (a b) c = a (b c). Dann gilt das erst recht für alle a, b, c U (das brauchen wir nicht extra nachzuweisen). Es gilt U G genau dann, wenn U eine Gruppe ist, d.h., wenn die folgenden drei Bedingungen gelten: 1. Abgeschlossenheit: u, v U: u v U. 2. Neutrales Element: e U. 3. Inverse Elemente: u U: u 1 U. Mögliche Zusatz-Eigenschaft (Kommutativität): Ist G kommutativ, und U G, dann ist U erst recht kommutativ. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

9 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 128 Beispiele (1) additive Gruppoide (N, ) und (N 0, ) sind keine Gruppoiden. (Z, ) ist ein Gruppoid, aber keine Halbgruppe. (N, +) ist eine Halbgruppe, aber kein Monoid. (N 0, +) ist ein Monoid mit neutr. El. 0, aber keine Gruppe. (Z, +) ist eine Gruppe mit neutr. El. 0. Sei mz = {a Z : k Z : a = km}. Dann ist (mz, +) ist eine Gruppe. (Beweis!) Es gilt (mz, +) (Z, +). Ist n m, dann ist (mz, +) (nz, +). (Beweis!) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

10 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 129 Achtung: Mögliches Missverständnis! (Z n, +) ist eine Gruppe aber keine Untergrupe von (Z, +). Erklärung: Z n ist die Menge aller Restklassen modulo n. Die Restklasse von a mod n ist {kn + a k Z} Z. Eine Restklasse ist keine Zahl, sondern eine Menge von Zahlen! Trotz gleicher Schreibweise und gleichen Namens: Die Addition in Z und die Addition in Z n sind verschiedene Operationen! 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

11 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 130 Isomorphie von Gruppen Definition 54 Zwei Gruppen (G, ) und (H, ) sind isomorph (zueinander), falls es eine Permutation π : G H gibt, so dass a, b G gilt: π(a b) = π(a) π(b). In diesem Fall bezeichnen wir π als Isomorphismus von (G, ) und (H, ). Beispiel: Jede Gruppe ist isomorph zu sich selbst. Die Gruppen (Z, +) und (mz, +) sind isomorph. (Was ist ein Isomorphismus von (Z, +) und (mz, +)?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

12 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 131 Beispiele (2) multiplikative Gruppoide (N 0, ), (N, ) und (Z, ) sind Monoide mit neutr. El. 1, aber keine Gruppen. (Q\{0}, ) ist eine Gruppe mit neutr. El. 1. (Z n, ) ist keine Gruppe. (Warum nicht?) Unter welchen Umständen ist (Z n \{0}, ) eine Gruppe? 4: Algebraische Strukturen / Gruppen

13 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) : Die Inversen in einem Monoid Sei (G, ) ein Monoid mit neutralem Element e. Die Menge der Inversen in G ist G = {a G a : a a = a a = e} Satz (G, ) ist eine Gruppe. 2. Wenn (G, ) kommutativ ist, dann ist auch (G, ) kommutativ. (Wegen G G sind Assoziativität und, ggf., Kommutativität klar, und das neutrale Element e G. Noch z.z.: Inverse Elemente, Abgeschlossenheit.) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.1: Die Inversen in einem Monoid

14 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 133 Die Gruppe (Z n, ) Sei n N. Die Menge der Inversen in Z n ist Z n = { z Z n z G : z(z 1 ) = (z 1 )z = 1 }. Es gilt: Z n = {z Z n ggt(z, n) = 1}. (Warum?) Algebraische Eigenschaften von Z n und Z n: (Z n, +) ist eine Gruppe. (Wissen wir bereits.) (Z n, ) ist keine Grupppe. (Wissen wir auch schon.) (Z n, +) ist keine Gruppe. (Denn 0 Z n wäre das neutr. El.) (Z n, ) ist eine kommutative Gruppe. (Gerade bewiesen!) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.1: Die Inversen in einem Monoid

15 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 134 Wie viele Elemente hat Z n? Definition 56 (Eulersche ϕ-funktion) Sei n N, dann ist ϕ(n) = Z n die Ordnung von Z n. Satz Sei p prim. Dann gilt ϕ(p r ) = p r 1 (p 1) für r N. Insbesondere ist ϕ(p) = p Seien q 1 und q 2 teilerfremd. Dann gilt ϕ(q 1 q 2 ) = ϕ(q 1 )ϕ(q 2 ). Folgerung ( RSA) Seien p q Primzahlen. Dann gilt ϕ(p q) = (p 1)(q 1). 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.1: Die Inversen in einem Monoid

16 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) : Verknüpfungstafeln: Sudoku für Mathematiker Ist G = {g 1..., g n } eine endliche Gruppe, kann man eine Verknüpfung durch Angabe aller n 2 Werte g i g j festlegen. Definition 58 Eine Verknüpfungstafel ist eine Tabelle, die für alle Elemente g 1,..., g n einer endlichen Gruppe G den Wert g i g j in Zeile i und Spalte j enthält. g 1 g j g n g 1.. g i g i g j. g n 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.2: Sudoku für Mathematiker

17 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 136 Eigenschaften von Verknüpfungstafeln Satz 59 Ist (G, ) eine endliche Gruppe, dann tritt in jeder Zeile und jeder Spalte der Verknüpfungstafel jeder Wert g i G genau einmal auf. Satz 60 Eine endliche Halbgruppe ist genau dann kommutativ, wenn die zugehörige Verknüpfungstafel spiegelsymmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) ist. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.2: Sudoku für Mathematiker

18 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 137 Beispiele Für (Z 4, +): Für (Z 5 {0}, ): Für (Z 4, ): In(Z 4, ) identifizieren wir Elemente a Z 4 mit (b, c) Z 2 2 und mit der elementweisen Addition mod 2 ( Tafel). Zwei dieser Gruppen sind isomorph zueinander, die dritte ist nicht isomorph zu den beiden anderen. (Welche und warum?) Alle Beispiele (bisher): Kommutative (Halb-)Gruppen. Gibt es überhaupt nicht-kommutative (Halb-)Gruppen? 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.2: Sudoku für Mathematiker

19 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) : Freie Halbgruppe und Freier Monoid Programmiersprachliches Beispiel: String s = struk + turen ; Der Formalismus: Sei A eine endliche Menge. Wir definieren die Menge A i : {(a 1, a 2,..., a i ) a i A}, die Menge A + = A 1 A 2 A 3 und die Operation : A i A j A i+j, (a 1, a 2,..., a i ) (b 1, b 2,..., b j ) = (a 1, a 2,..., a i, b 1, b 2,..., b j ). Das gleiche Beispiel, im Rahmen des Formalismus: A = A 1 = { a,..., z }, A 2 = {( a, a ), ( a, b ),... ( z, z )},... ( s, t, r, u, k ) ( t, u, r, e, n ) = ( s, t, r, u, k, t, u,...) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.3: Freie Halbgruppe und Freier Monoid

20 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 139 Die Freie Halbgruppe (A +, ) (A +, ) ist nicht-kommutativ. (Warum nicht?) (A +, ) ist eine Halbgruppe. (Warum?) (A +, ) ist kein Monoid. (Warum nicht?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.3: Freie Halbgruppe und Freier Monoid

21 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 140 Der Freie Monoid (A, ) Programmiersprachliches Beispiel: String e = ; Sei A 0 die Menge, die nur den leeren String () als Element enthält, und sei A = A 0 A +. Dann gilt: (A, ) ist eine nicht-kommutative Halbgruppe. (Klar!) (A, ) sogar ein nicht-kommutativer Monoid (mit () als dem neutralen Element). (A, ) ist keine Gruppe. (Warum nicht?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.3: Freie Halbgruppe und Freier Monoid

22 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) : Die Symmetrischen Gruppen S n Sei S 3 die Menge der Permutationen {1, 2, 3} {1, 2, 3}. Achtung: S 3 bezeichnet Funktionen {1, 2, 3} {1, 2, 3}, die außerdem auch noch umkehrbar sind. Man verwechsele S 3 nicht mit dem Definitions- und Wertebereich dieser Funktionen, denn S n {1, 2, 3}!!! Wie wir gleich sehen werden, enthält S 3 nicht drei sondern sechs Elemente. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

23 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 142 Die Elemente von S 3 Die Identität e: e(i) = i. Drei Vertauschungen von genau zwei Elementen (1, 2), (1, 3), (2, 3). Z.B. (1, 2)(1) = 2, (1, 2)(2) = 1 und (1, 2)(3) = 3. Zwei zyklische Vertauschungen aller drei Elemente: (1, 2, 3) und (1, 3, 2). Z.B. (1, 2, 3)(1) = 2, (1, 2, 3)(2) = 3 und (1, 2, 3)(3) = 1. (Man suche nach anderen Permutationen {1, 2, 3} {1, 2, 3}!) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

24 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 143 S 3 als nicht-kommutative Halbgruppe Für x {1, 2, 3} definieren wir (a b)(x) = b(a(x)). Sind a und b Permutationen, dann ist auch (a b) eine Permutation. Also ist eine Verknüpfung über S 3 und S 3 damit ein Gruppoid. ((a b) c)(x) und (a (b c))(x) werden gleichermaßen zu c(b(a(x))) aufgelöst. Also ist assoziativ, und S n eine Halbgruppe. Beispiel-Berechnungen: 1. ((1, 2) (1, 2, 3)) = (1, 3). 2. ((1, 2, 3) (1, 2)) = (2, 3). Das Beispiel zeigt: S n nicht-kommutativ! 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

25 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 144 S 3 ist ein nicht-kommutativer Monoid Die Identität e ist ein neutrales Element in S 3 : a e = e a = a. Also ist S n ein nicht-kommutativer Monoid. Ist S 3 vielleicht sogar eine nicht-kommutative Gruppe? 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

26 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 145 Ist S 3 eine nicht-kommutative Gruppe? Um nachzuweisen, dass S 3 sogar eine Gruppe ist, müssen wir zeigen, dass für alle π S 3 ein Inverses π 1 mit π π 1 = e existiert. Die Identität e ist selbstinvers: e e = e. Vertauschungen von genau zwei Elementen sind selbstinvers: (1, 2) (1, 2) = e, (1, 3) (1, 3) = e und (2, 3) (2, 3) = e. Leider ist die zyklische Vertauschung von drei Elementen nicht selbstinvers: (1, 2, 3) (1, 2, 3) = (1, 3, 2) und (1, 3, 2) (1, 3, 2) = (1, 2, 3). Kann S 3 trotzdem eine Gruppe sein? 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

27 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 146 Ist S 3 eine nicht-kommutative Gruppe? (Ja!) Die einzigen beiden Elemente aus S 3, zu denen wir noch kein Inverses kennen, sind (1, 2, 3) und (1, 3, 2). (1, 2, 3) (1, 3, 2) = (1, 3, 2) (1, 2, 3) = e. Ja! S 3 ist eine nicht-kommutative Gruppe! Das Inverse einer Permutation ist selbst eine Permutation. Deshalb muss die Menge aller Permutationen über einer Menge zu jeder Permutation π immer auch die Inverse Permutation π 1 enthalten. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

28 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 147 Die Verknüpfungstafel von (S 3, ) e (12) (13) (23) (123) (132) e e (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) e (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) e (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) e (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) e (132) (132) (23) (12) (13) e (123) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

29 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 148 Die Symmetrischen Gruppen S n S 3 ist nur ein Beispiel aus einer großen Menge von Gruppen. 1. Für jedes n N ist die Symmetrische Gruppe S n die Menge aller Permutationen über {1,..., n} mit dem Hintereinanderausführen als Verknüpfung. 2. Für jedes n N ist S n tatsächlich eine Gruppe. (Warum?) 3. S n ist eine Untergruppe von S n+1. (Siehe nächste Folie!) 4. S 1 und S 2 sind kommutativ. (Warum?) 5. Für n 3 ist S n nicht kommutativ. (Warum nicht?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

30 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 149 Eigenschaften von S n Satz 61 Ist i 1, i n, dann ist S i eine Untergruppe von S n. (Wie man leicht sieht: S i S n. Da S i selbst eine Gruppe ist, folgt S i S n.) Satz 62 Die Anzahl aller Permutationen über einer n-elementigen Menge, und damit die Anzahl aller Elemente von S n ist n! = n (n 1) (n 2) 2 1. (Beweis durch Induktion nach n.) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

31 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 150 Zyklen Definition 63 Seien a 0, a 1,..., a j 1 {1, 2,... n} paarweise verschieden. Ein Zyklus ist eine Abbildung (a 0, a 1,..., a j 1 ) S n mit ( ) (ai ) a 0, a 1,..., a j 1 = ai + 1 mod j und ) (x ) } (a 0, a 1,..., a j 1 = x für x {a 0, a 1,..., a j 1. Zwei Zyklen (a 0,..., a j 1 ) und (b 0,..., b k 1 ) sind disjunkt, wenn die Mengen {a 0,..., a j 1 }und{b 0,..., b k 1 } disjunkt sind. Die Verknüpfung von disjunkten Zyklen (a 0,..., a j 1 ) und (b 0,..., b k 1 ) ist sogar kommutativ: (a 0,..., a j 1 ) (b 0,..., b k 1 ) = (b 0,..., b k 1 ) (a 0,..., a j 1 ). (Warum?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

32 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 151 Die Darstellung von Elementen aus S n Satz 64 Jedes Element einer Symmetrischen Gruppe S n kann man als Verknüpfung von disjunkten Zyklen darstellen. Bis auf die Reihenfolge der Zyklen ist diese Darstellung eindeutig. Bemerkung Man beachte, dass ein Zyklus selbst unterschiedlich dargestellt werden kann. Z.B. ist (123) = (231) = (312). 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.4: Die Symmetrischen Gruppen S n

33 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) : Zyklische und endliche Gruppen Definition 65 Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e. Für x G und z Z definieren wir x (x z 1 ) falls z 1, x z = e falls z = 0 und 1/x z falls z 1. Sei x G. Das kleinste n N mit x n = e bezeichnen wir als die Ordnung von x. Gibt es kein solches n N, dann ist die Ordnung von x unendlich. G heißt zyklisch, falls es ein a G gibt mit G = {a z z Z}. Ein solches a G nennen wir Erzeuger oder Generator von G. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

34 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 153 Zyklische Gruppen, die wir bereits kennen (Z, +) ist zyklisch und von unendlicher Ordnung. Die einzigen Generatoren sind 1 und 1. (Z n, +) ist zyklisch von der Ordnung n N. (Was sind die Generatoren von (Z n, +)?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

35 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 154 Eigenschaften zyklischer Gruppen Satz Alle zyklischen Gruppen sind kommutativ. 2. Ist die Gruppe G von endlicher Ordnung n, dann ist die Ordnung eines jeden Elements ein Teiler von n. 3. Ist G eine Gruppe und x G dann ist x = {g z z Z} eine Untergruppe von G. Man kann sogar zeigen, dass alle zyklischen Gruppen isomorph zu einer der Gruppen Z bzw. Z n sind. Beispiel: Ist p prim, dann ist (Z p \{0}, ) eine zyklische Gruppe der Ordnung p 1, und damit isomorph zu (Z p 1, +). (Für p = 5 hatten wir diese Isomorphie schon beobachtet.) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

36 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 155 Gruppen, die nicht zyklisch sind 1. Für n 3 sind die Symmetrischen Gruppen S n nicht zyklisch (sie sind ja nicht einmal kommutativ). 2. Wie wir noch sehen werden, haben sie jedoch zyklische Untergruppen Die bereits bekannte Gruppe (Z 4, ) ist ebenfalls nicht zyklisch, denn die Ordnung der Elemente 1, 2 und 3 ist jeweils 2. (Die Ordnung des neutralen Elements 0 ist ohnehin 1.) Aber: Alle x Z 4 können wir durch die Verknüpfung von Elementen aus 1 und 2 generieren: 0 = , 1 = , 2 = , 3 = : Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

37 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 156 Ein neuer Blick auf S 3 e (12) (13) (23) (123) (132) e e (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) e (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) e (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) e (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) e (132) (132) (23) (12) (13) e (123) Nichttriviale zyklische Untergruppen von S 3 : (12) = {e, (12)}, (13) = {e, (13)}, (23) = {e, (23)}, (123) = {e, (123), (123)} = (132). Jedes Element aus S 3 lässt sich in der Form (12) i (123) j schreiben, i {0, 1}, j {0, 1, 2}: (13) = (12) 1 (123) 1 (23) = (12) 1 (123) 2 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

38 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 157 Das direkte Produkt von zwei Gruppen Definition 67 Für zwei Gruppen (G, ) und (H, ) ist das direkte Produkt (G H, ) definiert durch die Grundmenge G H und die Operation : (G H) (G H) G H mit (a, b) (c, d) = ((a c), (b d)). Satz 68 (G H, ) ist eine Gruppe. Wenn e G G und e H H die neutralen Elemente in G bzw. H sind, dann ist (e G, e H ) das neutrale Element in G H. (G, {e H }) und ({e G }, H) sind Untergruppen von G H. (Beweis: Übungsaufgabe) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

39 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 158 Beispiele Man kann zeigen, dass S 3 isomorph ist zu (12) (123) und (Z 4, ) isomorph zu : Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

40 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 159 Das dir. Produkt endlich vieler Gruppen Definition 69 Für k N ist das direkte Produkt G 1 G 2... G k von k Gruppen G i, jeweils mit der Verknüpfung i, definiert durch die Grundmenge G = G 1 G 2... G k und die Operation : G G G mit Satz 70 (a 1,..., a k ) (b 1,..., b k ) = ((a 1 1 b 1 ),... (a k k b k )). [Folgerung aus dem Hauptsatz über endl. erz. komm. Gruppen] Jede endliche kommutative Gruppe ist entweder zyklisch, oder isomorph zum direkten Produkt von endlich vielen zyklischen Gruppen. (Ohne Beweis.) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

41 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 160 Beispiel: Die Gruppe (Z k 2, +) Für (a 1,... a k ), (b 1,... b k ) Z k 2 definieren wir mit (a 1,... a k ) + (b 1,... b k ) = (c 1,... c k ) c i a i + b i (mod 2). Dann ist (Z k 2, +) eine Gruppe der Ordnung 2k und das direkte Produkt von k zyklischen Gruppen der Ordnung 2 ist. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

42 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 161 Beispiel: Eine zu (Z k 2, +) isomorphe Gruppe Nun definieren wir π : Z k 2 Z 2 k durch π(a 0,..., a k 1 ) = und eine neue Gruppe (Z 2 k, ) mit 0 i<k 2 i a i a b = π(π 1 (a) + π 1 (b)). (Z 2 k, ) und (Z k 2, +) sind isomorph, mit π als Isomorphismus. Unser alter Bekannter (Z 4, ) ist ein Spezialfall. Beispiele in (Z 16, ): 12 5 = 8 1 = 10 3 = 15 6 = 9. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

43 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 162 Untergruppen endlicher Gruppen Satz 71 (Teilaussage des Satzes von Lagrange) Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Für jede Untergruppe U von G gilt: Die Ordnung von U ist ein Teiler der Ordnung von G. (Mit Hilfe von Satz 70 ist der Beweis einfach.) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.5: Zyklische und endliche Gruppen

44 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) : Anwendung: Der Diffie-Hellman Schlüsselaustausch Vorbereitung: 1. Wähle eine große Primzahl p, so dass 2. die Faktorisierung von p 1 bekannt ist. 3. Wähle eine hinreichend große Primzahl q (p 1) und ein Element g (Z p, ) der Ordnung q. 4. Arithmetik mod p aber tatsächlich werden wir in der Untergruppe g von (Z p, ) rechnen. 5. Stand der Technik: p > , q > (sonst ist das Verfahren unsicher). 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

45 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 164 Alice und Bob vereinbaren einen gemeinsamen geheimen Schlüssel 1. Alice wählt a Z q und veröffentlicht A := g a (mod p) ( a ist geheim ) 2. Bob wählt b Z q und berechnet B := g b (mod p) ( b ist geheim ) 3. Gemeinsamer geheimer Schlüssel von Alice und Bob: B a = g ab = A b. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

46 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 165 Beispiel (in winzigen Zahlen) 0. p = 11, g = 4, es ist (mod 11), also q = a = 4, A = (mod 11). 2. b = 3, B = (mod 11). 3. Die Berechnung des geheimen Schlüssels: B a = (mod 11), A b = 27 5 (mod 11), g ab = (mod 11). Alice und Bob haben sich auf 5 als Geheimnis geeinigt. Ein Angreifer müsste g ab = 5 berechnen, obwohl er weder a noch b kennt. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

47 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 166 Ist der D.-H. Schlüsselaustausch sicher? Man betrachte die folgenden beiden Probleme: Diskreter Logarithmus: Geg. X = g x, berechne x Diffie-Hellman-Problem: Gegeben A und B, berechne g ab. Man beachte: Wenn man effizient Diskrete Logarithmen berechnen kann, dann kann man erst recht das Diffie-Hellman Problem effizient lösen. Ist das Diffie-Hellman Problem dagegen nicht effizient lösbar, dann kann ein Angreifer, der nur A und B kennt, den geheimen Schlüssel g ab nicht berechnen. Um gegen (bekannte) Algorithmen zur Berechnung des Diskreten Logarithmus Sicherheit zu bieten, sollten der Modulus p mindestens eine 1000-bit Primzahl und die Ordnung q von g mindestens eine 160-bit Primzahl sein. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

48 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 167 Ist die Arithmetik mod p wirklich nötig? Sei (G, ) eine zyklische Gruppe mit erzeugendem Element g. Sei die Ordnung q = G von G eine hinreichend große Primzahl. 1. Alice wählt a Z q und veröffentlicht A := g a (mod p) ( a ist geheim ) 2. Bob wählt b Z q und berechnet B := g b (mod p) ( b ist geheim ) 3. Gemeinsamer geheimer Schlüssel von Alice und Bob: B a = g ab = A b. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

49 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 168 Ist die Arithmetik mod p wirklich nötig? (Fortsetzung) Tatsächlich können wir, statt in g Z p in jeder beliebigen Gruppe (G, ) rechnen, die die folgenden drei funktionalen Bedingungen erfüllt: 1. man die Ordnung q von G kennen (um zufällige Zahlen a, b {0,..., q 1} zu wählen), 2. und in G effizient rechnen können (um g a, g b, B a und A b zu berechnen) 3. und Gruppenelemente in G eindeutig darstellbar sind (damit B a und A b tatsächlich die gleiche Folge von Bits darstellen statt verschiedener Repräsentationen des gleichen Elements von G). Die Gruppe (G, ) = (Z q, +) erfüllt alle drei Bedingungen. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

50 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 169 Warum rechnen wir dann nicht einfach in (Z q, +)? Zusätzlich zu den funktionalen Eigenschaften muss die Gruppe (G, ) aber auch eine Sicherheitsbedingung erfüllen: 4. Man darf nicht das Diffie-Hellman-Problem in (G, ) nicht effizient lösen können. Insbesondere darf es in (G, ) nicht effizient möglich sein, Diskrete Logarithmen zu berechnen. Die Gruppe (G, ) = (Z q, +), erfüllt diese Bedingung leider nicht. (Warum nicht?) 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

51 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 170 Alternativen zur modularen Arithmetik? Kryptographen suchen seit langem nach Alternativen zur Arithmetik mod p. Viele Gruppen (G, ) wurden untersucht und als praxisuntauglich verworfen. Insbesondere: Ist effizient berechenbar und q klein (z.b. q < ), dann kann man Diskrete Logarithmen in (G, ) effizient berechnen ( Diskrete Wahrscheinlichkeit). Eine Alternative, die in der Praxis allmählich an Bedeutung gewinnt, sind die Punktgruppen Elliptischer Kurven. Ihr besonderer Vorteil ist, dass sie die Verwendung kürzerer öffentlicher Schlüssel erlauben. Weitere Informationen: Elliptic_Curve_Cryptography 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman

52 Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 171 Abstraktes mathematisches Denken Statt nach spezifischen Lösungen für einzelne Probleme sucht man in Informatik und Ingenieurwissenschaften nach Algorithmen, die man möglichst vielfältig nutzen bzw. wiederverwerten kann. Das erfordert eine bestimmte Form des abstrakten mathematischen Denkens: Welche grundlegenden Eigenschaften meiner vorhandenen Datenstrukturen reichen aus, damit ein Algorithmus das leistet, was er leisten soll? Gibt es andere Datenstrukturen, die diese Eigenschaften auch erfüllen? Um entsprechend abstrakte und allgemein nutzbare Algorithmen auch allgemein und abstrakt implementieren zu können, unterstützen fast alle modernen Programmiersprachen die objektorientierte und/oder die generische Programmierung. 4: Algebraische Strukturen / Gruppen 4.6: Anwendung: Diffie-Hellman